抽象函數(shù)的對稱性常用結(jié)論知識與方法1.軸對稱：如果函數(shù)滿足，就有，則的圖象關(guān)于直線對稱.記法：自變量關(guān)于a對稱，函數(shù)值相等.例如，表示關(guān)于對稱，表示關(guān)于對稱.2.中心對稱：若函數(shù)滿足，就有，則關(guān)于點(diǎn)對稱.記法：自變量關(guān)于a對稱，函數(shù)值關(guān)于b對稱.例如，表示關(guān)于對稱，表示關(guān)于對稱.3.常用結(jié)論（視頻中有推導(dǎo)這些結(jié)論）：（1）如果函數(shù)有兩條對稱軸，則一定是周期函數(shù)，周期為對稱軸距離的2倍.（2）如果函數(shù)有一條對稱軸，一個對稱中心，則一定是周期函數(shù)，周期為對稱中心與對稱軸之間距離的4倍.（3）如果函數(shù)有在同一水平線上的兩個對稱中心，則一定是周期函數(shù)，周期為對稱中心之間距離的2倍.典型例題【例1】已知函數(shù)滿足，且在上為增函數(shù)，則（）A. B.C. D.【解析】的圖象關(guān)于直線對稱，所以，因?yàn)?，且在上為增函?shù)，所以，從而【答案】C【例2】己知函數(shù)滿足，若函數(shù)共有3個不同的零點(diǎn)、、，則_________.【解析】的圖象關(guān)于對稱，，由于的圖象也關(guān)于對稱，故它們的交點(diǎn)關(guān)于對稱，設(shè)，則必有且，故.【答案】3【例3】已知函數(shù)滿足，若，則_______.【解析】，分別取和得：，兩式相加得：，又，所以.【答案】0【例4】偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若，則_______.【解析】由題意，周期為4，故.【答案】3【反思】對稱軸+對稱軸=周期，周期為對稱軸之間距離的2倍.【例5】（2018·新課標(biāo)Ⅱ卷）若是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，若，則=（）A. B.0 C.2 D.50【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以，故，所以，即是以4為周期的周期函數(shù)，故，在中取知，又，所以，故.【答案】C【反思】對稱軸+對稱中心=周期，周期為二者之間距離的4倍，熟悉這一結(jié)論，可直接得出本題的周期為4.【例6】定義在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則_______.【解析】由題意，有對稱中心和，故其周期為2，所以.【答案】【反思】若有位于同一水平線上的兩個對稱中心，則為周期函數(shù)，周期為二者之間距離的2倍.強(qiáng)化訓(xùn)練1.已知函數(shù)滿足，且在上為減函數(shù)，則（）A. B.C. D.【解析】的圖象關(guān)于對稱，結(jié)合在上為減函數(shù)知當(dāng)自變量與2的距離越大時，函數(shù)值越小，如圖，而，，，所以，故.【答案】B2.函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（）A. B.C. D.【解析】，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，故.【答案】A3.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)共有3個零點(diǎn)，，，則________.【解析】的圖象關(guān)于對稱，，而的圖象也關(guān)于對稱，故它們的交點(diǎn)也關(guān)于對稱，所以.【答案】4.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且，若，則=_______.【解析】由題意，有對稱軸和，故其周期為2，.【答案】15.（多選）設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的，都有，當(dāng)時，，則（）A.是周期函數(shù)，且周期為2B.的最大值是1，最小值是C.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增D.當(dāng)時，【解析】A項(xiàng)，是偶函數(shù)關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，所以是以4為周期的周期函數(shù)，故A項(xiàng)錯誤；B項(xiàng)，當(dāng)時，，結(jié)合是周期為4的偶函數(shù)可作出的草圖如圖，由圖可知，，故B項(xiàng)正確.C項(xiàng)，由圖可知C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，在中將換成得，故當(dāng)時，，所以，故D項(xiàng)錯誤.【答案】BC6.設(shè)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則_______.【解析】由題意，有對稱中心和對稱軸，故其周期為4，所以.【答案】7.若是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，，若，則______.【解析】的對稱中心和對稱軸周期為4，在中取知，又，，所以，故.【答案】18.函數(shù)滿足，，且，則_______.【解析】由知關(guān)于點(diǎn)對稱，由知關(guān)于對稱，所以是以4為周期的周期函數(shù)，故.【答案】9.已知函數(shù)，定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，若函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，，…，，則（）A.0 B.6 C.12 D.24【解析】注意到函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，又，所以的圖象也關(guān)于點(diǎn)對稱，從而與的圖象的交點(diǎn)關(guān)于對稱，所以，，故.【答案】B10.奇函數(shù)滿足，若當(dāng)時，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為______.【解析】的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，又為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以的周期為2，如圖，與的圖象共有9個交點(diǎn)，即函數(shù)有9個零點(diǎn).【答案】911.偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（）A.4 B.6 C.8 D.10【解析】的圖象關(guān)于對稱，為偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以的周期為2，，作出圖象如圖，由圖可知兩函數(shù)有6個交點(diǎn)，且它們兩兩關(guān)于直線對稱，從而零點(diǎn)之和為6.【答案】B12.偶函數(shù)滿足對任意