Page第06講利用導數(shù)研究恒成立與能成立（有解）問題（2類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷，第18題,17分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題證明函數(shù)的對稱性利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性利用導數(shù)證明不等式利用不等式求取值范圍2023年新I卷，第19題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導數(shù)研究函數(shù)的零點根據(jù)極值點求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間裂項相消法求和2020年新I卷，第21題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題求在曲線上一點處的切線方程2020年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究不等式恒成立問題求在曲線上一點處的切線方程2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值3恒成立，恒成立，4有解，有解，【命題預測】導數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點內(nèi)容,也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等多個數(shù)學學科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復習知識講解恒成立問題常見類型假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達式，（1）的值域為①，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域為①，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進行對比）②，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進行對比）恒成立問題的解決策略=1\*GB3①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值；=4\*GB3④換元分離，簡化運算；在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘數(shù)’”.依托端點效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設(shè)計獨特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱點．能成立（有解）問題常見類型假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達式，（1）若的值域為①，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域為①，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進行對比），則只需要②，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進行對比），則只需要能成立（有解）問題的解決策略=1\*GB3①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；②部分分離，化為切線；③完全分離，函數(shù)最值；=4\*GB3④換元分離，簡化運算；在求解過程中，力求“腦中有‘形’，心中有‘數(shù)’”.依托端點效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設(shè)計獨特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜合性，屬于能力題，在提升學生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱點．考點一、利用導數(shù)解決函數(shù)恒成立問題1．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)當時，，求的取值范圍．2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．1．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值．2．（2024·江蘇蘇州·三模）已知函數(shù).(1)時，求的零點個數(shù);(2)若恒成立，求實數(shù)的最大值;(3)求證:.3．（2024·浙江溫州·模擬預測）函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)若在時恒成立，求的取值范圍.4．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知函數(shù)，.（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）(1)若無極值點，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.考點二、利用導數(shù)解決函數(shù)能成立（有解）問題1．（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若對任意有解，求的取值范圍.3．（2024·湖南婁底·一模）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：；(3)設(shè)，若存在實數(shù)使得，求的最大值.1．（2024·湖北·模擬預測）已知函數(shù)，其中為常數(shù).(1)過原點作圖象的切線，求直線的方程；(2)若，使成立，求的最小值.2．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)a的取值范圍．3．（2024·山西運城·一模）已知，函數(shù)，.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：存在唯一的極值點；(3)若存在，使得對任意成立，求實數(shù)的取值范圍.1．（2023高三·全國·專題練習）設(shè)函數(shù)，若當時，求的取值范圍．2．（2023高三·全國·專題練習）已知，實數(shù)使得對恒成立，求實數(shù)的最大值．3．（2023高三·全國·專題練習）設(shè)函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的值．4．（23-24高三上·貴州安順·期末）已知函數(shù)(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)方程在有解，求實數(shù)m的范圍.5．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若對定義域內(nèi)任意實數(shù)都有，求的取值范圍．6．（22-23高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求證：，．7．（2023高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，其圖象在點處的切線方程為．(1)求，的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對，，不等式恒成立，求的取值范圍．8．（23-24高三上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)對于，使得，求實數(shù)的取值范圍．9．（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.10．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．1．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，，求實數(shù)的取值范圍.2．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習）已知．(1)討論的單調(diào)性和極值；(2)若時，有解，求的取值范圍．3．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.4．（2024·山東德州·三模）設(shè)函數(shù)，，曲線在點處的切線方程為.(1)求的值;(2)求證:方程僅有一個實根;(3)對任意，有，求正數(shù)的取值范圍.5．（2024·江蘇宿遷·三模）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線的方程為，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍．6．（2024·青海海西·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)令，若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.7．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，，求實數(shù)a的取值范圍．8．（2024·廣東梅州·一模）已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的一個極值點，求的值；(2)若在上恒成立，求的取值范圍；(3)證明：（為自然對數(shù)的底數(shù)）.9．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知函數(shù).(1)求過原點的切線方程；(2)求證：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有解.10．（2024·貴州安順·二模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若對任意的，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．1．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．2．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．3．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）當a=1時，討論f（x）