初中數(shù)學10大專題知識點精講，重點難點

專題一實數(shù)

知識要點

1.實數(shù)的有關(guān)概念

(1)實數(shù)分類

正整數(shù)

俄數(shù)零

有理數(shù)負整數(shù)

實數(shù)(有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù))

正分數(shù)

負分數(shù)

無理數(shù)一無限不循環(huán)小數(shù)

實數(shù)還可以分為：正實數(shù)、零、負實數(shù):仃理數(shù)還可以分為：正仃理數(shù)、零、負方理數(shù).解題

中需考慮數(shù)的取值范用時,常常用到這種分類方法。特別要注意。是自然數(shù).

(2)數(shù)軸

數(shù)軸的要素：原點、正方向和單位長度.實數(shù)與數(shù)軸I：的點是?對應(yīng)的,這種對應(yīng)關(guān)

系是數(shù)學中把數(shù)和形結(jié)合起來的iR要居礎(chǔ)0在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的

數(shù)總比左邊的數(shù)人。a(a>0)

(3)絕對值|a|='0(a=0)

-a(a<0)

絕對值的代數(shù)意義：

絕對值的幾何意義：?個數(shù)的絕對侑是這個數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點到原點的距禽。

(4)相反數(shù)、倒數(shù)

相反數(shù)以及倒數(shù)都是成對出現(xiàn)的，零的相反數(shù)是零，零沒仃倒數(shù)C”任意?對相反數(shù)的和是零

和“4為倒數(shù)的兩個數(shù)的枳是r的特性常作為計比，變形的技巧。

(5)三種非負數(shù)

|a|、a\>/a(a>0)形式的數(shù)都我示小負數(shù)?！皫讉€II.負數(shù)的和(枳)仍是II：負數(shù)”?！皫?/p>

個作負數(shù)的和等于?零,則必定每個作負數(shù)都同時為零”的結(jié)論常用「化簡求值。

(6)平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念

(7)易錯知識辨析

(1)近似數(shù)、有效數(shù)字如0.030是2個有效數(shù)字(3.0)粕確到千分位：3.11X10是3個行

效數(shù)字：精確到T?位,3.11萬是3個有效數(shù)字(3,1,4)精確到百位.

(2)絕對值國=2的解為x=±2：而卜2|=2,但少部分同學寫成卜2|=±2.

(3)在3知中,以非負數(shù)￡、a、小(aNO)之和為零作為條件,解決仃關(guān)問遐.

2,實數(shù)的運算

(1)實數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方運算.整數(shù)指數(shù)兄的運律。

(2)仃理數(shù)的運克法則在實數(shù)范國仍然適用；實數(shù)的運算律、運兌順序。

(3)加法及乘法的運算律可用「實數(shù)運算的巧算。

(4)近似數(shù)的精確度、仃效數(shù)字、科學記數(shù)法的形式為ax10”(其中1$間<10,n為整數(shù))。

專題二代數(shù)式

知識要點:

知識點I整式的概念

單項式——單項式的次數(shù)系數(shù)

■［多項式——多項式的次數(shù)項數(shù)系數(shù)——升降解排列

（1）整式中只含有一項的是單項式,否則是多項式，單獨的字母或常數(shù)是單項式:

（2）單項式的次數(shù)是所有字母的指數(shù)之和：

多項式的次數(shù)是多項式中域四次項的次數(shù)：

（3）單項式的系數(shù).多項式中的每?項的系數(shù)均包括它前面的符號

（4）同類項概念的兩個相同。兩個無關(guān):

兩個相同：?是所含字母相同，：是相同字母的指數(shù)相同；

兩個無關(guān)：?足，系數(shù)的大小無關(guān)，.是。字母的順序無關(guān)：

（5）整式加減的實質(zhì)是令并同類項:

（6）因式分解F整式乘法的過程恰為相反。

知識點2整式的運算（如結(jié)構(gòu)圖）

tnm^n

用的運算

(?/>)"=anb"

單項式乘以單項式

>因式分解

(a+h\a-h)=a2—b2

乘法公式

(a+b)2=a2+2ah+b2

知識點3因式分解

多項式的因式分解，就是把?個多項式化為幾個整式的枳.分解因式要進行到得?個因式都不

能再分解為止.分解因式的常用方法有：

(1)提公因式法

如多項am+bin+cm=m(a+b+c).

其中m叫做這個多項式各項的公因式，m既可以是一個單項式,也可以是個多項式.

(2)運用公式法，即用

a1-b:=(a+bXa-b),

a3±2ab+b:=(a±bf.弓出結(jié)果.

a'±b'=(a±bMa:Tab+b')

(3)卜字相乘法

對J：：次項系數(shù)為I的：次:Mx2+px+q,J找滿足ab=q,a+b=pft9a,b,如有，則

/+"+g=(x+aXx+g對于股的：次三項式5？+hx+c(aW0),尋找滿足

aiaj=a.cis=c,aiC2+a：Ci=b的a1，a，.C).c：.如有.則ad+/>x+c=(qx+G)(/x+c?).

(4)分組分解法；把各項適當分組,先使分解因式能分組進行,再使分解閃式在各組之間進行.

分組時要用到添括號：括號前面是“+”號,括到括號里的各項都不變符號；括號前面是“一”

號，括到括號里的各項都改變符號.

(5)求根公式法：如果a/+加r+c=O(awO),行兩個根XI,x2,那么

2

ax+bx+c=a(x-x()(x-x,).

知識點4分式的概念

A

(1)分式的定義：整式A除以整式B,可以&示成’的形式.如果除式B中含行字母，那么

B

稱H為分式，其中A稱為分式的分了、B為分式的分母。

B

對「任意個分式，分母都不能為零.

(2)分式的約分

(3)分式的通分

知識點5分式的性質(zhì)

(1)生=&卅=0)(2)已知分式J,分式的值為正：aOb同號；分式的值為負：a9b片號:

BnBb

分式的值為零：a=0RbHO;分式在意義：b*0.

(3)零指數(shù)a°=l(a*0)

(4)負整數(shù)指數(shù)aP=」-(awO、p為正整數(shù)).

ap

ama"=am<",

⑸整數(shù)幕的運兌性質(zhì)a1"+a0=amn(a*0),

(am)n=8?,

(ab)B=a°bn

上述等式中的m、n可以是0或負整數(shù).

知識點6根式的行關(guān)概念

I.平方根：若x?=a(aX)),則x叫做a的平方根，記為士品.

注意：①正數(shù)的平方根有兩個.它們廳.為相反數(shù)：②0的平方根是0：③負數(shù)沒仃平方根：

2.尊術(shù)平方根：個數(shù)的正的平方根叫做算術(shù)平方根：

3.立方根:若x3=a(a>0),則x叫做a的M方根，記為Va.

4.鼓筒二次根式

被開方數(shù)所含因數(shù)是做數(shù)，因式是檢式,不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最荷

二次根式.

5.同類二次根式：化簡幣被開方數(shù)楣同的：次根式。

知識點7.次根式的件質(zhì)

①G(aNO)是?個『負數(shù)：②(，7)2=a(a>0)

a(a>0)

③(A)?=|31=?0(a=0)

-a(a<0)

⑤=y/ayfb(a>0,b>0)

知識點81次根式的運燈

(I)二次板式的加成

.次根式相加減,先把各個.次根式化成最簡二次根式，再把同類.次根式分別合并.

（2）.?次根式的庭法

:次根式相乘,等J洛個因式的被開方數(shù)的枳的算術(shù)平方根,即

Va-Vb=Vab（a>O.b>0）.

二次根式的和相乘，可參照多項式的乘法進行.

兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘,如果它們的枳不含有二次根式,那么這兩個二次根式互為有

理化閃式.

（3）二次根式的除法

:次根式相除.通話先”成分式的形式，然后分化分母都乘以分母的仃理化因式，把分母的

根號化去（或分子、分母約分）.把分母的根號化去，叫做分母有理化.

專題三不等式和不等式組

知識要點：

知識點1、小等式的解：能使不等式成,工的未知數(shù)的值叫做不等式的解。

知識點2,不等式的解集：?個含仃未知數(shù)的不等式的解的全體叫做這個不等式的解集。

知識點3、不等式的解集在:數(shù)軸I:的表示：

（1）x>a：數(shù)軸上表示a的點畫成空心圓圈，表示a的點的右邊部分來表示:

（2）x<a：數(shù)軸上表示a的點畫成空心圈圈,在示a的點的左邊部分來表示：

（3）x>a：數(shù)軸上表示a的點畫成實心留點，表示a的點及表示a的點的6邊部分來表示：

（4）x《a：數(shù)軸上表示a的點畫成實心網(wǎng)點，及示a的點及表示a的點的左邊部分來表示。

在數(shù)軸上表示大I3的數(shù)的點應(yīng)該是數(shù)3所對應(yīng)點的右邊.畫圖時要注意方向（向有）和端點

（不包括數(shù)3,在對應(yīng)點畫空心圓網(wǎng)）.如圖所示：

-10I2345

同樣，如果某個不等式的解集為后一2,那么它表示x取一24：邊的點

場實心圓點.如圖所示:

-3-2-101

總結(jié)：在數(shù)軸上表示不等式解奧的要點：

小于向左畫,大尸向右畫：無等號畫空心網(wǎng)圈，有等號畫蒯點。

知識點4、不等式的性質(zhì)：

（I）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同?個整式,不等號的方向不變:

（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）同?個正數(shù)，不等號的方向不變:

（3）不等式的兩邊都乘以（或除以）同?個負數(shù),不等號的方向改變.

知識點5、元?次不等式:只含有?個未知數(shù)，并且耒知數(shù)的最高次數(shù)是1,系數(shù)不等點0的

不等式，叫做?元?次不等式。

知識點6、解元一次不等式的?般步驟：

（1）去分母：（2）去括號；（3）移項；（4）合并同類項：（5）未知數(shù)的系數(shù)化為1.

通過這些步驟可以把?元?次不等式轉(zhuǎn)化為x>a（x2a）或xVa（x《a）的形式。

知識點7、?元一次不等式組：由兒個含有同?個未知數(shù)的?次不等式組成的不等式維叫做

元?次不等式組。

知識點8、不等式組的解集：不等式組中所有的不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的

解集.

不等式組(a<b)數(shù)軸表示解集記憶口訣

x>a

(1)<-------------------?x>b同大取大

x>bab

x<a

(2)<x<a同小取小

x<b

x>a

(3)?——A-A-----?a<x<b大小取中

x<bat)

x<a

(4)<?無解兩邊無解

x>bab

知識點9、解不等式組：求不等式組解集的過程叫做解不等式組。

知識點10、解?元?次不等式組的一般步驟：先分別解不等式組中的各個不等式,然后再求出

這幾個不等式解集的公共部分。

知識點11、應(yīng)用?元,次不等式（組）的知識解決簡單的數(shù)學問題和實際問題。

專題四方程和方程組

知識要點

一、方程有關(guān)概念

1,方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的優(yōu)叫方程的解，含有一個未知數(shù)的方程的解

也叫做方程的根.

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程.

4、方程的增根：在方程變形時,產(chǎn)生的不適合?康方程的根叫做原方程的增根.

二、一元方程

1、一元一次方程

(I)一元一次方程的標準形式:ax+b=O(其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù),a*0)

(2)-玩一次方程的埴簡形式:ax=b(其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，aHO)

(3)解元次方程的?一步驟:去分心去括號、移項、合并同類項和系數(shù)化為L

（4）一元一次方程有啡-的一個解。

2、元：次方程

（1）?元：次方程的般形式：ax2+hx+c=O（其中x是未知數(shù).a、b、c是已知數(shù).aW

0）

（2）?元：次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法

（3）?元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后?殷，如沒有要求，?般不用配方法。

（4）一元：次方程的根的判別式:A=Z>2-4OC

,'IA>0時o方程有兩個不相等的實數(shù)根：

*'|A=0時0方程仃兩個相等的實數(shù)根：

aAv0時O方程沒仃實數(shù)根.無解：

-IA>0時O方程有兩個實數(shù)根

（5）?元：次方程根9系數(shù)的關(guān)系：

,Ac

若X1,K,是一元：次方程ad+/>x+c=0的兩個根，那么：XI+x、=——.xtx2=~

aa

（6）以兩個數(shù)為,x2為根的一元二次方程（.次項系數(shù)為I）是：.--區(qū)+毛）》+14=0

三、分式方程

（】）定義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：

?般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。

特殊力.法：換元法。

（3）檢驗方法：般把求得的未知數(shù)的值代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的就是原方程

的根：使得以簡公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得的未知數(shù)的值代入

原方程檢驗.

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方,程的公共解叫做方程絹的解。

2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解的過程叫做解力.程組

3、一?次方程組：

⑴二元?次方程組：

a,x+b,v=c.

,般形式：'（a”。,,仇小企為0）

a2x+b2y=c2

解法：代入消遠法和加減消元法

解的個數(shù)：有唯一的解，或無解，”1兩個方程相同時有無數(shù)的解.

（2）三元次方程組：

解法：代人消元法和加減消無法

4、二元二次方程組：

（1）定義：由個二元一次方程和個二元二次方程組成的方程組以及由兩個二元:次方程組

成的方程組叫做二元二次方程組.

（2）解法:消元,轉(zhuǎn)化為解元:次方程，或者降次,轉(zhuǎn)化為:元一次方程組.

專題五函數(shù)

知識要點：

知識點1、平面直角坐標系與點的坐標

?個平面被平面it用坐標分成四個象限，平而內(nèi)的點可以用?對花序?qū)崝?shù)來衣示平面內(nèi)的點。

仃序?qū)崝?shù)對讓??對應(yīng)關(guān)系，各象限內(nèi)點都仃自己的特征，特別要注意坐標軸上的點的特征。點p

（X、y）在x軸上oy=0,x為任意實數(shù)，

點P（x、y）在y軸I：,ox=0,y為任意實數(shù)，點P（x、y）在坐標原點ox=0.y=0。

知識點2、對稱點的坐標的特征

點P（x、y）關(guān)于x軸的對稱點R的坐標為（x,-y）：關(guān)于y軸的對稱軸點P2的坐標為（一x,

y）；關(guān)于原點的對稱點P3為（-x,-y）

知識點3、距離與點的坐標的關(guān)系

點P（a,b）到x軸的距離等f?點P的縱坐標的絕對值,即IbI

點P（a.b）到y(tǒng)軸的距離等「點P的橫坐標的絕封位，即Ia|

點P（a,b）到收點的距懸等F：>la2+h2

知識點4、與函數(shù)有關(guān)的概念

函數(shù)的定義，函數(shù)自變狀及函數(shù)值：函數(shù)自變戰(zhàn)的取件必須使解析式仃意義與解析式是整式時.

自變量取-切實數(shù)，當解析式是分式時,要使分母不為零，當解析式是根式時，自變錄的取值要使

被開方數(shù)為非負數(shù),特別地，在一個函數(shù)關(guān)系中，同時有幾種代數(shù)式,函數(shù)門變M的取佗范圍應(yīng)是

各種代數(shù)式中門變n取值范用的公共部分。

知識點5、己知函數(shù)解析式，判斷點P（X,y）是否在函數(shù)圖像上的方法，棄點P（x,y）的坐

標適合函數(shù)解析式，則點P/EK：圖象匕苔點P/H圖象匕則P（x,y）的坐標適合函數(shù)解析式.

知識點6、列函數(shù)解析式解決實際問題

設(shè)x為門變化y為x的函數(shù)，先列出關(guān)廣x,y的：元方程，再用x的代數(shù)式表示y.城后寫

出門變量的取值范圍.要注意使自變量在實際問題中有意義。

知識點7、?次函數(shù)叮正比例函數(shù)的定義：

例如：y=kx+b（k,b是常數(shù)，k#0）那么y叫做x的?次函數(shù)，特別地節(jié)b=0時，?次函

數(shù)y=kx+b就成為y=kx（k是常數(shù)，k^O）這時.y叫做x的正比例函數(shù)。

知識點8、次函數(shù)的圖象和件質(zhì)

?次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過點（0,b）和點（一50）的條11線，k值決定直線白

左向4是上升還是卜一降，b值決定宜線交于y軸的正華軸還是負半軸或過原點。

知識點9、兩條直線的位置關(guān)系

設(shè)宜線￡?和￡2的解析式為y=kpc+b|和y2=k2x+b2則它們的位置關(guān)系由系數(shù)關(guān)系確定

■Wk?。ti'jf?相交,

k|=k:.與f2平行

k|=k；?b|=b2O，i'J，：爪令?

知識點10,k的求法

知識點11、反比例函數(shù)的定義

形如：丫=與或丫=1??(k是常數(shù)LLk#0)叫做反比例函數(shù)，也可以寫成xy=k(kWO)形式,

x

它表明在反比例函數(shù)中門變Hx。式對應(yīng)的函數(shù)值y之枳券尸己知常數(shù)k.

知識點12、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線,它是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，同時乂是口線y=x或y

=-x為對稱軸的軸對稱圖形，“ik>0時，圖像的兩個分支分別花?、三象限,在傳個象限內(nèi)y附

x的增大而減小，”lk<0時，圖象的兩個分支分別在二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而

增大.

知識點13、反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義.

過雙曲線上任意?點P作x軸、y軸的乖線PA、PB所得矩形的PAOB的而枳為小

知識點14、二次函數(shù)的定義

形如：y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a#0)那么y叫做x的二次函數(shù),它常用的?:種基本

形式。

■股式：y=ax2+bx+c(aWO)

頂點式：y=a(x-h)2+k(a^O)

交點式:y=a(x—X))(x-x2)(a#0,X］、x?是交點與x軸交點的橫坐標)

知識點15、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aXO)的圖望是以(一旦坐土)為頂點，以直線y=-_L為

2a4a2a

對稱軸的拋物線.

在a>0時，拋物線開口向上，在時稱軸的左側(cè)，即xV-2"時，y隨x的增大而減?。涸趯ΨQ

2a

軸的右側(cè)，即當x>-—時，y隨著X的增大而增大.

2a

在aVO時，拋物線開口向3在對稱軸的左側(cè)，即XV-段?時，y的若x的增大而增大。住對

2a

稱軸的右側(cè),即當x>-上?時,y隨著x的增大而減小。

2a

Mia>0,/Ex=-=時，y力最小值，y-二,

2a4a

當a<0,在x=-=b時，y有最大值,丫-=竺4ac——-b~.

2a4a

知識點16、二次函次圖象的平移

:次函數(shù)圖象的平移只要移動頂點坐標即

知識點17、：次函數(shù)y=ax'+bx+c的圖象。坐標軸的交點.

(I)9y軸永遠有交點(0.c)

(2)在b?-4ac>0時，拋物線與x軸有兩個交點,A(x,,0),B(x2.0)這兩點距離為AB

=|X|—Xz|.(X|?x?是ax'+bx+c=0的兩個根)。

在b‘一4ac=0時，拋物線1jx軸只有個交點。

A-b2-4ac<0時,則拋物線與x軸沒有交點?

知識點18、求二次函數(shù)的最大值

b4uc-b~

常見的有兩種方法：(1)H接代人頂點坐標公式(-J,八

2a4a

(2)：|^y=ax2+bx+c配方，利用非負數(shù)的性質(zhì)進行數(shù)值分析。

兩種方法各有所長,第?種方法過程簡單,第:種方法有技巧.

知識點19.拋物線y=ax2+bx+cH'.a,b、c的作用

(1)。決定開I」方向及開口大小，這，y=a/中的a完全樣.

⑵人和a共同決定拋物線對稱軸的位置,由廣拋物線v=av+bx+c的對稱軸是內(nèi)線、=,故:

1(1

①〃=0時，對稱軸為V軸：②2>0(即*b同號)時,而稱軸在y軸左政

a

③2<o(即a、b異號)時,對稱軸在v軸4側(cè).

a

(3)c的大小決定拋物線y=ar-+bx+c'-jy軸交點的位置.

當x=0時，y=c,...拋物線y=ax，+5x+c'jy軸有且只仃一個交點(0,c)：

①c=0,拋物線經(jīng)過原點：②c>0,。y軸交廣正半:軸：③c<0,。y軸交于負卡軸.

以上三點中，芍結(jié)論和條件日換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè),則1<0.

知識點20.汽線。拋物線的交點

(1)y軸。弛物線y=av2+bx+c得交點為(0,c)

⑵ijy軸平行的一線x=〃與拋物線)，+br+c仃旦只行個交點(兒Hz?+bh+c).

(3)拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)7=?2+辰+。的圖像。工軸的兩個交點的橫坐標王、X,,址對應(yīng)?元二次方程

ax2+bx+c=Q的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元:次方程的根的判別式

判定：

①行兩個交點?！?gt;0u>拋物線、x軸相交：

②有一個交點(頂點在x軸上)o△=0o拋物線與x軸相切:

③沒有交點oA<0o拋物線'■]x軸相崗.

(4)平行FX軸的直線與拋物線的交點

同(3)一樣可能有。個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時,兩交點的縱坐標相等,設(shè)縱

坐標為A.則橫坐標是ax2+hx+c=k的兩個實數(shù)根.

⑸一次函數(shù))，=h+#0)的圖像/。二次函數(shù)y=a?+加+工0)的圖像G的交點，由方

程組

.?■\的解的數(shù)II來確定：

y=ax'+bx+c

①方程組仃兩組不同的解時o/VG仃兩個交點：

②方程組只有一組解時o/與G只有一個交點;③方程組無解時。I與G沒行交點.

⑹拋物線與X軸兩交點之間的距離：若拋物線J，=a6+bx+c|3軸兩交點為713,0)，8卜2,0),

.hc

由于西、x,是方程ad+/>x+c=0的兩個根，故N+電=——班?毛=一

aa

\b:-4ac而

Z8=|X|=J(*_.rj=-xj_4.%七=

J(M=~w~=￥

知識點21.：次函數(shù)叼一元：次方程.的關(guān)系：

(1)?元：次方程、=欠2+裊+c就是.次函數(shù)y=a/+6X+C節(jié)函數(shù)V的值為。時的情況.

(2)二次函數(shù)y="2+/>x+c的圖象與x軸的交點行：種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有

交點：當,次函數(shù)y=ad+&t+c的圖象與％軸仃交點時.交點的橫坐標就是'”=0時自變

htx的值，即?元：次方程ad+fer+c=0的根.

⑶”i：次函數(shù)y=ad+加+c的圖象與x軸行兩個交點時，則一元二次方程y=ad+bx+cH

兩個不相等的實數(shù)根：當二次函數(shù)y=ad+/w+c的圖象9x軸有一個交點時，則一元二次方

程a/+〃x+c=0仃兩個相等的實數(shù)根；當：次函數(shù)y+6x+c的圖象9x軸沒有交點

時，則無二次方程笈+c=0沒仃實數(shù)根

專題六統(tǒng)計與概率

知識要點：

知識點1、調(diào)查收集數(shù)據(jù)過程的一般步驟

調(diào)件收集數(shù)據(jù)的過程?股行卜列六步：明確調(diào)代問題、確定調(diào)臺對象、選擇調(diào)臺方法、展開調(diào)

簧、記求結(jié)果、得出結(jié)論.

知識點2、調(diào)查收集數(shù)據(jù)的方法

用傳是通過調(diào)借總體的方式來收集數(shù)據(jù)的，抽樣調(diào)杳是通過調(diào)件樣本方式來收集數(shù)據(jù)的.

知識點3、統(tǒng)計圖

條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖是二種最常用的統(tǒng)計圖.這三種統(tǒng)計圖各具特點:條形

統(tǒng)計圖可以H觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)收特征：折線統(tǒng)計圖可以修觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量變化規(guī)律：扇

形統(tǒng)計圖可以出觀地反映出各部分數(shù)談在總屬中所占的份額.

知識點4、總體、個體、樣本、樣本容量

我們把所要考杳的對象的全體叫做總體，把組成總體的每一個考杳對象叫做個體.從總體中取

出的?部分個體叫做總體的?個樣本.樣本中包含的個體的個數(shù)叫做樣本容植.

知識點5、簡單的隨機抽樣

用抽鋁的辦法決定哪些個體進入樣本.統(tǒng)計學家們稱這種理想的抽樣方法為簡單的隨機抽樣.

知識點6、頻數(shù)、頻率

在汜京實驗數(shù)據(jù)時，每個對象出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù).每個對象需現(xiàn)的次數(shù)?？偞螖?shù)的比值(或

者百分比)稱為頻率.

知識點7、繪制頻數(shù)分布直方圖的步驟

①計算用大值9業(yè)小值的弟：②決定絹踉和細數(shù)：③決定分點；④畫頻數(shù)分布衣：⑤曬出頻數(shù)

分布“力圖.

知識點8、平均數(shù)

在--組數(shù)據(jù)中，用數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)就得到這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

知識點9、中位數(shù)

將?組數(shù)據(jù)從小到大依次抻列,位于正中間位置的數(shù)(或汨中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組

數(shù)據(jù)的中位數(shù).

知識點10、眾數(shù)

在?組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)頻數(shù)坡多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

知識點11、加權(quán)平均數(shù).

在組數(shù)據(jù)中，各個數(shù)在總結(jié)果中所占的百分比稱為這個數(shù)的權(quán)重，每個數(shù)乘以它相應(yīng)的權(quán)乖

后所得的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù).

知識點12、極差

?組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差稱為極差.

知識點13、方差：

我們可以用“先平均，再求整,然后平方,最后再平均”得到的結(jié)果表示?組數(shù)據(jù)偏崗平均值

的情況，這個結(jié)果通常稱為方差.

計算方羌的公式：設(shè)一組數(shù)據(jù)^x,.x2,x3,-xn,X是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。則這組數(shù)據(jù)的方差是：

22:2:

s=：[(X[-X)+(x,-x)+(x,-x)+…+(xn-x)]

知識點14、標準差：

?組數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根，叫做這組數(shù)據(jù)的標準典.

用公式可我示為:

2

S=-五)2+(x2-X)-+…+(xn-x)]

知識點15、確定事件

那些無需通過實驗就能紡預(yù)先確定它們在每?次實驗中都?定會發(fā)生的中件稱為必然召件.那

些在每次實驗中都一定不會發(fā)生的表件稱為不可能事件.必然事件和不可能小件統(tǒng)稱為確定事件.

知識點16、隨機事件

無法先確定在一次實驗中會不會發(fā)生的小件稱為不確定事件或隨機事件.

知識點17＞概率

表示一個群件發(fā)生的可能性大小的數(shù)，叫做該事件的概率.

知識點18、概率的理論計算方法有：①樹狀圖法；②列表法.

專題七圖形的認識

知識要點:

知識點1、生活中的立體圖形

I.生活中的常見立體圖形有：球體、柱體、一體，它們之間的關(guān)系如卜所示

圓柱

■:棱柱

柱體

棱柱四棱柱

五棱柱

圓錐

三棱錐

。:體圖形錐體

棱錐四棱錐

五棱錐

球體

2.多面體：由平面國成的立體圖形叫做多面體

知識點2、由立體圖形到視圖

1.視圖：（1）R棱柱、斷柱、圈錐、球的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）

（2）簡一的兒何體與其三視圖、展開圖

（3）由三視圖猜想物體的形狀

2.通過典型實例，知道這種關(guān)系在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用（如物體的包裝）.

俯視圖反映物體的長和蜜,卜視圖反映了它的長和高.左視圖反映了寬和高.所以X視圖和俯

視圖的長度相等，且互相對正,即“長對正”主視圖與左視圖的高度相等，且互相平齊,即“高平

齊”俯視圖與左視圖的寬度相等,即“寬相等”

知識點3、立體圖形的展開圖

朧柱的側(cè)面展開圖是?個矩形，-邊長為母線的長,另?邊是底面的周長.

一儺的側(cè)面展開圖是個扇形,其中朗形的半徑是內(nèi)錐的母線長,弧長是底面網(wǎng)的周長

正方形的展開圖的形狀比較多

知識點4、平行投影和中心投影

平行投影:在平行光線的照射下,物體所產(chǎn)生的影稱為平行投影.

1.在平行光線的照射F.不同物體的物高。影長成比例.

2.物體在陽光F的影長與方向隨時間的變化而變化

3.太陽光可以看作是一束平行光線

中心投影：花點光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影.

1.在點光源的照射V,不同物體的物高與影長不成比例.

2.在燈光下,不同位置的物體，一子的長短和方向都是不同的,但是任何物體上的一點與其影子

的對應(yīng)點的連線定經(jīng)過光源所在的點.

知識點5、線段、射線、直線

(1)連接兩點的所有線中,線段最短.

線段的垂H平分線上的點到這條線段的兩端的距崗相等

(2)射線、線段可以看作比線的?部分

知識點6、角

(II公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角

1周角=2平角=4-角=360度

冗余和互補:如果兩個角之和是?個點角，那么這兩個角死余

如果兩個角之和是個平向，那么這兩個例［補

知識點7、垂直

(I)兩條直線相交的四個角中有一個為直角時,稱這兩條電線互相垂直,交點叫垂足.

(2)在同平面內(nèi),經(jīng)過此線外(h)?點,有且只有條直線與已知直線垂直.

(3)在線外這個點到垂足間的線段叫做點到北線的距離.

知識點8、平行線

1.平行線:在同?平面內(nèi),不相交的兩條直線.

2.兩條直線被第三條直線所截,出現(xiàn)的三種角:一位角,內(nèi)錯角,同旁內(nèi)角.

一線m截直線a,b成如圖所示的8個角,在圖中:

同位角：N1和N5,N2和N6,N3和N7,N4和N8：

內(nèi)錯角：N3和/5.N4和/6：

同旁內(nèi)角：N3和N6.N4和N5.

3.平行公理經(jīng)過已知巨線外?點有且只有條直線與已知直線平行.

4.平行線的判定方法：

同位角相等,兩直線平行;內(nèi)錯角相等,兩直線平行;同旁內(nèi)角互補,兩直線平行.

另外,平行于同一直線的兩條立線互相平行.垂出干同一直線的兩條立線互相乎行.

5.平行線的性質(zhì):

兩直線平行,同位角相等.兩宜線平行，內(nèi)錯角相等.兩直線平行,同旁內(nèi)角互補.

過宜線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線.

專題八解直角三角形和三角函數(shù)

知識要點：

知識點1三角形的邊、角關(guān)系

①三角形任何兩邊之和大廣第三邊：

②,:角形任何兩邊之差小廣第汕

③三角形三個內(nèi)角的和等于180°：

④三角形三個外角的和等于360°；

⑤:.角形-個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)向的和：

⑥三角形一個外角大于任何個和它不相鄰的內(nèi)角.

知識點2三角形的主要線段和外心、內(nèi)心

①三角形角角平分線、中線、高；

②三角形?:邊的乖克平分線交上一點，這個點叫做:角形的外心.?:用形的外心到各頂點的跑

離相等：

③三角形的:條角平分線交于一點,這個點叫做?:角形的內(nèi)心.:角形的內(nèi)心到?:邊的距離相

等：

④連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行尸第三邊且等『?第三

邊的一半。

知識點3等腰三角形

等腰三角形的識別:

①有兩邊相等的三例形是等腰三角形：

②有兩俗相等的三角形是等腰三用形（等角對等邊）：

③三邊相等的三角形是等邊二:角形：

④三個角都相等的三珀形是等邊?:角形；

⑤有個角是60°的等腰?:明形是等邊三角形。

等腰三角形的性質(zhì)：

①等功對等用；

②等腰三角形的頂角平分平、底邊上的中線、底邊上的高互相屯合:

③等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是它的時稱軸：

④等邊?:角形的：個內(nèi)向都等『60°。

知識點4直角三角形

直角三角形的識別:

①有?個角等于90°的三角形是克角三角形;

②有兩個向五余的?:角膨是汽角=角形：

③勾股定理的逆定理：如果個：角形兩邊的平方和等廣笫三邊的平?方，那么這個三用形是宜

角三角形.

直角三角形的性質(zhì):

①宜角三角形的兩個銳角互余：

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的*半:

③勾股定理：有用：角形兩廣［角邊的平方和等廣斜邊的平方.

知識點5全等三角形

定義、判定、性質(zhì)

知識點6相似三角形

定義

相似三角形L,j鬻:曾鬻等詼角相等

判定方法｛兩個對此角相等

■:條對應(yīng)邊的比相等

對應(yīng)邊的比

相似洸形的性質(zhì)對應(yīng)高的比,等「相似比

周長比

面積比=相以比平方

知識點7銳角三角函數(shù)與解直角三角形

**ina=COA(90-a)

銳用三角函數(shù)場卜

r-r——?tanQ=cot(90-a)

-------T特殊角三角函數(shù)I

日三邊關(guān)系I

|--IW凌希關(guān)系I

傲化——直角：角形

問題常用術(shù)語產(chǎn)

坡度

方位角

1、勾股定理：1'「角-:角形兩I'L/fliZia、?的平方和等「斜邊c的平方。\a2+h2=c2\

2、如卜圖，/ERtAABC中，/C為H角.則NA的銳角：角函數(shù)為（/A可換成/B）：

\定義表達式取值范圍關(guān)系（A+B=90）

正,4的對邊0<sin1<1

曲”=斜邊sinJ=cos8

弦（為銳角）

ZAcosJ=sin

余.//的鄰邊0<cos/1<1sin2A4-cos2A=1

cosA=—rrn-----

弦斜邊（ZA為銳角）

正.4的對邊tan4>0tan/=col8

3,1'-NA的鄰邊

切（ZA為銳角）cotJ=tanZ?

ian/=」一（倒數(shù)）

cotA

余,“乙4的鄰邊cotJ>0

cotA=----7；~~--

切4的對邊（ZA為銳角）tanJ-cotJ=I

3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值：任意銳角的余弦值等F它的余角的正弦值。

sinA=cosB由乙<+N8=90°、sinA=cos（90°-A）

cosA=sinB得NB=90°-NA>cosA=sin（900-A）

4、任意銳向的正切侑等「它的余用的余切值：住意銳用的余切值等了?它的余角的正切值。

tanA=cotB由/力+/8=90°tanA=cot（900-A）

cotA=tanB-ftJZB=90°-ZA^co（A-tan（900-A）

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值（重要）

三角函數(shù)0°30°45°60°90°

sina

cosa

tana-

cota-

6、正弦、余弦的增減性：

,-0。WaW90°時，sina隨a的增大而增大，cosa隨a的增大而減小。

7、正切、余切的增減性:

當0。<a<90°時，“ma隨a的增大而增大，cota前a的增大而減小.

8、解立角三角形的定義:已知邊和角（兩個,其中必行邊）一所有?未知的邊和角.

依據(jù)：①邊的關(guān)系：/+〃=/：②角的關(guān)系：A+B=90。：③邊用關(guān)系：?:角函數(shù)的定義。

（注意：盡心避免使用中間數(shù)據(jù)和除法）

9、應(yīng)用舉例：

（1）仰角：視線在水平線上方的角:俯角：視線在水平線下方的角。

（2）坡面的鉛「（高度〃和水平寬度/的比叫做坡度（坡比）。用字母，表示，即1=，。坡度?殷巧成

1:，〃的形式，如，=1:5等。

把坡面與水平面的夾角記作a（叫做坡角），那么i=，=tana.

10、從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到11標方向的水平角,叫做方位角。如圖3,OA,OB,OC、

OD的方向角分別是：45°、135°、225°.

11、指北或指南方向線與目標方向線所成的小廣90°的水平角,叫做方向角.如圖4QA、OB、

OC、OD的方向角分別是：北偏東30°（東北方向）.南偏東45°（東南方向），

南偏西60,（西南方向），北偏西60'（西北方向）。

12已知個-:角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)值.

2

例：sin/=m,則cosA,tanA,cotA

13三角形面枳公式:

s=-ah=—abcosC（C為a,b邊的夾角）

22

專題九四邊形

知識要點：

知識點1:圖形的變換與鑲嵌

圖

案

欣

賞

與

設(shè)

計

知識點2：四邊形的定義、判定及性質(zhì)

富

情

境

圖

知識點3：矩形、菱形及正方形的判定

知識點4：矩形、菱形及正方形的