第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省佛山一中高二（上）第一次質檢數學試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在一個袋子中放2個白球，2個紅球，搖勻后隨機摸出2個球，與“摸出1個白球1個紅球”互斥而不對立的事件是(

)A.至少摸出1個白球 B.至少摸出1個紅球

C.摸出2個白球 D.摸出2個白球或摸出2個紅球2.在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E為PD的中點，若PA=a，PB=b，PC=c，則用基底{aA.12a?12b+123.袋子中有大小、形狀、質地完全相同的4個小球，分別寫有“風”、“展”、“紅”、“旗”四個字，若有放回地從袋子中任意摸出一個小球，直到寫有“紅”、“旗”的兩個球都摸到就停止摸球．利用電腦隨機產生1到4之間取整數值的隨機數，用1，2，3，4分別代表“風”、“展”、“紅”、“旗”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示摸球三次的結果，經隨機模擬產生了以下20組隨機數：

411?231?324?412?112?443?213?144?331?123

114?142?111?344?312?334?223?122?113?133

由此可以估計，恰好在第三次就停止摸球的概率為(

)A.110 B.320 C.154.已知空間向量a=(2,?1,2)，b=(1,?2,1)，則向量b在向量a上的投影向量是(

)A.(43,?23,43)5.已知點A(1,2,?a)關于y軸對稱的點為B，直線l過點C(0,y,3)和B，且l的一個方向向量為m=(2,?1,3)，則|BC|=(

)A.15 B.2302 C.6.已知a∈{0,1,2}，b∈{?1,1,3,5}，則函數f(x)=ax2?2bx在區(qū)間(1,+∞)上為增函數的概率是A.512 B.13 C.147.甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束.假設在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相互獨立.已知前2局中，甲、乙各勝1局.則甲獲得這次比賽勝利的概率是(

)A.925 B.18125 C.631258.在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為BD1，BA.(2+5)a B.(3+3)a二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體m被抽到的概率是0.1

B.已知一組數據1，2，4，6，7的平均數為4，則這組數據的方差是5

C.數據27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數是23

D.標準差越大，表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越集中；標準差越小，表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越分散10.已知事件A，B，且P(A)=0.4，P(B)=0.2，則下列結論正確的是(

)A.如果B?A，那么P(A∪B)=0.4，P(AB)=0.2

B.如果A與B互斥，那么P(A∪B)=0.6，P(AB)=0

C.如果A與B相互獨立，那么P(A∪B)=0.6，P(AB)=0

D.如果P(AB?)=0.32，則A11.如圖，棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB，AD的中點，G為棱A.若點M滿足GM=xEA+yEB+zEG且x+y+z=0，則A，B，G，M四點共面

B.若直線EG與平面DCC1D1所成的角為60°，則三棱錐C?EFG的體積為3

C.以F三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在如圖所示的電路圖中，開關a，b，c正常工作的概率分別為13，34，2313.已知向量a=(1,1,0)，b=(?1,0,2)，且ka+b與2a?b的夾角為鈍角，則實數14.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，若空間中的動點P滿足AP=λAB+μAD+vAA四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是A1B和B1C1上的點，∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，A1M16.(本小題15分)

為了慶祝黨的二十大勝利召開，培養(yǎng)擔當民族復興的時代新人，某高中在全校三個年級開展了一次“不負時代，不負韶華，做好社會主義接班人”演講比賽.共1500名學生參與比賽，現從各年級參賽學生中隨機抽取200名學生，并按成績分為五組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如右頻率分布直方圖，且第五組中高三學生占37．

(1)求抽取的200名學生的平均成績x?(同一組數據用該組區(qū)間的中點值代替)；

(2)若在第五組中，按照各年級人數比例采用分層隨機抽樣的方法抽取7人，再從中選取2人組成宣講組，在校內進行義務宣講，求這2人都是高三學生的概率；

(3)若比賽成績x>79+s(s為樣本數據的標準差)，則認為成績優(yōu)秀，試估計參賽的1500名學生成績優(yōu)秀的人數.參考公式：s=i=1n(xi?x?)17.(本小題17分)

甲、乙、丙三人結伴去游樂園玩射擊游戲，其中甲射擊一次擊中目標的概率為12，甲、乙兩人各射擊一次且都擊中目標的概率為16，乙、丙兩人各射擊一次且都擊中目標的概率為19，已知任意兩次射擊互不影響．

(1)分別計算乙，丙兩人各射擊一次且擊中目標的概率；

(2)求甲、乙、丙各射擊一次且恰有一人擊中日標的概率；

(3)若想擊中目標的概率不低于999910000，甲至少需要射擊多少次？18.(本小題15分)

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BC=4，∠ABC=60°，△PAB是邊長為2的等邊三角形，PB⊥AC，E是線段PD的中點．

(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD；

(2)若PF=λPC(0<λ<1)，是否存在λ，使得直線BF與平面PAD所成角的正弦值為1019.(本小題17分)

如圖，在三棱臺ABC?DEF中，AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，N為DF的中點，二面角D?AC?B的大小為θ．

(1)求證：AC⊥BN；

(2)若θ=π2，求三棱臺ABC?DEF的體積；

(3)若A到平面BCFE的距離為62，求

參考答案1.C

2.B

3.B

4.A

5.D

6.A

7.D

8.A

9.AC

10.ABD

11.ACD

12.113613.?∞,?2∪14.π4

215.解：(1)因為∠BAC=90°，所以AB?AC=a?b=0．

由于∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，所以a?c=b?c=cos60°=12．

由MN=MA1+A1C1+C1N16.解：(1)平均成績x?=(55×0.011+65×0.02+75×0.034+85×0.028+95×0.007)×10=75，

所以抽取的200名學生的平均成績x?=75；

(2)由于第五組總共要抽取7人，高三學生占37，所以抽到的高三學生應該有7×37=3人，

設3個高三學生為1，2，3，4個不是高三的學生為a，b，c，d，

事件A=“選取的2人都是高三”，

Ω={(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(b,c)，(b,d)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(c,d)，(c,1)，(c,2)，(c,3)，(d,1)，(d,2)，(d,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)}，

所以n(Ω)=21，

A={(1,2)，(1,3)，(2,3)}，所以n(A)=3，

所以P(A)=321=17，

即選取的2人都是高三學生的概率為17；

(3)依題意，由方差的計算公式，可得：

s=(55?75)2×0.11+(65?75)2×0.2+(75?7517.解：因為甲、乙、丙三人結伴去游樂園玩射擊游戲，其中甲射擊一次擊中目標的概率為12，

甲、乙兩人各射擊一次且都擊中目標的概率為16，乙、丙兩人各射擊一次且都擊中目標的概率為19，

已知任意兩次射擊互不影響．

(1)記“甲，乙，內射擊一次且擊中日標”分別為事件A，B，C，

依題意P(A)=12，且A，B，C相互獨立，

由．P(AB)=P(A)P(B)=16，得P(B)=13，

又由P(BC)=P(B)P(C)=19得P(C)=13，

所以乙射擊一次擊中日標的概率為13，丙射擊一次擊中日標的概率為13，

(2)記“甲、乙、丙各射擊一次且恰有一人擊中日標”為事件D，

因為ABC，BAC，CBA兩兩互斥且A，B.C相互獨立，

∴P(D)=P(AB?C+BA?C+CBA)=P(ABC)+P(BAC)+P(CBA)=12×18.(1)證明：在△ABC中，BC=4，∠ABC=60°，AB=2，由余弦定理知，

AC2=AB2+BC2?2AB?BCcos∠ABC=4+16?2×2×4×12=12，

∴AC2+AB2=BC2，即AC⊥AB，

又∵PB⊥AC，且ABPB=B，AB、PB?平面PAB，

∴AC⊥平面PAB，

又AC?平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD．

(2)解：以A為坐標原點，AB，AC所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,23,0)，

D(?2,23,0)，P(1,0,3)，E(?12,3,32)，

∴AD=(?2,23,0)，AP=(1,0,3)BP=(?1,0,3)，PC=(?1,23,?3)，

BF19.(1)證明：取AC的中點O，連接ON，OB，

由題意知，四邊形ACFD是等腰梯形，△ABC是等邊三角形，

所以ON⊥AC，OB⊥AC，

因為ON∩OB=O，ON、OB?平面OBN，

所以AC⊥平面OBN，

又BN?平面OBN，所以AC⊥BN．

(2)解：由(1)知，ON⊥AC，OB⊥AC，

所以∠BON就是二面角D?AC?B的平面角，即∠BON=θ，

若θ=π2，則∠BON=90°，即OB⊥ON，

因