第七章復(fù)數(shù)數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解數(shù)系的擴充與引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性.2.通過方程的解認(rèn)識復(fù)數(shù),并理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念.3.掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件及其應(yīng)用.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

復(fù)數(shù)的概念及其表示1.復(fù)數(shù)的定義我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做

,其中i叫做

.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做

.規(guī)定i·i=i2=

.

2.復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈

).以后不作特殊說明時,復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R,其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的

.

復(fù)數(shù)虛數(shù)單位復(fù)數(shù)集-1R實部與虛部

名師點睛z=a+bi(a,b∈R)的虛部是b,而不是bi.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)復(fù)數(shù)z=-2i的實部是0.(

)(2)復(fù)數(shù)z=-1-i的實部和虛部相等.(

)2.方程x2=-1在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有解嗎?√√提示

有解,因為i2=-1,所以i就是方程x2=-1的一個解.知識點2

復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我們規(guī)定:a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)

且

.

名師點睛1.根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的定義知,在a=c且b=d兩式中,如果有一個不成立,那么a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).2.如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù),則可以比較大小;否則不能比較大小.3.復(fù)數(shù)相等的充要條件是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的重要依據(jù),是復(fù)數(shù)問題實數(shù)化這種數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn).a=cb=d過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)兩個復(fù)數(shù)實部的差和虛部的差都等于零,那么這兩個復(fù)數(shù)相等.(

)(2)若復(fù)數(shù)z1=2i,復(fù)數(shù)z2=3i,則z1<z2.(

)2.已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,則x+y=

.

√×5知識點3

復(fù)數(shù)的分類1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以分類如下:2.復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系:(b=0)虛數(shù)

過關(guān)自診

2.若復(fù)數(shù)z=(m-2)+(m+1)i是純虛數(shù),則實數(shù)m=

.

23.[蘇教版教材例題]寫出復(fù)數(shù)

的實部與虛部,并指出哪些是實數(shù),哪些是虛數(shù),哪些是純虛數(shù).重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一對復(fù)數(shù)相關(guān)概念的理解【例1】

(多選題)下列說法錯誤的是(

)A.復(fù)數(shù)由實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成B.若復(fù)數(shù)z=3m+2ni,則其實部與虛部分別為3m,2nC.在復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)D.若a∈R,a≠0,則(a+3)i是純虛數(shù)ABD解析

A錯,復(fù)數(shù)由實數(shù)與虛數(shù)構(gòu)成,在虛數(shù)中又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù).B錯,只有當(dāng)m,n∈R時,才能說復(fù)數(shù)z=3m+2ni的實部與虛部分別為3m,2n.C正確,復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)為純虛數(shù)的條件是x=0且y≠0,只要x≠0,則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù).D錯,只有當(dāng)a∈R,且a≠-3時,(a+3)i才是純虛數(shù).規(guī)律方法

判斷復(fù)數(shù)概念方面的命題真假的注意點(1)正確理解復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部、復(fù)數(shù)相等的概念,注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系;(2)注意復(fù)數(shù)集與實數(shù)集中有關(guān)概念與性質(zhì)的不同;(3)注意通過列舉反例來說明一些命題是假命題.變式訓(xùn)練1下列說法正確的是(

)A.1-ai(a∈R)是一個復(fù)數(shù)B.形如a+bi(b∈R)的數(shù)一定是虛數(shù)C.兩個復(fù)數(shù)一定不能比較大小D.若a>b,則a+i>b+iA解析

由復(fù)數(shù)的定義知A正確;當(dāng)a∈R,b=0時a+bi(b∈R)表示實數(shù),故B項錯誤;如果兩個復(fù)數(shù)同時是實數(shù)時,可以比較大小,故C項錯誤;a+i與b+i不能比較大小,故D項錯誤.探究點二復(fù)數(shù)的分類及其應(yīng)用【例2】

[蘇教版教材例題]實數(shù)m取什么值時,復(fù)數(shù)z=m(m-1)+(m-1)i是:(1)實數(shù)?(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)?解

(1)當(dāng)m-1=0,即m=1時,復(fù)數(shù)z是實數(shù).(2)當(dāng)m-1≠0,即m≠1時,復(fù)數(shù)z是虛數(shù).(3)當(dāng)m(m-1)=0且m-1≠0,即m=0時,復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).規(guī)律方法

利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)的方法及注意事項(1)利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)時,首先應(yīng)將復(fù)數(shù)化為z=a+bi(a,b∈R)的形式,若不是這種形式,應(yīng)先化為這種形式,得到實部與虛部,再求解;(2)要注意確定使實部、虛部的式子有意義的條件,再結(jié)合實部與虛部的取值求解;(3)要特別注意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a=0且b≠0.變式訓(xùn)練2已知m∈R,復(fù)數(shù)z=lgm+(m2-1)i,當(dāng)m滿足何條件時,(1)z為實數(shù);(2)z為虛數(shù);(3)z為純虛數(shù).探究點三復(fù)數(shù)相等的充要條件【例3】

已知集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i}.若M∪P=P,求實數(shù)m的值.規(guī)律方法

復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧(1)復(fù)數(shù)必須是z=a+bi(a,b∈R)的形式才可以根據(jù)實部與實部相等,虛部與虛部相等列方程組求解.(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題,為應(yīng)用方程思想提供了條件,同時這也是復(fù)數(shù)問題實數(shù)化思想的體現(xiàn).變式訓(xùn)練3(1)若5-12i=xi+y(x,y∈R),則x=

,y=

.

-12

5解析

由復(fù)數(shù)相等的條件知x=-12,y=5.(2)已知x2+y2-6+(x-y-2)i=0,求實數(shù)x,y的值.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)數(shù)系的擴充.(2)復(fù)數(shù)的概念.(3)復(fù)數(shù)的分類.(4)復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.方法歸納:方程思想.3.常見誤區(qū):未化成z=a+bi(a,b∈R)的形式.成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一]若復(fù)數(shù)z滿足z=6i+2i2,則z的虛部是(

)A.-2i B.6iC.1 D.6D解析

z=6i+2i2=-2+6i,則z的虛部是6.故選D.12345678910111213141516172.[探究點一]若復(fù)數(shù)z=m2-1+(m2-m-2)i為實數(shù),則實數(shù)m的值為(

)A.-1 B.2C.1 D.-1或2D解析

因為復(fù)數(shù)z=m2-1+(m2-m-2)i為實數(shù),所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.1234567891011121314151617B12345678910111213141516174.[探究點一]若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b為實數(shù)),則“a=0”是“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件B解析

根據(jù)復(fù)數(shù)的概念,當(dāng)a=0且b≠0時,復(fù)數(shù)z=a+bi為純虛數(shù).反之,當(dāng)復(fù)數(shù)z=a+bi為純虛數(shù)時,a=0且b≠0,所以“a=0”是“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”的必要不充分條件.故選B.12345678910111213141516175.(多選題)[探究點二]對于復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R),下列說法正確的是(

)A.若b≠0,則a+bi為虛數(shù) B.若a+(b-1)i=3-2i,則a=3,b=-1C.若a+bi為實數(shù),則b=0 D.i的平方等于1ABC解析

對于選項A,當(dāng)b≠0時,a+bi為虛數(shù),故選項A正確;對于選項C,若a+bi為實數(shù),則b=0,故選項C正確;對于選項D,i的平方為-1,故選項D錯誤.故選ABC.12345678910111213141516176.[探究點三]若(x-2y)i=2x+1+3i,則實數(shù)x,y的值分別為

.

12345678910111213141516177.[探究點一]已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,若z1>z2,則a的取值集合為

.

{0}12345678910111213141516178.[探究點二]當(dāng)實數(shù)m為何值時,復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)i+是:(1)實數(shù)?(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)?1234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)在給出的下列幾個命題中錯誤的是(

)A.若x是實數(shù),則x可能不是復(fù)數(shù)B.若z是虛數(shù),則z不是實數(shù)C.一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復(fù)數(shù)的實部等于零D.-1沒有平方根ACD解析

因為實數(shù)是復(fù)數(shù),故A錯;B正確;因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)要求實部為零,虛部不為零,故C錯;因為i2=-1,故D錯.1234567891011121314151617A123456789101112131415161711.(多選題)已知i為虛數(shù)單位,下列命題中正確的是(

)A.若x,y∈C,則x+yi=1+i的充要條件是x=y=1B.(a2+1)i(a∈R)是純虛數(shù)D.當(dāng)m=4時,復(fù)數(shù)lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是純虛數(shù)BD解析

取x=i,y=-i,則x+yi=1+i,但不滿足x=y=1,故A錯誤;?a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是純虛數(shù),故B正確;當(dāng)m=4時,復(fù)數(shù)lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是純虛數(shù),故D正確.123456789101112131415161712.(多選題)已知復(fù)數(shù)z=3cosα+icos2α(0<α<2π)的實部與虛部之和為-2,則α的取值可能為(

)BC解析

∵復(fù)數(shù)z=3cos

α+icos

2α(0<α<2π)的實部與虛部之和為-2,∴3cos

α+cos

2α=-2,即2cos2α+3cos

α+1=0,123456789101112131415161713.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,則實數(shù)m=

,n=

.

2±2123456789101112131415