第五章異方差

二、簡答題

1.異方差的存在對下面各項(xiàng)有何影響？

（1）OLS估計(jì)量及其方差；

（2）置信區(qū)間；

（3）顯著性t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)的使用。

2.產(chǎn)生異方差的經(jīng)濟(jì)背景是什么？檢驗(yàn)異方差的方法思路是什么？

3.從直觀上解釋，當(dāng)存在異方差時(shí)，加權(quán)最小二乘法（WLS）優(yōu)于OLS法。

4.下列異方差檢查方法的邏輯關(guān)系是什么？

（1）圖示法

（2）Park檢驗(yàn)

（3）White檢驗(yàn)

5.在一元線性回歸函數(shù)中，假設(shè)誤差方差有如下結(jié)構(gòu)：

H與2）=也

如何變換模型以達(dá)到司方差的目的？我們將如何估計(jì)變換后的模型？請列出估計(jì)步驟。

三、計(jì)算題

1考慮如下兩個(gè)回歸方程（根據(jù)1946—1975年美國數(shù)據(jù)）（括號中給出的是標(biāo)準(zhǔn)差）:

G=26.19+0.6246?一0.4398Q

、：(2.73)(0.0060)(0.0736)

R2=0.999

C_0_

=25.92+0.6246-0.4315

GNPGNP,GNP

%：（2.22）（0.0068）（0.0597）

R2=0.875

式中，C為息私人消費(fèi)支出；GNP為國民生產(chǎn)息值；D為國防支出；I為時(shí)間。

研究的目的是確定國防支出對經(jīng)濟(jì)中其他支出的影響。

（1）將第一個(gè)方程變換為第二個(gè)方程的原因是什么？

（2）如果變換的目的是為了消除或者減弱異方差，那么我們對誤差項(xiàng)要做哪些假設(shè)？

（3）如果存在異方差，是否已成功地消除異方差？請說明原因。

（4）變換后的回歸方程是否一定要通過原點(diǎn)？為什么？

（5）能否將兩個(gè)回歸方程中的R2加以比較？為什么？

2.1964年，對9966名經(jīng)濟(jì)學(xué)家的調(diào)查數(shù)據(jù)如下:

年齡一中值工資單位：美元/年

年齡20-2425-2930-3435-3940—4445-4950-5455-5960—6465-6910+

中值工資7800840097001150013000148001500015000150001450012000

資料來源："TheStructureofEconomists*EmploymentandSalariesM,CommitteeontheNationalScience

FoundationReportontheEconomicsProfession,AmericanEconomicsReview,vol.55,No.4,December1965.

（1）建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ徒忉屍骄べY與年齡間的關(guān)系。為了分析的方便，假設(shè)中值工資

是年齡區(qū)間中點(diǎn)的工資。

（2）假設(shè)誤差與年齡成比例，變換數(shù)據(jù)求得WLS回歸方程。

（3）現(xiàn)假設(shè)誤差與年齡的平方成比例，求WLS回歸方程。

（4）哪一個(gè)假設(shè)更可行？

3.參考下表給出的R&D數(shù)據(jù)。下面的I回歸方程給出了對數(shù)形式的R&D費(fèi)用支出和銷

售額的回歸結(jié)果。

1988年美國研究與發(fā)展（R&D）支出費(fèi)用單位：百萬美元

序號行業(yè)銷售額R&D費(fèi)用支出利潤

1容器與包裝6375.362.5185.1

2非銀行金融機(jī)構(gòu)11626.492.91569.5

3服務(wù)行業(yè)14655.1178.3274.8

4金屬與采掘業(yè)21896.2258.42828.1

5住房與建筑業(yè)26408.3494.7225.9

6一般制造業(yè)32405.61083.03751.9

7閑暇時(shí)間行業(yè)35107.71620.62884.1

8紙與林產(chǎn)品行業(yè)40295.4421.74645.7

9食品行業(yè)70761.6509.25036.4

10健康護(hù)理業(yè)80552.86620.113869.9

11宇航業(yè)95294.03918.64487.8

12消費(fèi)品101314.11595.310278.9

13電器與電子產(chǎn)品116141.36107.58787.3

14化學(xué)工業(yè)122315.74454.116438.8

15聚合物141649.93163.89761.4

16辦公設(shè)備與計(jì)算機(jī)175025.813210.719774.5

17燃料230614.51703.822626.6

18汽車行業(yè)293543.09528.218415.4

說明：行業(yè)是按銷售額遞增的次序排列的。

資料來源：BusinessWeek.Special1989BonusIssue.R&DScorecard.

In匕=-7.3647+1.3222InXf.

s,：(1.8480)(0.16804)

t：(-3.9582)(7.8687)

R2=0.7947

(1)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，驗(yàn)證這個(gè)回歸結(jié)果。

(2)分別將殘差的絕對值和殘差平方值對銷售額對數(shù)描圖。該圖是否標(biāo)明存在著異方

差？

(3)對回歸的殘差進(jìn)行Park檢驗(yàn)和Glejser檢驗(yàn)。我們能得出什么結(jié)論？

(4)如果有證據(jù)表明現(xiàn)行回歸函數(shù)

匕=192.99+0.0319X：

Sj(990.99)(0.0083)

t：(0.1948)(3.8434)

R2=0.4783

存在異方差。而在對數(shù)一對數(shù)模型中沒有證據(jù)表明存在異方差，那么應(yīng)選擇哪個(gè)模型？

為什么

釋變量之間的I可歸模型，從系數(shù)的顯著性角度來定量地判斷殘差與解釋變量之間是否存在相

關(guān)關(guān)系，從而原始模型是否存在異方差性。

White檢驗(yàn)在Park檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上又有了發(fā)展，在建立殘差與解釋變量的回歸關(guān)系時(shí)，不

僅考慮了解釋變量本身，還考慮了解釋變量彼此間的交叉乘積，使得檢驗(yàn)更加嚴(yán)謹(jǐn)。

5.答：

假設(shè)一元線性I可歸模型為：

M=A++)，var(j)=b氏

模型轉(zhuǎn)換為：

可以寫成:

*，，▼"**

M=僅1%+夕2司+/

其中，y；=T=，4=—7=代和夕;表示轉(zhuǎn)換模

biSi巴在

型的參數(shù)。

經(jīng)變換后，誤差項(xiàng)￡；有如下特點(diǎn):

因此，這樣的變換就使得模型滿足了同力差性的假定。

估計(jì)的具體步驟為:

第一步，對模型

M=￡]+62再+4,i=l,2,3,…,n

運(yùn)用最小二乘法求出殘差。

第二步，假設(shè)蘇式為變量Z的函數(shù)f(z),即

var(與)=封?=/(z)=4+/z,2+…+%。

用e；代替。：對以下模型運(yùn)用最小二乘法：

嘉=4+。242+…+apZip+匕，i=12…,P

求出估計(jì)值4。

第三步，得出。；的估計(jì)值：

(T；=4+。242+???+"/加，i=1,2,3,???,!!

第四步，利用估計(jì)值作如下變換：

對變換后的上述模型運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。

三、計(jì)算題

1.解：

（1）原因有二：

第一，將被解釋變量和解釋變量均轉(zhuǎn)換為支出與GNP的比值，表示該項(xiàng)支出在國民生

產(chǎn)總值中的比重，更加強(qiáng)了模型對于經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的解釋作用。

第二，有可能是因?yàn)樵撃Ｐ椭谐霈F(xiàn)了異方差的現(xiàn)象，轉(zhuǎn)換方程是想變異方差為同方差，

使得估計(jì)結(jié)果是BLUE估計(jì)量。

（2）誤差項(xiàng)叢的期望為零，方差為GNP：,即

E（￡）=0,vaiOGNPj

（3）基于（2）的假設(shè)，通過這樣的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換模型的誤差項(xiàng)￡；已具有如下特點(diǎn):

〔GN/J

/、z

var（c：）=￡（￡；，二Eq-----7七（與『=1

[GNPJGNP/'"

這樣的誤差項(xiàng)已符合使用OLS的假定，可以說是已消除了異方差。

（4）變換后的回歸模型是不一定通過原點(diǎn)的。

D1「Cl1

在本例中,變換后的模型解釋變量為-一,被解釋變量為:一.而——這

GNPGNP,GNP,

J1t1J1JI

一項(xiàng)近似地等于零，可以忽略不計(jì)。因此，模型中還有一個(gè)正截距，不通過原點(diǎn)。

（5）不能單純地用R2的值對兩個(gè)回歸方程進(jìn)行比較。

雖然，R2值表示的是解釋變量對被解釋變量的解釋程度的大小，R，越接近1,表示模

型的解釋能力越強(qiáng)。但是，在本例中，由于原始模型中的誤差項(xiàng)具有異方差性質(zhì)，這時(shí)R2

值是受到懷疑的，因?yàn)橛锌赡苁钱惙讲畹拇嬖谟绊懥四Ｐ偷腞2值。所以轉(zhuǎn)換前后模型的R2

孰大孰小，并不能據(jù)此判斷兩個(gè)模型的解釋能力孰弱孰強(qiáng)。

2.解：

（1）為了分析的方便，先將原始數(shù)據(jù)處理如下:

年齡匕22273237424752576267

中值工資以78008400970011500130001480015000150001500014500

設(shè)一元線性回歸模型為:

乂=21+?21+與

其中，,表示中值工資，看表示年齡，A和△分別是回歸系數(shù)，是誤差項(xiàng)。

（2）假設(shè)誤差與年齡成比例，模型可以變換為:

%

可以寫成：

引=4只+雙舄+￡：

其中，），：=%，￡,=，=，&=5，4;和〃分別是回歸系數(shù)，"是誤差項(xiàng)。

變量數(shù)據(jù)列表如下:

y：1662.9651616.5801714.7331890.5882(X15.9432158.8012080.1251986.7981905.0011771.456

6894597599

匕0.21320.19250.17680.16440.15430.14590.13870.13250.12700.1222

4.69045.19625.65696.08286.48076.85577.21117.54987.87408.1854

對變換后的模型使用OLS法進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果是:

隼=遛譽(yù)紇193.536。6

即：)，,.=3857.6469+193.5360?

R2=0.8333

（3）假設(shè)誤差與年齡的平方成比例，模型可以變換為:

可以寫成：

y；=+優(yōu)+￡；

其中，4=&,x,2=-,夕：和虜分別是回歸系數(shù)，￡；是誤差項(xiàng)。

aX]

變量數(shù)據(jù)列表如下:

￡354.5455311.1111303.125310.8108309.5238314.8936288.4615263.1579241.935526.4179

X；0.()45455().037037().03125().0270270.023810.0212770.0192310.0175440.016129(W14925

對變換后的模型使用OLS法進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果是:

上二3321.4012+207.1397

毛七

即：y.=3321.4012+207.1397x.

R2=0.8148

（4）比較兩個(gè)模型的RL一般認(rèn)為，第一種假設(shè)更為可行。理論上來說，在第一種假

設(shè)下，模型變換后產(chǎn)生了兩個(gè)解釋變量，即，=和嘉，這樣就能使得模型的解釋能力增

強(qiáng)。

3.解：

（1）變量數(shù)據(jù)列表如下:

\nYi8.76029.36109.59259.994110.181410.386110.466210.604011.1671

InXj

4.13524.53155.18355.55456.20106.98757.39066.04436.2328

InYt11.296711.464711.526011.662611.714411.8611)2.072712.348512.5898

InX.

8.79798.27357.37488.71738.40168.05959.48887.44069.1620

使用OLS法進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果是:

In匕=—7.3654+1.3223InX.

回歸系數(shù)數(shù)值上的微小差異可能是由于計(jì)算過程中叫舍五入所致，可以認(rèn)為呵I歸結(jié)果一

致。

(2)

MX,.\nYiIn匕的估計(jì)值殘差殘差絕對值殘差平方值

8.76024.13524.2182-0.08300.08300.0069

9.36104.53155.0127-0.48120.48120.2315

9.59255.18355.3188-0.13540.13540.0183

9.99415.55455.8498-0.29520.29520.0872

10.18146.20406.09750.1C640.10640.0113

10.38616.98756.36810.61940.61940.3836

10.46627.39066.47400.91650.91650.8400

10.60406.04436.6563-0.61200.61200.3745

11.16716.23287.4008-1.16801.16801.3612

11.29678.79797.57221.22571.22571.5023

11.46478.27357.79440.47910.47910.2295

11.52607.37487.8754-0.50060.50060.2506

11.66268.71738.05600.66130.66130.4373

11.71448.40168.12450.27710.27710.0768

11.86118.05958.3186-0.25900.25900.0671

12.07279.48888.59830.89050.89050.7929

12.34857.44068.9630-1.52241.52242.3177

InX,ln^In匕的估計(jì)值殘差殘差絕對值殘差平方值

12.58989.16209.2821-0.12010.12010.0144

分別將殘差的絕對值和殘差平方值對銷售額對數(shù)描圖，如下:

殘差絕對值散點(diǎn)圖殘差平方值散點(diǎn)圖

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