2025屆湖南省祁東縣第一中學(xué)高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，，則（）A． B． C． D．2．已知，，由程序框圖輸出的為（）A．1 B．0 C． D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．4．已知的垂心為，且是的中點(diǎn)，則（）A．14 B．12 C．10 D．85．已知銳角滿足則（）A． B． C． D．6．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn)在角的終邊上，則（）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列{an}，則“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件8．拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)線段的中點(diǎn)在上的投影為，則的最大值是（）A． B． C． D．9．如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的結(jié)果是（）A． B． C． D．10．已知為正項(xiàng)等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為，則的值是()A．29 B．30 C．31 D．3211．已知函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且).若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)恰好有3對，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．設(shè)集合，，則集合A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），則sin（π﹣α）的值是_____．14．正項(xiàng)等比數(shù)列|滿足，且成等差數(shù)列，則取得最小值時(shí)的值為_____15．在長方體中，，，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是______.16．已知集合，.若，則實(shí)數(shù)a的值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)對設(shè)備進(jìn)行升級改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則視為不合格品，如圖是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表.圖：設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖表：設(shè)備改造后樣本的頻率分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162（1）求圖中實(shí)數(shù)的值；（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，對合格品進(jìn)行等級細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間或內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)180元；其他的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.若有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品支付的費(fèi)用為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；（Ⅲ）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為，求證：.19．（12分）若數(shù)列前n項(xiàng)和為，且滿足（t為常數(shù)，且）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，且數(shù)列為等比數(shù)列，令，.求證：.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)且，，，.求證：平面平面以；求二面角的大小.21．（12分）已知函數(shù),其中,.(1)函數(shù)的圖象能否與x軸相切?若能,求出實(shí)數(shù)a;若不能,請說明理由.(2)若在處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22．（10分）近年來，隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來越頻繁，很多人為了自己的健康，外出時(shí)選擇戴口罩，在一項(xiàng)對人們霧霾天外出時(shí)是否戴口罩的調(diào)查中，共調(diào)查了人，其中女性人，男性人，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)畫出等高條形圖如圖所示：（1）利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關(guān)系并說明理由；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立一個(gè)列聯(lián)表；（3）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩的關(guān)系.附：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解：，，，則故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】試題分析：，，所以，所以由程序框圖輸出的為.故選D．考點(diǎn)：1、程序框圖；2、定積分．3、D【解析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán)，輸出，選D.點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng).4、A【解析】

由垂心的性質(zhì)，得到，可轉(zhuǎn)化，又即得解.【詳解】因?yàn)闉榈拇剐?，所以，所以，而，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.5、C【解析】

利用代入計(jì)算即可.【詳解】由已知，，因?yàn)殇J角，所以，，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由題知，又，代入計(jì)算可得.【詳解】由題知，又.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用求值.7、C【解析】試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．解：在等差數(shù)列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，故選C．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．8、B【解析】

試題分析：設(shè)在直線上的投影分別是，則，，又是中點(diǎn)，所以，則，在中，所以，即，所以，故選B．考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì)．【名師點(diǎn)晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中，涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，焦點(diǎn)弦長，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線（或與準(zhǔn)線平行的直線）的距離時(shí)，常常考慮用拋物線的定義進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化．象本題弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離首先等于兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之和的一半，然后轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，從而與弦長之間可通過余弦定理建立關(guān)系．9、A【解析】

執(zhí)行程序框圖，逐次計(jì)算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，執(zhí)行上述的程序框圖：第1次循環(huán)：滿足判斷條件，；第2次循環(huán)：滿足判斷條件，；第3次循環(huán)：滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出計(jì)算結(jié)果，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計(jì)算與輸出，其中解答中執(zhí)行程序框圖，逐次計(jì)算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，求出公比，再由等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求．【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，則a4=16q3，a7=16q6，a4與a7的等差中項(xiàng)為，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（負(fù)值舍去），則有S5===1．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．11、C【解析】

先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，分類利用圖像列出有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足的條件，解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.12、B【解析】

先求出集合和它的補(bǔ)集，然后求得集合的解集，最后取它們的交集得出結(jié)果.【詳解】對于集合A，，解得或，故.對于集合B，，解得.故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對數(shù)不等式的解法，考查集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算.對于有兩個(gè)根的一元二次不等式的解法是：先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，且不等號的另一邊化為，然后通過因式分解，求得對應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

計(jì)算sinα，再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得x＝1，y＝2，r，∴sinα，∴sin（π﹣α）＝sinα．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，誘導(dǎo)公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14、2【解析】

先由題意列出關(guān)于的方程，求得的通項(xiàng)公式，再表示出即可求解.【詳解】解：設(shè)公比為，且，時(shí)，上式有最小值，故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)以及等比數(shù)列求積、求最值的有關(guān)運(yùn)算，中檔題.15、【解析】

利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離【詳解】由題在長方體中，，，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，解得故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求點(diǎn)到平面的距離，通過在三棱錐中利用等體積法求解，關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點(diǎn).16、9【解析】

根據(jù)集合交集的定義即得.【詳解】集合，，，，則a的值是9.故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）由頻率分布直方圖中所有頻率（小矩形面積）之和為1可計(jì)算出值；（2）由頻數(shù)分布表知一等品、二等品、三等品的概率分別為.，選2件產(chǎn)品，支付的費(fèi)用的所有取值為240，300，360，420，480，由相互獨(dú)立事件的概率公式分別計(jì)算出概率，得概率分布列，由公式計(jì)算出期望．【詳解】解：（1）據(jù)題意，得所以（2）據(jù)表1分析知，從所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分別為.隨機(jī)變量的所有取值為240，300，360，420，480.隨機(jī)變量的分布列為240300360420480所以（元）【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，頻數(shù)分布表，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時(shí)掌握性質(zhì)：頻率分布直方圖中所有頻率和為1．本題考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題．18、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）由題，所以故，，代入點(diǎn)斜式可得曲線在處的切線方程；（Ⅱ）由題（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.則函數(shù)在上的最小值是（2）當(dāng)時(shí)，令，即，令，即（i）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（ii）當(dāng)，即時(shí)，由的單調(diào)性可得在上的最小值是（iii）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上的最小值是（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，令，則是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)椋栽谏洗嬖?，使得，即討論可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值是因?yàn)?，所以由此可證試題解析：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)，且，所以，所以所以，所以曲線在處的切線方程是，即（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)，所以（1）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上的最小值是（2）當(dāng)時(shí)，令，即，所以令，即，所以（i）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（ii）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（iii）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值是綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上的最小值是當(dāng)時(shí)，在上的最小值是當(dāng)時(shí)，在上的最小值是（Ⅲ）因?yàn)楹瘮?shù)，所以所以當(dāng)時(shí)，令，所以是單調(diào)遞減函數(shù).因?yàn)椋栽谏洗嬖?，使得，即所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值是因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以所?9、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）利用可得的遞推關(guān)系，從而可求其通項(xiàng).（2）由為等比數(shù)列可得，從而可得的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法可得的前項(xiàng)和，利用不等式的性質(zhì)可證.【詳解】（1）由題意，得：（t為常數(shù)，且），當(dāng)時(shí)，得，得.由，故，，故.（2）由，由為等比數(shù)列可知：，又，故，化簡得到，所以或（舍）.所以，，則.設(shè)的前n項(xiàng)和為.則，相減可得【點(diǎn)睛】數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系式，我們常利用這個(gè)關(guān)系式實(shí)現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.20、證明見解析；.【解析】

推導(dǎo)出，，從而平面，由此證明平面平面以；以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求出二面角的大小.【詳解】解：，，為的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，.,，即.又平面平面，且平面平面，平面.平面，平面平面.，為的中點(diǎn)，.平面平面，且平面平面，平面.如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量為，，，，，設(shè)，則，，，，，在平面中，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，平面的一個(gè)法向量為，，由圖知二面角為銳角，所以所求二面角大小為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查了空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.21、(1)答案見解析(2)【解析】

（1）假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸相切于，根據(jù)相切可得方程組，看方程是否有解即可；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)()，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及在處取得極大值求出a的范圍即可.【詳解】(1)函數(shù)的圖象不能與x軸相