此卷只裝訂不密封此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號2020-2021學(xué)年度下學(xué)期高一第一次月考卷數(shù)學(xué)（A）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．2．設(shè)，是平面直角坐標系內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個單位向量，為坐標原點，若，，則的坐標是（）A． B． C． D．3．已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．4．設(shè)向量與的夾角為θ，，，則等于（）A． B． C． D．5．下列命題中，不正確的是（）A．若a、b、c是三角形三邊，且，則C是銳角B．在中，若，則C．在中，若，則一定是直角三角形D．任何三角形的三邊之比不可能是1：2：36．向量，，，若A，B，C三點共線，則k的值為（）A． B． C．或 D．或7．已知單位向量，滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．8．在中，設(shè)，那么動點M的軌跡必通過的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．若點O是線段BC外一點，點P是平面上任意一點，且，則下列說法正確的有（）A．若λ+μ=1且λ>0，則點P在線段BC的延長線上B．若λ+μ=1且λ<0，則點P在線段BC的延長線上C．若λ+μ>1，則點P在△OBC外D．若λ+μ<1，則點P在△OBC內(nèi)10．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，，且，則（）A． B． C． D．11．有下列說法其中正確的說法為（）A．若，，則B．若，，分別表示，的面積，則C．兩個非零向量，，若，則與共線且反向D．若，則存在唯一實數(shù)使得12．如圖，的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．若，且，是外一點，，，則下列說法正確的是（）A．是等邊三角形B．若，則，，，四點共圓C．四邊形面積最大值為D．四邊形面積最小值為第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知向量，不共線，實數(shù)x，y滿足，則_____．14．一條河寬為800m，一船從A處出發(fā)垂直到達河正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達B處所需時間為________min．15．在中，角的對邊分別為，，，若有最大值，則實數(shù)的取值范圍是__________．16．已知平面向量滿足，，，則的取值范圍是_________；已知向量是單位向量，若，且，則的取值范圍是__________．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）設(shè)，是不共線的非零向量，且，．（1）證明：，可以作為一組基底；（2）以，為基底，求向量的分解式；（3）若，求λ，μ的值．18．（12分）銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）若，，求；（2）若，求b的取值范圍．19．（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，，．（1）求外接圓的面積；（2）若，，求的周長．20．（12分）已知O是所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點．（1）若點O滿足，求證：；（2）已知E為AC邊中點，O在線段DE上，且滿足，的面積為2，求的面積．21．（12分）如圖，在四邊形中，，，．（1）求；（2）若，求周長的最大值．22．（12分）在中，．（1）當(dāng)時，求的最大值；（2）當(dāng)時，求周長的最小值．（新教材）2020-2021學(xué)年下學(xué)期高一第一次月考卷數(shù)學(xué)（A）答案第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【答案】C【解析】由已知及圖形得到，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤，故選C．2．【答案】D【解析】因為，，所以，故選D．3．【答案】A【解析】如圖，作，，，延長OB至點C，使，以O(shè)A，OC為鄰邊作矩形OCDA，則，，即為與的夾角，，則向量在的方向上的投影為，故選A．4．【答案】A【解析】設(shè)，則，，解得，即，，所以，故選A．5．【答案】B【解析】對于A：由余弦定理可得，又，所以，所以角C是銳角，故A正確；對于B：由余弦定理可得，又，所以，所以角A是銳角，所以，故B錯誤；對于C：因為，，所以，所以，則，所以一定是直角三角形，故C正確；對于D：若三角形三邊之比是1：2：3，不妨設(shè)三邊為a，2a，3a，則兩短邊之和為3a，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，故任何三角形的三邊之比不可能是1：2：3，故D正確，故選B．6．【答案】C【解析】由題得，，由題知，故，解得或，故選C．7．【答案】B【解析】由，得，兩邊平方，得，即，整理得，所以或，因為，所以，所以，所以，故選B．8．【答案】C【解析】設(shè)BC的中點是O，，即，所以，所以動點M在線段BC的中垂線上，所以動點M的軌跡必通過的外心，故選C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．【答案】BC【解析】因為，若λ+μ=1且λ>0，則，故，即，又λ>0，則點P在線段BC或其反向延長線上，A錯誤；若λ+μ=1且λ<0，同上可得，而λ<0，則點P在線段BC的延長線上，B正確；若λ+μ>1，，同上可得，當(dāng)時，，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可以看出，點P在△OBC外，C正確；若，不妨令，，則，很顯然此時點P在線段CO的延長線上，不在△OBC內(nèi)，D錯誤，故選BC．10．【答案】AD【解析】，整理可得，可得，為三角形內(nèi)角，，，故A正確，B錯誤；，，，，，解得，由余弦定理得，解得，故C錯誤，D正確，故選AD．11．【答案】BC【解析】A選項錯誤，例如，推不出；B選項，設(shè)AC的中點為M，BC的中點為D，因為，所以，即，所以O(shè)是MD的三等分點，可知O到AC的距離等于D到AC距離的，而B到AC的距離等于D到AC距離的2倍，故可知O到AC的距離等于B到AC距離的，根據(jù)三角形面積公式可知正確；C選項，兩邊平方可得，所以，即夾角為，結(jié)論正確；D選項錯誤，例如，故選BC．12．【答案】AC【解析】由正弦定理，，，得，，，，B是等腰的底角，，，是等邊三角形，A正確；B不正確：若四點共圓，則四邊形對角互補，由A正確，知，，但由于，，時，，∴B不正確；C正確，D不正確，設(shè)，則，，，，，，，∴C正確，D不正確，故選AC．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】3【解析】∵，不共線，且，∴，解得，∴，故答案為3．14．【答案】3【解析】∵，，，∴．∴所需時間，∴該船到達B處所需的時間為3min，故答案為3．15．【答案】【解析】由于，所以，由正弦定理得，所以，，所以．當(dāng)，即時，，沒有最大值，所以，則，其中，要使有最大值，則要能取，由于，所以，所以，即，解得．所以的取值范圍是，故答案為．16．【答案】，【解析】（1）由，，解得，又由，代入已知值可得，化簡可得，解得．（2）因為是單位向量，且，設(shè)，，設(shè)，則，，因為，即，化簡得，所以表示線段上的點到點的距離，所以；，故答案為，．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】（1）證明：若，共線，則存在λ∈R，使，則，由，不共線得，所以λ不存在，故平面向量，不共線，可以作為一組基底．（2）解：設(shè)(m，n∈R)，得：，因為，，是不共線的非零向量，所以，所以．（3）解：由得：，又，是不共線的非零向量，所以，故所求λ，μ的值分別為3和1．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依題意得，，得，又，所以，由余弦定理得，得，而，解得，故為等邊三角形，所以．（2）依題意，由正弦定理得，則，由于是銳角三角形，則，，，得，則b的取值范圍為．19．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，由正弦定理得，因為，所以，得，又，故，∴外接圓的半徑，∴外接圓的面積為．（2）由及，得，，∵，則為銳角，∴，故．如圖所示，在中，由余弦定理得，，解得，則的周長為．20．【答案】（1）證明見解析；（2）面積為12．【解析】（1）∵D為BC邊中點，∴，∴由，得，∴．（2）如圖，根據(jù)條件：，∴，∴，又，∴，所以，即的面積為12．21．【答案】（1）；（2）12．【解析】（1）在中，，，利用正弦