第10講相似三角形壓軸題（六大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握相似壓軸題的切入點；

2、綜合分析法解相似三角形壓軸題。

03知識清單

相似三角形壓軸題答題技巧

相似三角形壓軸題，解題需找好四大切入點：

切入點一：做不出、找相似，有相似、用相似

壓軸題牽涉到的知識點較多，知識轉(zhuǎn)化的難度較高。學(xué)生往往不知道該怎樣入手，這時往往應(yīng)根據(jù)題意去

尋找相似三角形。

切入點二：構(gòu)造定理所需的圖形或基本圖形

在解決問題的過程中，有時添加輔助線是必不可少的。對于北京中考來說，只有一道很簡單的證明題是可

以不用添加輔助線的，其余的全都涉及到輔助線的添加問題。中考對學(xué)生添線的要求還是挺高的，但添輔

助線幾乎都遵循這樣一個原則：構(gòu)造定理所需的圖形或構(gòu)造一些常見的基本圖形。

切入點三：緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結(jié)論

在圖形運動變化時，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某

兩個角或某兩個三角形所對應(yīng)的位置或數(shù)量關(guān)系不發(fā)生改變。

切入點四：在題目中尋找多解的信息

圖形在運動變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，如何避免漏解也是一個

令考生頭痛的問題，其實多解的信息在題目中就可以找到，這就需要我們深度的挖掘題干，實際上就是反

復(fù)認真的審題。

【即學(xué)即練1】(2023?上海崇明?一模)已知RtAABC中，ABAC=90°,AB=AC=4,AD〃BC,點E為

射線AD上的一個動點(不與A重合)，過點后作所,防，交射線C4于點尸，連接

(2)在(1)的情況下，射線C4與BE的延長線交于點。，設(shè)鉆=無，。尸=y,求V關(guān)于x的函數(shù)解析式，并

寫出定義域；

(3)當(dāng)BE=3時，求C尸的長.

【即學(xué)即練2】(22-23九年級上?上海?期中)在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點E是邊上的一點,

(2)如圖2,當(dāng)點G在線段C。上，聯(lián)結(jié)AC,ACLEG,求GF的長；

(3)聯(lián)結(jié)AC,如果△AEC與以E、F、G為頂點所組成的三角形相似，求8E的長.

04題型精講

題型1:解答證明題

【典例11（2023八年級下?上海?專題練習(xí)）已知：ABCD中，對角線AC=AB,點E為邊上一點,

點尸為4）延長線上一點，連接A￡、BF,ZABF=2ZEAB.

圖1

⑴如圖1,若NACB=3NE4B=45。，AB=4,B尸交DC于G點，求DG的長；

（2）如圖2,若3C=A3,求證：CE+AF=BF.

【典例2].（23-24九年級上?上海浦東新?期中）己知，在二ABC中，AB=AC=26NA4C=120。，一ADE

的頂點。在邊BC上，AE交8c于點F（點F在點。的右側(cè)），ZDAE=30°.

（1）求證：ABF^DCA；

（2）當(dāng)DF=1時，求8。的長；

（3）若AE>=ED,連接EC,寫出CE與4B的位置關(guān)系，并證明結(jié)論.

題型2：比值問題

【典例3].（23-24八年級上?上海松江?期末）在Rt^ABC中，NACB=90。，點。是邊AC上一點，過。作

DE垂直垂足為點E.

⑴如圖1,點E是的中點，CD=DE,如果AB=6,求3C的長;

（2）已知CD=BC,

①如圖2,連接CE,求證：CE平分ZBED；

AF

②如圖3,延長DE至點尸，連接CF交線段于點G,當(dāng)NA=NF,且點G是CF中點時，求"的值.

ECJ

【典例4].（23-24九年級上?上海松江?期末）在VABC中，AC=BC.點。是射線AC上一點（不與A、C

重合），點廠在線段2C上，直線交直線A3于點E,CD2=CFCB.

（1）如圖，如果點。在AC的延長線上

①求證：DE=BD；

②聯(lián)結(jié)CE,如果CE〃跳>,CE=2,求取的長.

（2汝口果。尸:。匹=1:2,求：AE:￡B的值.

【典例5].（23-24九年級上?上海長寧?期中）如圖，已知在VABC中，BC>AB,BD平分NABC,交邊AC

于點。，E是2C邊上一點，且3E=BA,過點E作EF〃AC,交BD于點F,聯(lián)結(jié)DE、AF,延長AF交3c

于點G.

⑴求證：AB?=BGBC;

（2）當(dāng)AB=AC時，

①若AB=5,BC=8,求。E的長；

s

②若BG=CE,聯(lián)結(jié)AE,求誠^的值.

）ABC

題型3：存在性問題

【典例6].（2020?上海黃浦一模）如圖，在VABC中，ZABC=90。，AB=3,3C=4,過點A作射線AM〃8C,

點。、E是射線AM上的兩點（點D不與點A重合，點E在點。右側(cè)），聯(lián)結(jié)3D、8E分別交邊AC于點尸、

G,ZDBE=ZC.

DE_M

備用圖

⑴當(dāng)AD=1時，求用的長；

⑵設(shè)AD=x,FG=y,求V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

⑶聯(lián)結(jié)DG并延長交邊BC于點如果是等腰三角形，請直接寫出AZ)的長.

【典例7].(23-24九年級上?上海?階段練習(xí))矩形ABCD中，AB=2,AD=4,動點E在邊3C上，不與點

B、C重合，過點A作DE的垂線，交直線C。于點尸，交射線BC于點G.

ECGB

備用圖

⑴如圖，當(dāng)點G在2C延長線上時，求等的值；在點E的運動過程中，分的值是否發(fā)生改變？

DFDF

(2)設(shè)=用含機的代數(shù)式表示線段CG的長；

⑶如果點G在2C延長線上，當(dāng).D3E與.DFG相似時，求。歹的長.

【典例8].(21-22九年級上?上海閔行?期中)如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,BC=18,DB=DC=15,

點E、b分別在線段3。、CD±,DE=DF=5.AE的延長線交邊BC于點G,AF交BD于點N、其延

長線交的延長線于點”.

GC

(1)求證：BG=CH；

(2)設(shè)A￡>=x,△AZW的面積為V,求V關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

(3)聯(lián)結(jié)F、G,當(dāng)..HBG與△ADN相似時，求的長.

題型4：旋轉(zhuǎn)、翻折問題

【典例9].(23-24九年級下?上海?階段練習(xí))已知：在VABC中，AB^AC,將VABC繞點C旋轉(zhuǎn)使點8

落在直線AB上的點。處，點A落在點E處，直線DE與直線BC相交于點R射線AC與射線Z5E相交于點

P,BC=6.

AE

(1)如圖，連接AE,當(dāng)AB>6時，

求證：①四邊形ADCE是等腰梯形；

②PE是PD與PF的比例中項.

(2)當(dāng)點。與點A的距離為5時，求CP的長.

【典例10].(23-24八年級下?上海?期末)在直角梯形中，AD//BC,ZA=90°,AD=4,AB=3,

BC=8,點E是射線上的動點(不與點A重合)

(1)將做沿者直線BE翻折，點A落在A處，射線及交邊3C于點Q.

①如圖，當(dāng)點E在邊AD上時，求證：BQ=EQ.

②當(dāng)△3E4,中有一條邊平行于。C時，求AE的長；

(2)當(dāng)點E在AD的延長線上時，連接CE,射線BE與射線交于點尸，且ZAEB=NECD,求尸E:CE的值.

【典例11].(23-24九年級上?上海崇明?期中)如圖(1),在直角三角形ABC中，ZA=90°,AC=8,

AB=6.點P是AC邊上的動點，作PDLBP,交.BM于點、D,/>￡>與2c相交于點E.

⑴求證：BP-^APBD.

(2)如圖2,將qABP沿3P翻折，點A落在A處，直線A'P交3D于點尸.

①當(dāng)VPDF:VBDE時，求AP的長.

②當(dāng)=g時，求AP的長.

題型5：取值范圍問題

【典例12】.(2024九年級下?上海?專題練習(xí))如圖，在中，ZACB=90°,以AC,3C為邊在VABC

外部作等邊三角形ACE和等邊三角形BCF,且連接EF.

⑵如圖2,延長AC交線段跖于點M.

①當(dāng)點”為線段族中點時，求類的值；

②請用直尺和圓規(guī)在直線上方作等邊三角形海（不要求寫作法，保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論），當(dāng)點

Ar

M在的內(nèi)部時，求。的取值范圍.

BC

題型6：列函數(shù)解析式問題綜合

【典例13].（21-22九年級上?上海奉賢?期中）如圖，已知在RfflABC中，S4c8=90。，AB=W,AC=6,

點。是斜邊A8上的動點，聯(lián)結(jié)C。，作。E0CO交射線C8于點E,設(shè)AZ）=x.

（1）當(dāng)點。是邊AB的中點時，求線段。E的長；

（2）當(dāng)回8即是等腰三角形時，求x的值；

（3）如果y=笠DF，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域.

DB

C

-----------方二~D

備用圖

【典例141.（21-22九年級上?上海徐匯?階段練習(xí)）已知：如圖，四邊形ABCD中,0°<ZBAT>,90°,AD=DC,

AB=BC,4c平分

「一

圖①圖②

（1）求證：四邊形ABCD是菱形;

（2）如果點E在對角線AC上，聯(lián)結(jié)BE并延長，交邊0c于點G,交線段的延長線于點尸（點尸可與

點。重合），ZAFB=ZACB,設(shè)A3長度是。（。是常數(shù)，且。＞0）,AC=x,AF=y,求V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)

系式，并寫出定義域；

（3）在第（2）小題的條件下，當(dāng)一CGE是等腰三角形時，求AC的長（計算結(jié)果用含。的代數(shù)式表示）

【典例15].（23-24九年級上?上海?階段練習(xí)）如圖，已知在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120°,點E、

尸分別在邊3CCD上，AF的延長線交BC的延長線于點G,且NE4F=60。.

⑴如果C另F=；1，求線段BG的長；

DF3

（2）設(shè)C〃=x,AE=y,求y與尤的函數(shù)關(guān)系式；

S3

（3）連接ERAC交于點X,如果蕾絲=弓，求線段AE的長.

【典例16].（22-23八年級下?上海浦東新?期末）如圖，在正方形ABC。中，AB=6,點〃是邊BC的中點,

點E是邊A3上的一個動點，成;，4欣交4〃于點3,交射線C。于點F.

（1）如圖①，當(dāng)點E與點2重合時，求證：BM=CF.

（2）如圖②，當(dāng)點P在線段上時，設(shè)BE為x,梯形AEED的面積為》寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫

出尤的取值范圍.

⑶若DF=1,求點A到線段跖的距離.

05強化訓(xùn)練

一、解答題

1.已知VA3c中，AB=AC=5,BC=8,E是射線54上一點（不與點B重合），線段3E的垂直平分線與

邊BC交于點D

Ei

a

BD\CBD\CBC

圖I圖2番用圖

⑴點E在邊曲上，

①如圖1,連接CE,如果CE平分，ACB,求B0的長；

②如圖2,射線DE交射線C4于點孔設(shè)瓦＞=x,AF=y,求y關(guān)于x的的數(shù)解析式，并寫出定義域.

(2)如果,.CDE是直角三角形，求BD的長.

2.在梯形ABCD中，AD//BC,AB±BC,AD=4,BC=6,。。=2屈，點E是射線A3上一點(不與

點A、8重合)，連接。E,過點E作砂，DE交射線CB于點R連接DF.設(shè)AE=x,FC=y.

⑴求AB的長；

⑵如圖，當(dāng)點E在線段上時，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

⑶如果是以。歹為腰的等腰三角形，求AE的長.

3.如圖，在菱形ABCD中，/ABC是銳角，E是BC邊上的動點，將射線AE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn),

交直線CD于點?

①求證：AE=AF；

Q

代EF3EF

②連結(jié)EF,

BD<1BDr求Q的值;

菱形A8CO

(2)當(dāng)NEAF=gN&W時，延長BC交射線AF于點M,延長DC交射線AE于點N,連結(jié)AC,MN,若

AB=4,AC=2,則當(dāng)CE為何值時，AAW是等腰三角形.

4.在矩形ABCD中，AB=4,點E為3C邊中點，點C關(guān)于DE的對稱點為點b，點尸在矩形ABCD內(nèi),

連接ZZF、FC.

⑴