第2章對(duì)稱圖形2.4線段、角的軸對(duì)稱性第3課時(shí)角的軸對(duì)稱性

1.理解并掌握角的軸對(duì)稱性、角平分線的性質(zhì)定理以及判定定理，并能初步運(yùn)用其解決有關(guān)線段、角相等的問題.2.經(jīng)歷定理的探索過程，體會(huì)定理的合理性.3.體會(huì)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，提高分析和解決問題的能力.◎重點(diǎn):角平分線的性質(zhì)與判定的探究.◎難點(diǎn):性質(zhì)定理、判定定理的熟練運(yùn)用.

之前我們學(xué)過角平分線，它的定義是什么呢？答:射線OC把∠AOB分成兩個(gè)相等的角，射線OC叫做這個(gè)角的平分線.

角平分線的性質(zhì)

閱讀本課時(shí)開始到“討論”前的內(nèi)容，回答下列問題.1.角是

軸對(duì)稱

?圖形，

角平分線所在的直線

?是它的對(duì)稱軸.

軸對(duì)稱角平分線所在的直線2.角平分線的性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離

相等

?.

符號(hào)語言:如圖:∵OC是∠AOB的平分線，PM⊥OA，PN⊥OB，∴

MP＝PN

?.

相等MP＝PN·導(dǎo)學(xué)建議·提醒學(xué)生注意:角平分線性質(zhì)中“距離相等”是指角平分線上的點(diǎn)與角兩邊之間的距離，不是角平分線上點(diǎn)與兩邊上任意點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度.

1.已知EF是△EBC的角平分線，F(xiàn)D⊥EB于點(diǎn)D，且FD＝3cm，則點(diǎn)F到EC的距離是(

B

)A.2cmB.3cmC.4cmD.6cmB2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，CD＝4，則△ABD的面積為

24

?.

24

角平分線的判定方法

閱讀本課時(shí)“討論”到“練習(xí)”前的內(nèi)容，回答下列問題.角平分線的判定:角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的

平分線

?上.

幾何語言:如圖:∵DE⊥AB，DF⊥AC，DF＝DE，∴∠1＝∠2.

平分線溫馨提示:在應(yīng)用角平分線的判定方法時(shí)，一定要注意“距離”是點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度.·導(dǎo)學(xué)建議·角平分線的判定與角平分線的性質(zhì)是互逆的，教師要讓學(xué)生明白其互逆性，并讓學(xué)生明白:角平分線判定的條件是指在角的內(nèi)部有點(diǎn)滿足到角兩邊的距離相等，那么連接角的頂點(diǎn)和該點(diǎn)的射線必平分這個(gè)角.

如圖，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，因?yàn)镻M⊥OA，PN⊥OB，垂足分別是M，N，PM＝PN，所以O(shè)P平分∠AOB，理由是角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在

角的平分線上

?.

角的平分線上

角平分線的性質(zhì)1.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，AC＝BE.(1)求證:AD＝BD.

(2)求∠B的度數(shù).

角平分線的判定2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，且DE＝DC.(1)求證:BD平分∠ABC.(1)證明:∵∠C＝90°，∴DC⊥BC.∵DE⊥AB，DE＝DC，∴點(diǎn)D在∠ABC的平分線上，∴BD平分∠ABC.(2)若∠A＝36°，求∠DBC的度數(shù).解：(1)證明:∵∠C＝90°，∴DC⊥BC.∵DE⊥AB，DE＝DC，∴點(diǎn)D在∠ABC的平分線上，∴BD平分∠ABC.(2)解:∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝27°.

角平分線的應(yīng)用3.如圖，在碼頭O的東北方向和正東方向上分別有A、B兩個(gè)燈塔，且它們與碼頭的距離相等.OA、OB為海岸線，一輪船P離開碼頭，計(jì)劃沿∠AOB的平分線航行，在航行途中，測(cè)得輪船P與燈塔A和燈塔B的距離相等，問輪船航行時(shí)是否偏離了航線？請(qǐng)說明理由.解:沒有偏離航線.

方法歸納交流

這個(gè)題目不能用角平分線的判定定理直接判定，因?yàn)镻A、PB不是點(diǎn)P到角兩邊的距離，所以不能直接利用角平分線的判定定理來證明.·導(dǎo)學(xué)建議·學(xué)生在應(yīng)用角平分線的判定方法時(shí)，容易忽視“到角兩邊的距離”.教師要提醒學(xué)生注意對(duì)“點(diǎn)到角兩邊的距離”的理解.

1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，若點(diǎn)D到AB的距離為3，則CD的長(zhǎng)為(

A

)A.3B.4C.5D.6A2.如圖，PA⊥ON于點(diǎn)A，PB⊥OM于點(diǎn)B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，則∠PCA＝

55

?°.

553.如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，∠ADC＝130°，求∠MAB的度數(shù).

解:如圖，過點(diǎn)M作MN⊥AD于點(diǎn)N，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°－∠ADC＝50°.∵DM平分∠