PAGE《三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用》教學內(nèi)容解析本節(jié)課是一般中學新課程標準試驗教科書《數(shù)學》（必修4）中第一章《三角函數(shù)》第六節(jié)“三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用”的其次課時?！叭呛瘮?shù)模型的簡潔應(yīng)用”一節(jié)教材共設(shè)置了4個例題，按部就班地從四個層次來介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用。教學共分兩個課時，通過第一課時的學習，學生已經(jīng)初步駕馭了由函數(shù)圖象建立解析式的方法，這為其次課時的學習做好了學問上的鋪墊。其次課時由拖地什么狀況比較省力引入，實現(xiàn)從詳細事例中抽象出三角函數(shù)模型的過程，再由學生動手解決無論推力多大，拖把都不會動的問題，讓學生經(jīng)驗由實際問題到數(shù)學模型，再還原到實際問題的過程。緊接著第4個例題，即給出寧波港隨著潮汐改變時水深與時刻的改變數(shù)據(jù)，通過作散點圖，選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型，建立函數(shù)模型，并用得到的函數(shù)模型解決有關(guān)問題。這一課時的內(nèi)容是一個比較完整的建立三角函數(shù)模型解決實際問題的例子，可以讓學生經(jīng)驗運用三角函數(shù)模型描述周期現(xiàn)象、解決實際問題的全過程。教科書《三角函數(shù)》這章特地設(shè)置“三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用”一節(jié)，目的是讓學生感受到三角函數(shù)在解決具有周期改變規(guī)律的問題中的作用，體驗三角函數(shù)與日常生活和其他學科的聯(lián)系。以使學生體會三角函數(shù)的價值和作用，增加應(yīng)用意識，同時還使學生加深對有關(guān)學問的理解．通過例4的教學，可以使學生經(jīng)驗用三角函數(shù)模型刻畫周期現(xiàn)象的全過程，駕馭從實際問題抽象出數(shù)學模型的一般方法，進一步體會三角函數(shù)是刻畫周期改變規(guī)律的重要模型。三角函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，蘊含著豐富的數(shù)學思想。首先，是函數(shù)建模思想。本節(jié)內(nèi)容須要對給出的數(shù)據(jù)細心視察，找尋規(guī)律，發(fā)覺表格中的數(shù)量關(guān)系；畫出散點圖，用曲線擬合這些數(shù)據(jù)，并找出恰當?shù)暮瘮?shù)模型，求其解析式；最終利用所求得的函數(shù)模型解決實際問題，這體現(xiàn)了數(shù)學建模的思想。其次，是數(shù)形結(jié)合思想。在用代數(shù)方法處理一些問題遇到困難時，常通過對圖象的分析，采納數(shù)形結(jié)合的思想，使問題得以解決。三角函數(shù)模型其本身就是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體。就本節(jié)所涉及的實際問題，依據(jù)所供應(yīng)的數(shù)據(jù)很難一目了然地視察到其改變的規(guī)律，而畫出它的散點圖，可直觀地反映出數(shù)據(jù)的周期性改變規(guī)律，這樣將“數(shù)”與“形”結(jié)合，使得模型“形”的建立水到渠成．雖然“數(shù)形結(jié)合”的思想在之前學習分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等詳細函數(shù)模型時，學生已經(jīng)接觸過，但結(jié)合本課內(nèi)容，發(fā)揮從“數(shù)”和“形”兩個方面共同分析解決問題的優(yōu)勢，可以進一步加強對數(shù)形結(jié)合思想方法的理解。此外，在運用三角函數(shù)模型解決數(shù)學問題的過程中，“函數(shù)與方程”的數(shù)學思想也得到了體現(xiàn)。三角函數(shù)模型是在學習了分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等詳細函數(shù)模型之后學習的又一詳細函數(shù)模型，在學問的形成過程中，突出體現(xiàn)了建立模型和應(yīng)用模型兩個核心環(huán)節(jié)．二、教學目標設(shè)置（一）教學目標1．利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點圖，依據(jù)散點圖進行函數(shù)擬合，建立三角函數(shù)模型，駕馭利用三角函數(shù)模型解決實際問題的方法。2．經(jīng)驗由實際問題選擇數(shù)學模型、探討數(shù)學模型、解決實際問題的數(shù)學建模過程，感悟“數(shù)形結(jié)合”、“函數(shù)與方程”的數(shù)學思想，并能理解應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”、“函數(shù)與方程”思想解決有關(guān)具有周期運動規(guī)律的實際問題。3．培育學生的視察、分析、探究、歸納及概括實力以及運用圖形計算器等信息技術(shù)手段解決實際問題的實力，增加學生的應(yīng)用意識。（二）目標解析1．學生在學習了分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)模型后，對建立函數(shù)模型的基本步驟有所了解，但對數(shù)據(jù)呈現(xiàn)周期性改變規(guī)律的數(shù)學建模還是初次接觸，特殊是對如何依據(jù)實際背景及問題的條件，留意考慮實際意義，對問題的解進行詳細分析，學生的理解并不深刻．因此如何建立和應(yīng)用數(shù)學建模是本節(jié)的學習目標之一。2．數(shù)學思想的教學一般要經(jīng)過滲透孕育期、領(lǐng)悟形成期、應(yīng)用發(fā)展期、鞏固深化期四個階段，而非通過簡潔如“復制與灌輸”手段得以實現(xiàn)．所以通過數(shù)學建模的過程，讓學生領(lǐng)悟到“數(shù)學建模思想”、“數(shù)形結(jié)合思想”、“函數(shù)思想”等，并能運用這些數(shù)學思想分析三角函數(shù)的圖象，通過解決一些具有實際背景的綜合性問題，培育他們綜合應(yīng)用數(shù)學和其他學科學問解決問題的實力。3．通過數(shù)學建模的過程，使學生在視察、分析、探究、歸納、概括等思維活動中獲得新知，這不僅可以提高學生的思維實力，培育學生運用圖形計算器等信息技術(shù)手段解決實際問題的實力，同時也可以增加學生的應(yīng)用意識，促進學生良好思維品質(zhì)的形成。教學重點：用三角函數(shù)模型解決一些具有周期性改變規(guī)律的實際問題；從實際問題中發(fā)覺周期改變的規(guī)律，并將所發(fā)覺的規(guī)律抽象為恰當?shù)娜呛瘮?shù)模型。教學難點：分析、整理、提取和利用信息，將實際問題抽象轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)模型，并綜合運用相關(guān)學問解決實際問題。三、學生學情分析

在學習了分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本函數(shù)模型后，學生已經(jīng)驗過視察散點圖，抽象成函數(shù)模型，分析圖象的特征，運用圖形計算器等信息技術(shù)手段求解的數(shù)學建模過程，部分學生對模型的建立和應(yīng)用往往還停留在操作層面上，對其中的數(shù)學意義和蘊含的數(shù)學思想的理解并不深刻；當面對三角函數(shù)解決實際問題的生疏背景、困難的數(shù)據(jù)處理等，學生會感到困難；尤其是明確問題的實際背景、分析問題的困難條件，考慮問題的實際意義，及對問題的解的分析等都會有肯定的困難。因此在教學時，應(yīng)重視審題環(huán)節(jié)，通過有針對性的引導，讓學生仔細閱讀，抓住關(guān)鍵的詞和句子，弄清題意；留意幫助學生在分析問題中提取其中的數(shù)量關(guān)系；借助散點圖，引導學生從“形”的特征發(fā)覺各個量之間的關(guān)系及他們的改變規(guī)律；同時留意指導學生依據(jù)問題的實際意義對問題的解進行詳細的分析。四、教學策略分析依據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容的特點，為了更直觀、形象地突出重點，突破難點，借助信息技術(shù)工具，以EXCEL繪制散點圖等，變抽象為直觀；同時輔之以計算器強大的計算功能，為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維供應(yīng)支持。五、教學過程設(shè)計

（一）開宗明義——呈現(xiàn)問題同學們，我們已經(jīng)知道函數(shù)的解析式、圖像、性質(zhì)三者緊密相連。本節(jié)課我們要來探討解決一些生活生產(chǎn)中的實際問題。首先來看拖地的問題，拖把勻速前進時什么狀況下比較省力?

抽象出數(shù)學關(guān)系，三角函數(shù)學問解決引導學生分析出實際問題中蘊含著受力平衡這個實際模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學關(guān)系式，既水平和豎直方向受力平衡，進而運用數(shù)學運算求出F的表達式，運用函數(shù)思想求出F的最小值。師：當拖桿與豎直方向的角度越大時，越省力，也就是說角度越小越費勁。當推力垂直地面對下時，拖把不會動，在這個改變過程中有個臨界角，不管推力多大，拖把都不會動，現(xiàn)在我們要解決這個問題。生：溝通探討出F水平分解力比最大靜摩擦力小，拖把不會動，從手里角度動身，列出數(shù)學關(guān)系式求解。老師課堂巡察，指導，學生扮演，講解過程，最終還原回實際問題，今后拖地過程中如何有效的拖地?！驹O(shè)計意圖】通過學生動手再練習，可以有效鞏固這個實際問題中的三角學問，同時解決避開拖地死角出現(xiàn)的實際問題。(三）閱讀材料，分析實際問題材料一：寧波港地處我國大陸海岸線中部，南北和長江“T”型結(jié)構(gòu)的交匯點上，地理位置適中，是中國大陸聞名的深水良港。寧波港由北侖港區(qū)、鎮(zhèn)海港區(qū)、寧波港區(qū)、大榭港區(qū)、穿山港區(qū)組成，是一個集內(nèi)河港、河口港和海港于一體的多功能、綜合性的現(xiàn)代化深水大港?，F(xiàn)有生產(chǎn)性泊位309座，其中萬噸級以上深水泊位60座。材料二：海水受日月的引力，在肯定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常狀況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋。材料三：按平安條例規(guī)定，寧波港進港航道水深在18.2米以上，20萬噸以下船舶自由進港，25萬噸30萬噸船舶可候潮進出港。問題1：平安規(guī)定的依據(jù)是什么？題組形式，激發(fā)學生抽取實際模型的實力。有效引導學生進入解決模型的過程。（四）視察數(shù)據(jù)——建立模型材料四：下面是寧波港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系表:時刻 水深/米 時刻 水深/米 時刻 水深/米0:00 25.0 9:00 20.0 18:00 25.03:00 30.0 12:00 25.0 21:00 20.06:00 25.0 15:00 30.0 24:00 25.0問題2：假如從函數(shù)角度思索，哪個是自變量，哪個是因變量？問題3：選用一個適當?shù)暮瘮?shù)來近似描述這個水深和時間的函數(shù)關(guān)系，并給出整點時間的水深近似值？（精確到0.01)問題4：視察散點圖，你發(fā)覺了一些什么結(jié)論？師生活動：老師提問，學生思索、回答，老師依據(jù)學生回答的狀況加以補充，主要從變量間的關(guān)系、水深的最值、水深隨時間改變有無規(guī)律等方面去探討．【設(shè)計意圖】通過視察表格中的數(shù)據(jù)，先發(fā)覺水深有改變，盡可能發(fā)覺或猜想這種改變呈現(xiàn)一種周期性改變規(guī)律，為用散點圖來表示這些數(shù)據(jù)做好鋪墊．問題2：怎么畫這些數(shù)據(jù)的散點圖？用EXCEL工具。

【設(shè)計意圖】讓學生復習用描點法畫出散點圖的方法．問題3：假如我們用一條光滑的曲線把這些點連接起來，依據(jù)曲線的形態(tài)和走勢，能用什么樣的函數(shù)來近似擬合這個圖象？師生活動：老師引導學生利用圖形計算器的連線功能將散點連接起來，如下圖.視察、分析繪出的曲線的形態(tài)和特征，思索、推斷、選擇函數(shù)模型．老師依據(jù)學生回答的狀況加以補充，突出對“周期性”的引導，最終確定可以用形如的正弦型函數(shù)來近似擬合.

【設(shè)計意圖】引導學生依據(jù)由散點圖連成的曲線呈周期性的特點選擇正弦型函數(shù)模型，培育學生的視察、分析、推理、推斷、抽象概括等實力.問題4：如何求出函數(shù)中的，，，和的值，從而確定函數(shù)模型的解析式呢？師生活動：師生通過問答的形式，結(jié)合圖象，求出,,,。（1）求振幅。由圖象可以得到最大值是7.5，最小值是2.5，最大值與最小值之差的一半是振幅，=5（2）求。的值跟周期有關(guān)，從圖象可以看到，完成一次往復運動要用12小時，所以周期是12.所以,。（3）求。圖象向上平移了25個單位。（4）求。代入一個特殊點，得到?！驹O(shè)計意圖】讓學生結(jié)合函數(shù)圖象以及已知表格中的數(shù)據(jù)，求出各參數(shù)的值，體會“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想，利用圖形計算器驗證所求結(jié)果，并兩人合作求出整點時刻的水深。(三）回來現(xiàn)實——提出問題我們已經(jīng)知道港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系可以近似用函數(shù)模型來刻畫，下面利用該模型解決有關(guān)貨船進出港的一些實際問題.問題5：（進出港時間問題）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為24.5m，平安條例規(guī)定至少要有1.5m的平安間隙（船底與洋底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？師生活動：老師通過以下問題，引導學生探究.（1）貨船能夠進入港口所須要滿意的條件是什么？（實際水深≥平安水深）（2）怎樣用數(shù)學表達式來表述這一條件？（3）如何解不等式？（4）若把不等式兩端看成是兩個函數(shù)，分別作出它們的函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，那么滿意我們條件的解是圖象的哪部分？（5）在[0，24]內(nèi)滿意條件的解集是什么？（6）結(jié)合圖象，貨船應(yīng)當選擇什么時間進港，什么時間出港？（7）貨船在港口能呆多久？（8）如何運用圖形計算器幫助我們解決其中的問題？學生利用圖形計算器分別畫出和y=26的圖象，找出兩圖象的交點，通過數(shù)形結(jié)合得到不等式的解集.【設(shè)計意圖】通過問題串，幫助學生弄清晰題目的意思，引導學生建立函數(shù)模型，借助圖形計算器，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.得出答案后，通過檢驗它是否與實際意義相符，對答案的合理性做出說明.問題6：（游客登船問題）一條客船?？吭趯幉ǜ劭冢毕饔孟?，當水深達到最高點時，甲板剛好與碼頭地面平齊。已知地面與甲板的高度差不超過10cm時，游客能舒適地登船。視察此表，客船什么時候起先登船檢票比較合適？乘客有多少舒適的登船時間？師生活動：老師啟發(fā)學生類比、思索，組織學生探討如下問題：（1）“舒適登船”的含義是什么？你能用一個關(guān)系式來表述嗎？（2）舒適水深如何表示呢？（3）如何解不等式？學生在這些問題的引導下思索探究，對于要求解的不等式，學生依據(jù)剛才解題的經(jīng)驗，相互探討尋求解決的途徑，利用圖形計算器通過剛才類似方法求出不等式的解集。【設(shè)計意圖】引導學生用函數(shù)模型刻畫貨船平安水深與時間的關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為不等式問題.讓學生進一步體驗“數(shù)形結(jié)合”思想和“函數(shù)與方程”思想在解決數(shù)學問題中的作用.師生活動：在老師的引導下，學生獨立思索、探討，然后給出回答。下午發(fā)船的話，游客在14:40左右到15:20可以登船，有40分鐘左右登船時間?！驹O(shè)計意圖】將所得的數(shù)學說明轉(zhuǎn)化為實際問題的說明.（四）課時小結(jié)，相識深化問題9：通過這節(jié)課的學習，大家有什么收獲嗎？

（師生一起歸納）1.通過本節(jié)課的學習，學會了數(shù)據(jù)處理的基本方法和步驟：（1）視察收集到的數(shù)據(jù)，找尋規(guī)律，發(fā)覺數(shù)據(jù)間的數(shù)量關(guān)系；（2）依據(jù)已知數(shù)據(jù)繪制散點圖；（3）用光滑的曲線連接散點圖；（4）通過比較，選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型擬合數(shù)據(jù)；（5）求函數(shù)模型的解析式.

在數(shù)據(jù)處理的過程中，運用了函數(shù)的三種不同的表示方法，分析問題并解決問題．2.在解決實際問題時運用了“數(shù)學建模思想”、“數(shù)形結(jié)合思想”、“函數(shù)與方程思想”等數(shù)學思想方法．【設(shè)