第二節(jié)顧客到達分布

7/28/20241系統(tǒng)的組成顧客服務機構顧客到達有先后服務時間有長短存在隨機性7/28/20242要想預測在某一時刻將有多少顧客要求服務系統(tǒng)服務，或者預測某一顧客的服務時間將要延誤多久這都是不可能的對單位時間內到達系統(tǒng)的顧客數(shù)和服務時間這兩個隨機變量進行概率的描述描述顧客到達和服務時間的方法，要求出單位時間內有K個顧客到達系統(tǒng)要求服務的概率，以及服務時間不少于某一時間長度的概率7/28/20243最簡單流（泊松流）

流的平穩(wěn)性對于任意的t≥0及Δt≥0，在時間區(qū)間(t,t+Δt)內有n個顧客到達的概率只與Δt有關，與時間區(qū)間的起點t無關。

當Δt充分小時，在(t,t+Δt)內有一個顧客到達的概率與Δt成正比，即其中，O(Δt)是當Δt→0時，關于Δt高階無窮小，λ為單位時間內的顧客到達平均數(shù)。7/28/20244

流的無后效性

在時間軸上，互不相交的時間區(qū)段和內，顧客的到達數(shù)是相互獨立的，即前一顧客的到達不影響后一顧客的到達。7/28/20245流的普遍性

在同一時刻，有兩個及兩個以上顧客到達的概率與有一個顧客到達的概率相比小到可以忽略的程度，即當Δt充分小時，在時間區(qū)間(t,t+Δt)內有2個及2個以上顧客到達的概率是關于的高階無窮小。7/28/20246流的平穩(wěn)性流的普遍性在區(qū)間(t,t+Δt)內沒有顧客到達的概率7/28/20247在長為(t,t+Δt)的時間區(qū)間內，到達n個顧客的概率?設把長為Δt的時間區(qū)間分成m等分，每段長度為。若在dt內，有一個顧客到達，則稱被“占著”，如果在dt內，沒有顧客到達，則稱為“空著”。被“占著”的概率近似為被“空著”的概率近似根據(jù)流的無后效性，在m個dt中，有顧客到達與沒有顧客到達可以看成是m次獨立的試驗7/28/20248在長為(t,t+Δt)的時間區(qū)間內，到達n個顧客的概率?在m個dt中，有n個dt被顧客“占著”的概率利用二項定律7/28/20249dt0，m

7/28/202410符合最簡單流（泊松流）的隨機事件發(fā)生規(guī)律稱為泊松分布單位時間發(fā)生n個隨機時間的概率參數(shù)1個：λ—顧客的平均到達率思考：交叉口交通流量，排隊車輛？7/28/202411泊松分布的另外一種表達方式——負指數(shù)分布若n=0在Δt的時間段內沒有顧客達到的概率前后兩次隨機事件發(fā)生的時間間隔大于Δt7/28/202412負指數(shù)分布泊松分布在單位時間Δt內，發(fā)生n次隨機事件的概率隨機事件發(fā)生時間間隔大于單位時間Δt的概率隨機事件發(fā)生時間間隔小于單位時間Δt的概率參數(shù)1個：λ—顧客的平均到達率7/28/202413如果顧客的到達過程服從最簡單流，則顧客單位時間內的到達數(shù)服從泊松分布。如果顧客的到達過程服從最簡單流，則顧客到達的時間間隔服從負指數(shù)分布。從本質上看，泊松分布與負指數(shù)分布是同一個過程的不同表現(xiàn)形式。7/28/202414第三節(jié)生滅過程7/28/202415研究系統(tǒng)內部狀態(tài)變化的過程系統(tǒng)狀態(tài)i狀態(tài)i+1狀態(tài)i-1在Δt時刻內發(fā)生兩個或兩個以上事件的概率為O(Δt)一個事件一個事件一、生滅過程定義Δt→0，O(Δt)→0如在Δt→0內，交叉口一條車道

到達兩輛車的概率為O(Δt)→07/28/202416系統(tǒng)具有0,1,2,……個狀態(tài)。在任何時刻，若系統(tǒng)處于狀態(tài)i，并且系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化的過程滿足以下條件，稱為一個生滅過程：1、在（t,t+Δt）內系統(tǒng)由狀態(tài)i轉移到狀態(tài)i+1的概率為λiΔt+O(Δt)——平穩(wěn)性條件Δt內有一個顧客到達的概率2、在（t,t+Δt）內系統(tǒng)由狀態(tài)i轉移到狀態(tài)i-1的概率為μiΔt+O(Δt)——平穩(wěn)性條件Δt內有一個顧客離開的概率7/28/2024173、在（t,t+Δt）內系統(tǒng)發(fā)生兩次以上轉移的概率為O(Δt)，即有2個以上顧客到達或離開的概率為

——普遍性條件只要排隊系統(tǒng)的輸入過程和服務過程符合泊松分布，排隊過程符合生滅過程7/28/202418二、生滅過程狀態(tài)轉移圖S0S1S2Si-1SiSi+1Sk-1Skμ1μ2μ3μi-1μiμi+1μi+2μk-1μkλ0λ1λ2λi-2λi-1λiλi+1λk-2λk-1……狀態(tài)顧客到達率系統(tǒng)服務率t→∞時，Pi(t)趨向于常數(shù)：系統(tǒng)達到穩(wěn)定7/28/202419系統(tǒng)達到穩(wěn)定后：每個狀態(tài)轉入率的期望值與轉出率的期望值相等。對于狀態(tài)i：轉出率的期望值為轉入率的期望值為S0S1S2Si-1SiSi+1Sk-1Skμ1μ2μ3μi-1μiμi+1μi+2μk-1μkλ0λ1λ2λi-2λi-1λiλi+1λk-2λk-1……P0P1P2Pi7/28/202420有對于S0轉入轉出轉出轉入對于SkS0S1S2Si-1SiSi+1Sk-1Skμ1μ2μ3μi-1μiμi+1μi+2μk-1μkλ0λ1λ2λi-2λi-1λiλi+1λk-2λk-1……P0P1P2Pi7/28/202421狀態(tài)轉移方程求解該方程，可以獲得各狀態(tài)對應的概率7/28/202422對于S0對于S1依次類推且有7/28/202423例：某排隊系統(tǒng)：M/M/1/3/∞/FCFS，λ=2，μ=3。求解各狀態(tài)對應的概率。首先，做出相應的狀態(tài)轉移圖S0S1S2S3222333對于S0對于S1對于S27/28/202424生滅過程求解排隊系統(tǒng)各狀態(tài)概率過程建立狀態(tài)轉移圖建立狀態(tài)轉移方程求解狀態(tài)轉移方程各狀態(tài)轉入率期望值與轉出率期望值相等各狀態(tài)概率7/28/202425作業(yè)：利用生滅過程求解以下排隊系統(tǒng)各狀態(tài)的概率。S0S1S2S32232437/28/202426第三節(jié)M/M/1排隊系統(tǒng)顧客到達服從泊松分布—顧客到達率為λ服務過程服從泊松分布（負指數(shù)分布）—系統(tǒng)服務率為μ單通道，先到先服務最簡單的M/M/1排隊系統(tǒng)：M/M/1/∞/∞M/M/1/m/∞7/28/202427M/M/1/∞/∞排隊系統(tǒng)系統(tǒng)容量無限、顧客源無限最基本的排隊系統(tǒng)排隊過程為生滅過程過程7/28/202428S0S1S2Si-1SiSi+1μμμμμμμλλλλλλλ…P0P1P2Pi…列狀態(tài)轉移方程組求各狀態(tài)概率7/28/202429M/M/1/∞/∞排隊系統(tǒng)各狀態(tài)概率歸結為無窮等比數(shù)列求和ρ<1，數(shù)列收斂P0=1-ρ

ρ>1，數(shù)列發(fā)散系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定稱ρ為服務強度，若服務強度大于1，說明單位時間內到達的顧客數(shù)比完成服務的顧客數(shù)多，系統(tǒng)中排隊長度越來越大，產生阻塞。7/28/202430利用排隊系統(tǒng)各狀態(tài)概率計算運行指標1、隊長——系統(tǒng)中的顧客數(shù)量隊長7/28/2024312、排隊長——系統(tǒng)中等待的顧客數(shù)量通道數(shù)7/28/2024323、逗留時間——顧客在排隊系統(tǒng)中的總時間李太勒公式前后2名顧客到達系統(tǒng)的時間間隔7/28/2024334、排隊時間——顧客在排隊系統(tǒng)中的等待時間李太勒公式前后2名顧客到達系統(tǒng)的時間間隔7/28/202434M/M/1/m/∞排隊系統(tǒng)系統(tǒng)容量有限、顧客源無限7/28/202435P0P1P2S2S0S1SiSmμμμμμλλλλλ…Pi…Pm列狀態(tài)轉移方程組求各狀態(tài)概率7/28/202436并不要求ρ<1。特別地，當ρ=1時，P0=1/(m+1)(ρ≠1)7/28/202437利用排隊系統(tǒng)各狀態(tài)概率計算運行指標1、隊長——系統(tǒng)中的顧客數(shù)量隊長7/28/2024382、排隊長——系統(tǒng)中等待的顧客數(shù)量通道數(shù)7/28/2024393、逗留時間——顧客在排隊系統(tǒng)中的總時間李太勒公式前后2名顧客到達系統(tǒng)的時間間隔7/28/202440有效到達率λe當排隊長度未滿容量時，平均到達率為λ當排隊容量已滿容量時，平均到達率為07/28/202441逗留時間7/28/2024424、排隊時間——顧客在排隊系統(tǒng)中的等待時間李太勒公式前后2名顧客到達系統(tǒng)的時間間隔7/28/202443作業(yè)汽車通過一檢查站時進行驗證。汽車按泊松分布到達檢查站，平均間隔0.6分鐘，驗證時間平均為15秒（驗證時間服從負指數(shù)分布）。請分析該排隊系統(tǒng)，求該排隊系統(tǒng)各狀態(tài)對應的概率，以及隊長、排隊長、顧客逗留時間、顧客等待時間等運行指標。7/28/202444顧客的到達是服務參數(shù)λ的泊松分布；顧客的服務時間是服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布；有S個服務臺，顧客按到達的先后次序接受服務。第四節(jié)M/M/S排隊系統(tǒng)7/28/202445當顧客到達時，若有空閑的服務臺就立即接受服務，若所有的服務臺都忙著，則顧客排成一個隊列等待服務。7/28/202446常見的M/M/S/∞/∞及M/M/S/m/∞兩類7/28/202447M/M/S/∞/∞排隊系統(tǒng)—標準M/M/S系統(tǒng)7/28/202448系統(tǒng)中個服務臺的服務率均為μ

，于是整個服務機構的最大服務率為Sμ

。與M/M/1/∞/∞系統(tǒng)類似，只有當時，才能使服務系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)而不排成無限的隊列。系統(tǒng)的服務強度7/28/202449當系統(tǒng)中只有一個顧客時，則有S-1個服務臺空閑著，僅一個服務臺在服務，這時的服務率為μ

，當系統(tǒng)有2個顧客時，就有2個服務臺工作，其服務率為2μ

，…，當系統(tǒng)中有S個顧客時，則服務率達到最大值Sμ

，當系統(tǒng)中的顧客數(shù)超過S時，由于個服務臺都忙著，其余顧客必須排隊，這時的服務率仍為Sμ

7/28/202450M/M/1系統(tǒng)M/M/S系統(tǒng)7/28/202451M/M/S系統(tǒng)7/28/202452根據(jù)正則條件7/28/202453利用排隊系統(tǒng)各狀態(tài)概率計算運行指標1、排隊長7/28/2024542、平均等候時間

7/28/2024553、逗留時間４、平均顧客數(shù)7/28/202456系統(tǒng)容量受限制、顧客源無限、先到先服務的M/M/S系統(tǒng)。該系統(tǒng)共有m-S個位置可供顧客排隊。當顧客到達時，若系統(tǒng)飽和，即服務臺都忙著，排隊位置已排滿，則后到的顧客立即離去，另求服務。因此，該系統(tǒng)中只可能有m+1個狀態(tài)。

M/M/S/m/∞/∞排隊系統(tǒng)7/28/202457與M/M/S/∞/∞系統(tǒng)的推導類似，可得M/M/S/m/∞系統(tǒng)的狀態(tài)指標及運行指標。7/28/202458第五節(jié)排隊服務系統(tǒng)的最優(yōu)化問題排隊系統(tǒng)設計最優(yōu)化的目標在于使系統(tǒng)設施達到最大使用效益，或者說，在一定的質量指標下要求服務機構最為經濟一般要求系統(tǒng)最優(yōu)7/28/202459對于顧客來說，總是要求提高服務水平（如增設服務臺數(shù)、加快服務時間）以減少排隊費用，若要完全滿足顧客的要求，則會導致服務機構過大，使用效率降低