第第頁7．3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）借助單位圓能畫出三角函數(shù)的圖象，了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（?。┲担嵘庇^想象和邏輯推理素養(yǎng)．（2）借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上的性質(zhì)，正切函數(shù)在上的性質(zhì)，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．（1）能根據(jù)正弦的定義，借助單位圓，在直角坐標(biāo)系中作出圖象上任意一點(diǎn)，并且能利用這一點(diǎn)的作圖原理畫出整個(gè)圖象；（2）能利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)解析式的關(guān)系，得出其圖象之間的關(guān)系，通過平移正弦曲線得到余弦曲線；能通過幾何作圖與代數(shù)運(yùn)算兩個(gè)角度得出三角函數(shù)的周期性與奇偶性；能根據(jù)圖象得到正、余弦函數(shù)的最值；會(huì)畫一些簡(jiǎn)單三角函數(shù)的圖象并會(huì)求其簡(jiǎn)單的性質(zhì)．知識(shí)點(diǎn)01周期函數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，都有，其中是一個(gè)非零的常數(shù)，則是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、定義是對(duì)中的每一個(gè)值來說的，只有個(gè)別的值滿足或只差個(gè)別的值不滿足都不能說是的一個(gè)周期．2、對(duì)于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，三角函數(shù)中的周期一般都指最小正周期．【即學(xué)即練1】（2023·廣東茂名·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，在中，，∴，故選：D.知識(shí)點(diǎn)02正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)1、正弦曲線（1）定義：正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線．（2）圖象知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）由正弦曲線可以研究正弦函數(shù)的性質(zhì)．（2）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想研究與正弦函數(shù)有關(guān)的問題，如，方程根的個(gè)數(shù)．2、正弦函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)；最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）正弦函數(shù)的值域?yàn)?，是指整個(gè)正弦函數(shù)或一個(gè)周期內(nèi)的正弦曲線，如果定義域不是全體實(shí)數(shù)，那么正弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求正弦函數(shù)的值域時(shí)，要特別注意其定義域．（2）求正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，易錯(cuò)點(diǎn)有二：一是單調(diào)區(qū)間容易求反，要注意增減區(qū)間的求法，如求的單調(diào)遞增區(qū)間時(shí)，應(yīng)先將變換為再求解，相當(dāng)于求的單調(diào)遞減區(qū)間；二是根據(jù)單調(diào)性的定義，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求定義域．【即學(xué)即練2】（2023·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為偶函數(shù)，則（

）A． B．6 C． D．3【答案】D【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，解得，所以，．故選：D.知識(shí)點(diǎn)03正弦型函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)與函數(shù)可看作是由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個(gè)“整體”，分別與正弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對(duì)應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．（4）奇偶性：正弦型函數(shù)不一定具備奇偶性．對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”這一前提條件．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為．（6）對(duì)稱軸和對(duì)稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對(duì)稱軸由解出，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，即對(duì)稱中心為．【即學(xué)即練3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心可以是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，由，得，，則不是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，則不是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，則不是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，得，，則是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故D正確.故選：D.知識(shí)點(diǎn)04余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)1、余弦曲線（1）定義：余弦函數(shù)的圖象分別叫做余弦曲線．（2）圖象知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）由余弦曲線可以研究余弦函數(shù)的性質(zhì)．（2）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想研究與余弦函數(shù)有關(guān)的問題．2、余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)余弦函數(shù)定義域值域奇偶性偶函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點(diǎn)最大值點(diǎn)最小值點(diǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）余弦函數(shù)的值域?yàn)?，是指整個(gè)余弦函數(shù)或一個(gè)周期內(nèi)的余弦曲線，如果定義域不是全體實(shí)數(shù)，那么余弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求余弦函數(shù)的值域時(shí)，要特別注意其定義域．（2）求余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)先將變換為再求解，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求定義域．【即學(xué)即練4】（2023·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則是為奇函數(shù)的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】時(shí)，可得，定義域?yàn)镽，此時(shí)，故為奇函數(shù)，故充分性成立，而當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，得，故不一定為，故必要性不成立，是為奇函數(shù)的充分不必要條件.故選：B知識(shí)點(diǎn)05余弦型函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)可看作是由余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個(gè)“整體”，余弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對(duì)應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．（4）奇偶性：余弦型函數(shù)不一定具備奇偶性，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為．（6）對(duì)稱軸和對(duì)稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對(duì)稱軸由解出，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，即對(duì)稱中心為．同理，的對(duì)稱軸由解出，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由解出．知識(shí)點(diǎn)詮釋：判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”這一前提條件．若，則函數(shù)不一定有對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．【即學(xué)即練5】（2023·新疆·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在、上都不單調(diào)，在上單調(diào)遞減，即選項(xiàng)BCD都不是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A是.故選：A知識(shí)點(diǎn)06正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、正切函數(shù)的圖像正切函數(shù)，且，圖象：2、正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：由正切函數(shù)的圖象可知，當(dāng)且無限接近于時(shí)，無限增大，記作（趨向于正無窮大）；當(dāng)，無限減小，記作（趨向于負(fù)無窮大）．也可以從單位圓上的正切線來考慮．因此可以取任何實(shí)數(shù)值，但沒有最大值和最小值．稱直線，為正切函數(shù)的漸進(jìn)線．（3）周期性：周期函數(shù)，最小正周期是（4）奇偶性：奇函數(shù)，即．（5）單調(diào)性：在開區(qū)間，內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）觀察正切函數(shù)的圖象還可得到：點(diǎn)是函數(shù)，，且的對(duì)稱中心，正切函數(shù)圖象沒有對(duì)稱軸（2）正切函數(shù)在開區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增，不能說正切函數(shù)在整個(gè)定義域上是增函數(shù)．【即學(xué)即練6】（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（）的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】設(shè)的最小正周期為，由函數(shù)（）的圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，知，，又因?yàn)?，所以，即，則．故選：B．知識(shí)點(diǎn)07正切型函數(shù)的性質(zhì)1、定義域：將“”視為一個(gè)“整體”．令解得．2、值域：3、單調(diào)區(qū)間：（1）把“”視為一個(gè)“整體”；（2）時(shí)，函數(shù)單調(diào)性與的相同（反）；（3）解不等式，得出范圍．4、周期：【即學(xué)即練7】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．增區(qū)間為，B．增區(qū)間為，C．減區(qū)間為，D．減區(qū)間為，【答案】C【解析】由解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.故選：C.知識(shí)點(diǎn)08五點(diǎn)作圖法用“五點(diǎn)法”作的簡(jiǎn)圖，主要是通過變量代換，設(shè)，由z取來求出相應(yīng)的，通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象．【即學(xué)即練8】知識(shí)點(diǎn)09伸縮變換1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（）或縮短（）到原來的倍得到的（橫坐標(biāo)不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對(duì)稱軸翻折，稱為振幅．2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長(zhǎng)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）．若則可用誘導(dǎo)公式將符號(hào)“提出”再作圖．決定了函數(shù)的周期．3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．4、函數(shù)的圖象經(jīng)變換得到的圖象的兩種途徑知識(shí)點(diǎn)詮釋：一般地，函數(shù)，的圖象可以看作是用下面的方法得到的：（1）先把的圖象上所有的點(diǎn)向左（）或右（）平行移動(dòng)個(gè)單位；（2）再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長(zhǎng)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）；（3）再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（）或縮短（）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變）．【即學(xué)即練9】（多選題）（2023·新疆阿克蘇·高一兵團(tuán)第一師高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象重合，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個(gè)周期為；B．的圖象關(guān)于對(duì)稱；C．是的一個(gè)零點(diǎn)；D．在單調(diào)遞減；【答案】ABC【解析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象重合，，的一個(gè)周期為，故A正確；的對(duì)稱軸滿足：，，當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B正確；由，得，是的一個(gè)零點(diǎn)，故C正確；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：ABC題型一：含絕對(duì)值的三角函數(shù)例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，作出下列函數(shù)的圖象，把這些圖象與的圖象進(jìn)行比較，你能發(fā)現(xiàn)圖象變換的什么規(guī)律？(1)；(2).【解析】（1），將的圖象在軸上方部分保持不變，下半部分作關(guān)于軸對(duì)稱的圖形，即可得到的圖象..（2），將的圖象在軸右邊部分保持不變，并將其作關(guān)于軸對(duì)稱的圖形，即可得到的圖象..例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖．【解析】，的圖象如下圖所示，例3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）作出函數(shù)，的大致圖像．【解析】函數(shù)，其圖如下所示：

變式1．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）請(qǐng)畫出函數(shù)的圖象，你能從圖中發(fā)現(xiàn)此函數(shù)具備哪些性質(zhì)？（可以借助信息技術(shù)畫圖）【解析】由題意，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故可作圖：

由圖象可得，函數(shù)具有如下性質(zhì)：①定義域；②值域；③偶函數(shù)；④最小值正周期為；⑤在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；在上；⑥當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值0，當(dāng)時(shí)函數(shù)取最小值.變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）作出函數(shù)的圖象【解析】，，作出函數(shù)圖象后，將軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，即為函數(shù)的圖象，如圖

【方法技巧與總結(jié)】分類討論解決絕對(duì)值問題題型二：解三角不等式問題例4．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）利用三角函數(shù)圖象，分別求出的取值范圍：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）作出正切函數(shù)在上的圖象，如圖：

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，.（2）作出余弦函數(shù)的圖象，如圖：

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，.（3）作出正弦函數(shù)的圖象，如圖：

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，或.例5．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）根據(jù)正切函數(shù)的圖象，寫出使下列不等式成立的x值的集合：(1)；(2)．【解析】（1）不等式，化為，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出正切函數(shù)在上的圖象和直線，如圖：

顯然在上，滿足，由圖可知在上，使不等式成立的x的取值范圍是，所以使不等式成立的x的集合為.（2）不等式，化為，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出正切函數(shù)在上的圖象和直線，如圖：

顯然在上，滿足，由圖可知在上，使不等式成立的x的取值范圍是.所以使不等式成立的x的集合為.例6．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，寫出使下列不等式成立的x的取值范圍：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）

即，當(dāng)時(shí)，或，故由正弦函數(shù)的圖象可得解得.（2）即，當(dāng)時(shí)，或，故解得（3）即，故當(dāng)時(shí)，或，故，解得.（4）即，故當(dāng)時(shí)，或，故，解得變式3．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）分別求出使下列各組條件成立的x的集合：(1)；(2)．【解析】（1）對(duì)于，考慮在區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)，得，所以的解集為，對(duì)于，考慮在區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)，得，所以的解集為，所以滿足的角的集合為上述兩個(gè)解集的交集，即.（2）對(duì)于，考慮在區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)，得，所以則滿足的角的集合是.【方法技巧與總結(jié)】用三角函數(shù)的圖象解（或）的方法（1）作出直線，作出（或）的圖象．（2）確定（或）的x值．（3）確定（或）的解集．題型三：識(shí)圖問題例7．（2023·四川成都·高三四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，即函?shù)為奇函數(shù)，故CD錯(cuò)誤；由可知，C錯(cuò)誤，A正確；故選：A例8．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考三模）函數(shù)的部分圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】定義域?yàn)镽.∵，∴為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A、B；對(duì)于CD，令，解得：，即有三個(gè)零點(diǎn)，如圖示，取，有，∵，∴.排除C；故選：D例9．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的簡(jiǎn)圖是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用余弦函數(shù)的圖象平移可得．把的圖象向上平移1個(gè)單位即可.故選：D變式4．（2023·四川廣元·高一廣元中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則其部分大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】函數(shù)，定義域?yàn)镽，，函數(shù)為奇函數(shù)，AC選項(xiàng)排除；當(dāng)時(shí)，，D選項(xiàng)排除；故選：B變式5．（2023·湖南·高一專題練習(xí)）如圖所示，函數(shù)（且）的圖像是（

）.A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，作出函數(shù)圖象如下圖所示，

故選：C.變式6．（2023·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象的一部分如圖1所示，則圖2中的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】圖1的函數(shù)為，周期為.圖2的函數(shù)周期為，所以橫坐標(biāo)縮短為原來的，函數(shù)解析式為.又由題可得圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，所以函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)均不改變，即可得到圖2對(duì)應(yīng)的圖象，所以圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為.故選：D.變式7．（2023·江西撫州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，即，所以在區(qū)間上的圖象與的圖象相同，當(dāng)時(shí)，即，所以在區(qū)間和上的圖象是的圖象關(guān)于軸的對(duì)稱圖形.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】利用排除法，從定義域、奇偶性、代數(shù)三個(gè)方面進(jìn)行排除．題型四：三角函數(shù)的周期問題例10．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)對(duì)，，有，且，，則（

）A．0 B．1 C． D．2022【答案】A【解析】令，得，則令，得，由，得，又，故.令，知，得.令得，即，故存在，使得，所以是周期函數(shù)，周期，所以，故選：A例11．（2023·江西九江·高一?？计谥校┖瘮?shù)的周期不可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)，時(shí)，函數(shù)，最小正周期為，故選項(xiàng)A可能；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)，最小正周期為，故選項(xiàng)B可能；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)，最小正周期為，故選項(xiàng)C可能；而對(duì)于選項(xiàng)D：，則若時(shí)，，令，所以與題設(shè)矛盾，故函數(shù)的最小正周期不可能是；故選：D.例12．（2023·四川綿陽·高一綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由余弦型函數(shù)周期性可知：的最小正周期.故選：B.變式8．（2023·高一單元測(cè)試）下列函數(shù)中，最小正周期為π的函數(shù)是（

）A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sin D．y＝cos【答案】D【解析】A.y＝sinx的最小正周期為，故錯(cuò)誤；B.y＝cosx的最小正周期為，故錯(cuò)誤；C.y＝sin的最小正周期為，故錯(cuò)誤；D.y＝cos，故正確；故選：D變式9．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預(yù)測(cè)）若，（），則（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】是周期為3的周期函數(shù)，，，，．故選：B．變式10．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，①和②面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，由題意得，解得，故，得，即，的圖象過點(diǎn)，即，∵，則，

∴，解得．∴∴.故選：A變式11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的周期不大于2，則正整數(shù)k的最小值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【解析】由題設(shè)，,又，正整數(shù)k的最小值為13.故選：D變式12．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)相鄰公共點(diǎn)之間的距離等于2，則對(duì)稱中心到對(duì)稱軸距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)相鄰公共點(diǎn)之間的距離等于2，可得函數(shù)的最小正周期為，則對(duì)稱中心到對(duì)稱軸距離的最小值為.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】（1）定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解．（2）公式法，對(duì)形如或（，，是常數(shù)，，）的函數(shù)，（3）觀察法，即通過觀察函數(shù)圖象求其周期．三種方法各有所長(zhǎng)，要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓?）一般地，函數(shù)的最小正周期為，常常利用此公式來求周期．題型五：三角函數(shù)的奇偶問題例13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)（

）A．是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)【答案】A【解析】由可知是奇函數(shù)．故選:A例14．（2023·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期中）下列函數(shù)中，最小正周期是的奇函數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的周期為，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，A正確；函數(shù)的周期為，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；函數(shù)的周期為，C錯(cuò)誤；設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，故函數(shù)的周期為，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，D錯(cuò)誤；故選：A.例15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）使函數(shù)為偶函數(shù)的最小正數(shù)φ＝（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，∴使函數(shù)為偶函數(shù)的最小正數(shù)．故選：B變式13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】由題知，，則則故選：B變式14．（2023·上海浦東新·高一華師大二附中校考階段練習(xí)）已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，為奇函數(shù)，，，，.故選:C變式15．（2023·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）若為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】為奇函數(shù)，則，，故.故選：C.變式16．（2023·山東濟(jì)寧·高三?？计谥校┖瘮?shù)是偶函數(shù)，則a，b的值可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，，即，即，則有，分析選項(xiàng)，只有D選項(xiàng)滿足.故選：D變式17．（2023·陜西榆林·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)）是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)）是奇函數(shù)，所以，解得，所以的最小值為，故選：A變式18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知（其中為常數(shù)且），如果，則的值為（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】設(shè)，則，則函數(shù)是奇函數(shù)；，則函數(shù)是周期為的周期函數(shù)；由，可得，則，所以，則故選：B.【方法技巧與總結(jié)】判斷函數(shù)奇偶性的方法（1）利用定義判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，要考慮兩方面：①函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②與的關(guān)系；（2）判斷函數(shù)的奇偶性常用方法是：①定義法；②圖象法．題型六：三角函數(shù)的對(duì)稱問題例16．（2023·廣西南寧·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的一條對(duì)稱軸為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸滿足，解得，令，則，故選：A.例17．（2023·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）下列是函數(shù)的對(duì)稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，，所以，函數(shù)的對(duì)稱中心的是，.對(duì)于A項(xiàng)，由，可得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由，可得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由，可得，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由，可得，故D項(xiàng)正確.故選：D.例18．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則.【答案】/【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以；又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得，可得，且，所以，所以，所以．故答案為：.變式19．（2023·遼寧丹東·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)滿足條件：的最小正周期為，且，則函數(shù)的解析式是.【答案】或【解析】由題意，則，又，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則.故答案為：或.變式20．（2023·北京·高一?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的值可以是．（寫出一個(gè)滿足條件的值即可）【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，，解得，，所以的值可以是，，，，，（寫出一個(gè)即可）．故答案為：（答案不唯一）．變式21．（2023·北京昌平·高一北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校?？计谥校┲本€和是曲線的相鄰的兩條對(duì)稱軸，則【答案】2【解析】因?yàn)橹本€和是曲線的相鄰的兩條對(duì)稱軸，所以，得周期，所以，得，故答案為：2變式22．（2023·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則的最小值為．【答案】/【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，所以，所以并且，所以，故答案為：變式23．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于的函數(shù)（）的一條對(duì)稱軸是，則．【答案】【解析】函數(shù)，其對(duì)稱軸方程為，（）∵函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線，∴，即，（）∵，當(dāng)時(shí)，可得．故答案為：．變式24．（2023·河南開封·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么的最小值為．【答案】【解析】的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，即，令，可得的最小值為．故答案為：變式25．（2023·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則．【答案】/【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，又，所以．故答案為：變式26．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，若函數(shù)為奇函數(shù)，則最小正數(shù)m的值為.【答案】【解析】因?yàn)?，若函?shù)為奇函數(shù)，且正數(shù)m取到最小值，即把位于y軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，令，解得，當(dāng)時(shí)，則，即位于y軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心為，所以正數(shù)m取到最小值.故答案為：.變式27．（2023·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則的一個(gè)值可以是.【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，，則，.當(dāng)時(shí)，故答案為：變式28．（2023·遼寧·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤舻南噜弮蓚€(gè)對(duì)稱中心距離是，則正實(shí)數(shù)的值是.【答案】1【解析】由于的周期為,由于相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心距離是,所以,則,故答案為：1【方法技巧與總結(jié)】（1）正弦曲線（余弦曲線）既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；（2）正弦曲線（余弦曲線）的對(duì)稱軸一定過正弦曲線（余弦曲線）的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值（余弦值）取最大值或最小值；（3）正弦曲線（余弦曲線）的對(duì)稱中心一定是正弦曲線（余弦曲線）與軸的交點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值（余弦值）為0．（4）正切曲線與軸的交點(diǎn)及其漸近線與軸的交點(diǎn)都是正切曲線的對(duì)稱中心，正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期．題型七：三角函數(shù)的單調(diào)問題例19．（2023·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)，的增區(qū)間為．【答案】（開閉均可）【解析】由，可得，令，解得，即函數(shù)在的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.（開閉均可）例20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】和【解析】，令得則的單調(diào)遞減區(qū)間為令,∴在上的單調(diào)遞減區(qū)間為和.故答案為：和.例21．（2023·重慶·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令,所以，當(dāng)，由于，故D正確，ABC均錯(cuò)誤，故選：D變式29．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各組函數(shù)中，在區(qū)間上都是增函數(shù)的為（

）.A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】對(duì)于A中，函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)在間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)和在區(qū)間均為單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；對(duì)于C中，，函數(shù)在間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于D中，函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意；故選：B.變式30．（2023·上海長(zhǎng)寧·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，以為最小正周期且在上是嚴(yán)格減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，的最小正周期為，而不在函數(shù)的定義域內(nèi)，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，是嚴(yán)格減函數(shù)，所以B正確，對(duì)于C，的最小正周期為，而此函數(shù)在上是增函數(shù)，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，的最小正周期為，所以D錯(cuò)誤，故選：B變式31．（2023·高一單元測(cè)試）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，令，，解得，，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.變式32．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】設(shè)的最小正周期為，可知，即，且當(dāng)時(shí)，取到最小值，由周期性可知：與最近的最大值點(diǎn)為，如圖所示，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，.故選：D.變式33．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）函數(shù)和都單調(diào)遞增的區(qū)間是（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的單調(diào)遞增的區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞增的區(qū)間是，由，可得函數(shù)和都單調(diào)遞增的區(qū)間是.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】（1）用“基本函數(shù)法”求函數(shù)（，）或（，）的單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步：寫出基本函數(shù)（或）的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；第二步：將“”視為整體替換基本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（用不等式表示）中的“”；第三步：解關(guān)于的不等式．（2）對(duì)于形如的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，當(dāng)時(shí)，可先用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為，則的單調(diào)遞增區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．余弦函數(shù)的單調(diào)性討論同上．另外，值得注意的是這一條件不能省略．（3）求函數(shù)（，，都是常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間的方法若，由于在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上遞增，故可用“整體代換”的思想，令，，解得的范圍即可．若，可利用誘導(dǎo)公式先把的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得的范圍即可．題型八：根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題例22．（2023·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，，且恒成立，若在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹愠闪?，則，所以，，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則，即，，解得，，假設(shè)不存在，則或，解得或，因?yàn)榇嬖?，則，因?yàn)椋瑒t.所以，，可得，故選：A.例23．（2023·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題可知，解得，．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以或解得或，即．故選：C.例24．（2023·全國(guó)·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的周期為，且滿足，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】已知，令，解得則函數(shù)對(duì)稱軸方程為函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，，解得，又由，且，得，故僅當(dāng)時(shí)，滿足題意.故選：C.變式34．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，解得：①，又在上單調(diào)遞增，，解得：②，由①②式聯(lián)立可知的取值范圍是.故選：B變式35．（2023·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)其中．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間上單調(diào)遞增可知，得；當(dāng)時(shí)，由解得；當(dāng)時(shí)，無實(shí)數(shù)解.易知，當(dāng)或時(shí)不滿足題意.綜上，ω的取值范圍為.故選：D變式36．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，所以，所以．令，當(dāng)時(shí)，，于是在區(qū)間上的最值點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于在上的最值點(diǎn)個(gè)數(shù)．由知，，，因?yàn)樵谏锨∮幸粋€(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，所以解得．答案：B.變式37．（2023·江西上饒·高一上饒市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的簡(jiǎn)圖如下：

函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則，解之得.故選：C變式38．（2023·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)（），若在區(qū)間內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和3條對(duì)稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)．當(dāng)時(shí)，令，則，若在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和3條對(duì)稱軸，則在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和3條對(duì)稱軸，則，解得.故選：A．

變式39．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）設(shè)函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有三條對(duì)稱軸、函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得．根據(jù)函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有三條對(duì)稱軸，知，得．根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，知，得．綜上，的取值范圍為．故選：C變式40．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間內(nèi)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)，其中，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，函數(shù)在內(nèi)最多有1個(gè)零點(diǎn)，不符題意，所以，當(dāng)時(shí)，，由可得或，則在上，有一個(gè)零點(diǎn)，所以在內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，即在內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，所以，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，多用數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想求解．題型九：三角函數(shù)比較大小問題例25．（2023·江西南昌·高一南昌二中?？计谥校┤簦瑒t，，的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，，則，則故選：C例26．（2023·江西南昌·高一南昌市鐵路第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)），，的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞增，又易知，所以.故選：B例27．（2023·貴州遵義·高一階段練習(xí)）將下列各式按大小順序排列，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，又?dāng)時(shí)，是減函數(shù)，所以.故選：D．變式41．（2023·山西運(yùn)城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）不求值，比較下列各組數(shù)的大小，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A.因?yàn)?，且在上遞增，所以，故正確；B.因?yàn)椋?，在上遞減，所以，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)?，且，在上遞增，所以，即，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)椋?，在上遞減，所以，即，故錯(cuò)誤；故選：A變式42．（2023·遼寧大連·高一大連市第三十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，比較與的大?。?/p>

）A．大于 B．小于 C．等于 D．不確定【答案】B【解析】因?yàn)?，則，即，又因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則，故選：B.【方法技巧與總結(jié)】比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小（1）比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把兩個(gè)角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．（2）比較兩個(gè)不同名的三角函數(shù)值的大小，一般應(yīng)先化為同名的三角函數(shù)，后面步驟同上．題型十：三角函數(shù)的最值與值域問題例28．（2023·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）函數(shù)，的值域?yàn)?【答案】【解析】令，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)，的值域?yàn)?故答案為：.例29．（2023·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t.【答案】【解析】依題意，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋捎?，所以，此時(shí)，當(dāng)時(shí)取得最小值，符合題意，所以.故答案為：例30．（2023·天津河?xùn)|·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)?，則．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，正弦函數(shù)在上遞增，在上遞減，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，即函數(shù)的值域?yàn)?，所?故答案為：變式43．（2023·安徽·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，可得，又因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，，所以.變式44．（2023·四川南充·高一四川省南充高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥繉蛇吰椒娇傻茫?，因?yàn)椋?，，則，則，即，即函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：變式45．（2023·甘肅天水·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)，的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥苛?，則，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)取得最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為，故函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：變式46．（2023·四川眉山·高一?？计谥校┊?dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)的的集合為．【答案】【解析】依題意令，，解得，，所以函數(shù)取得最大值時(shí)的的集合為.故答案為：變式47．（2023·寧夏銀川·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則.【答案】2【解析】，令，易知，，即為奇函數(shù)，所以結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)有.故答案為：2變式48．（2023·上海浦東新·高一上海師大附中?？计谀┖瘮?shù)的最大值為.【答案】1【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，故最大值為1，故答案為：1變式49．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在x∈[]上的最大值為4，則實(shí)數(shù)a為.【答案】/【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a為.故答案為：變式50．（2023·福建泉州·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)（）在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在最小值，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.變式51．（2023·山東煙臺(tái)·高二萊州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是．【答案】【解析】由和在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故.故答案為：變式52．（2023·湖南邵陽·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.【答案】/.【解析】依題意可得，得，所以.令，則，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最小值為.所以在區(qū)間上的最小值為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等．三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，一般方法也適用，但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)．常見的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種：（1）形如的三角函數(shù)，令，根據(jù)題中的取值范圍，求出的取值范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出的最值（值域）．（2）形如的三角函數(shù)，可先設(shè)，將函數(shù)化為關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域（最值）．（3）對(duì)于形如（或）的函數(shù)的最值還要注意對(duì)的討論．題型十一：根據(jù)函數(shù)圖象求解析式例31．（2023·四川自貢·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，此函數(shù)的解析式為（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)圖象可知，又，所以，解得，將代入得到，，因?yàn)?，所以，故，解得，所?故選：B例32．（2023·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)的部分圖像如圖所示，則，的值分別是（

）A．2， B．2， C．2， D．4，【答案】C【解析】設(shè)函數(shù)的周期為，則由圖象知，，解得，；由圖象點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則，則，則，解得，又已知，則.故選：C.例33．（2023·山東菏澤·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則的值為（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，得，所以，得，所以，因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，得，所以，所以，或，所以，或，因?yàn)?，所以，故選：C變式53．（2023·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，那么（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)圖象可知，將代入得,所以，由于，所以取，故，故選：C變式54．（2023·湖北恩施·高一利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象可知，，所以，即，所以.由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，所以，，即，，由于，所以，所以.故選：D.變式55．（2023·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，是的兩個(gè)零點(diǎn)，若，則下列為定值的量是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，的周期為，由圖象可得，令，可得，，所以，即，又，所以，，，又，所以，所以，故選：A.變式56．（2023·北京順義·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，根?jù)圖像易得，因?yàn)?，所以，所以，則，當(dāng)時(shí)，，由得，所以，即，，因?yàn)椋?，所以；?dāng)時(shí)，，由得，所以，即，，因?yàn)?，所以，所以；綜上：，故A正確.故選：A變式57．（2023·河南南陽·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，的部分圖象如圖，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖象可知，，所以.由可得，，所以.又，所以，所以，所以.因?yàn)?，所以?又，所以，所以，所以，所以.故選：C.變式58．（2023·河南·沈丘縣第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)（）的部分圖像如下圖，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖知，由解得所以當(dāng)時(shí)，.故選：A變式59．（2023·福建莆田·高一莆田一中?？计谥校┮阎瘮?shù),的部分圖象如圖所示,則A．3 B． C．1 D．【答案】A【解析】，，代入得，，又，，，，故選A.【方法技巧與總結(jié)】確定函數(shù)（）的解析式的步驟（1）求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則，．（2）求，確定函數(shù)的周期，則．（3）求，常用方法有①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入（此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入．②五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口．題型十二：同名函數(shù)圖象的變換例34．（2023·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┮玫胶瘮?shù)的圖象，只要把函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位； B．向右平移個(gè)單位；C．向左平移個(gè)單位； D．向右平移個(gè)單位【答案】D【解析】由題意知：，所以只需的圖像向右平移個(gè)單位就可以得到的圖像，故D項(xiàng)正確.故選：D.例35．（2023·上海嘉定·高一?？计谀┮玫胶瘮?shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象

（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】D【解析】將向右平移個(gè)單位，則，其它平移過程都不滿足.故選：D例36．（2023·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】因?yàn)椋缘膱D象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)，故選：D.變式60．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為了得到函數(shù)的圖象，只要把圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】為了得到函數(shù)的圖象，只要把圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，故選：A變式61．（2023·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】函數(shù)，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)的圖象.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】對(duì)，，的三點(diǎn)說明（1）越大，函數(shù)圖象的最大值越大，最大值與是正比例關(guān)系．（2）越大，函數(shù)圖象的周期越小，越小，周期越大，周期與為反比例關(guān)系．（3）大于0時(shí)，函數(shù)圖象向左平移，小于0時(shí)，函數(shù)圖象向右平移，即“加左減右”．題型十三：異名函數(shù)圖象的變換例37．（2023·河南洛陽·高一統(tǒng)考期中）為了得到，的圖象，只需把，圖像上所有的點(diǎn)（

）．A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【解析】由誘導(dǎo)公式可得，所以將函數(shù)圖像上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到的圖像.故選：B例38．（2023·浙江寧波·高三統(tǒng)考期中）要得到函數(shù)的圖象只需將函數(shù)的圖象（

）A．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度B．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度C．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度D．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖像平移規(guī)則，進(jìn)行平移即可由函數(shù)，，所以先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖像，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖像，故選：B例39．（2023·河南信陽·高一信陽高中校考階段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的（

）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度B．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度D．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】，將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到；而將橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到，AB選項(xiàng)排除；C選項(xiàng)：再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到符合要求；D選項(xiàng)：再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，不滿足要求，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C變式62．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市八中?？茧A段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖象，只需的圖象A．向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍（橫坐標(biāo)不變）B．向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變）C．向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍（橫坐標(biāo)不變）D．向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍（橫坐標(biāo)不變）【答案】D【解析】，因此，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），可得到函數(shù)的圖象，故選D.【方法技巧與總結(jié)】變?yōu)橥僮儞Q．題型十四：求圖象變換前、后的解析式例40．（2023·四川達(dá)州·高一四川省萬源中學(xué)校考階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的兩倍（縱坐標(biāo)不變），再向左移動(dòng)個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，若，且，則=.【答案】【解析】將函數(shù)的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的兩倍（縱坐標(biāo)不變），得到，再向左移動(dòng)個(gè)單位，可得：，因?yàn)椋瑒t，且直線為的對(duì)稱軸，又因?yàn)?，則，可得，所以.故答案為：.例41．（2023·安徽滁州·高一校考期末）已知函數(shù)的最小正周期為，其圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則．【答案】【解析】函數(shù)的最小正周期為，，．其圖象向左平移個(gè)單位后，可得的圖象；根據(jù)所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得，，即，，又，則．所以故答案為：例42．（2023·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再把所得到的曲線上的所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮玫胶瘮?shù)的圖象，則.【答案】【解析】將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，再把圖象上的所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象.故答案為：變式63．（2023·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將所得圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求出圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)．【答案】答案舉例：，等（寫出一個(gè)或一個(gè)以上就給分）【解析】由題可知?jiǎng)t函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足，所以則函數(shù)的對(duì)稱中心為.故答案為：（寫出一個(gè)或一個(gè)以上就給分）變式64．（2023·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）將曲線上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則的最小值為.【答案】【解析】將曲線上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，可得，因?yàn)榕c的圖象相同，所以，因?yàn)?，所以的最小值為，故答案為：變?5．（2023·北京昌平·高一北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校校考期中）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則【答案】【解析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象；故答案為：.變式66．（2023·北京海淀·高三專題練習(xí)）將函數(shù)且的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到一個(gè)偶函數(shù)圖象，則．【答案】【解析】將函數(shù)且的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為，所以有，解得.故答案為：變式67．（2023·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，所得圖象的解析式是，則函數(shù)的解析式為．【答案】【解析】將函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)縮短到原來的得到函數(shù)的圖象，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，所以.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】常規(guī)法主要有兩種：先平移后伸縮；先伸縮后平移．值得注意的是，對(duì)于三角函數(shù)圖象的平移變換問題，其平移變換規(guī)則是“左加、右減”，并且在變換過程中只變換自變量x，如果x的系數(shù)不是1，那么需把x的系數(shù)提取后再確定平移的單位和方向．題型十五：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例43．（多選題）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個(gè)周期為 B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．的一個(gè)零點(diǎn)為 D．在單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以它的一個(gè)周期為，故A正確；令，求得為最小值，故的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于，令，可得，故的一個(gè)零點(diǎn)為，故C正確；當(dāng)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上沒有單調(diào)性，故D錯(cuò)誤．故選：ABC例44．（多選題）（2023·四川廣元·高一廣元中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為，與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為，則（）A．的最小正周期為 B．的最小正周期為C． D．【答案】AC【解析】由題意知，函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為，與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為，可得，所以，所以A正確、B錯(cuò)誤；又由，可得，因?yàn)?，即，解得，所以，又因?yàn)?，可得，所以，所以C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.例45．（多選題）（2023·廣東佛山·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，由，知的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，由，知為奇函數(shù)，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，所以不為偶函?shù)，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:AC.變式68．（多選題）（2023·江蘇連云港·高一連云港高中?？计谥校┖瘮?shù)在一個(gè)周期內(nèi)的的圖象如圖示，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．B．C．對(duì)，都有D．對(duì)，都有【答案】BCD【解析】由圖象知：，，則，則，又點(diǎn)在圖像上，所以，則，即，又因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，所以圖象關(guān)于對(duì)稱，即，故C正確；，故D正確.故選：BCD變式69．（多選題）（2023·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）關(guān)于函數(shù)，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的有（

）A．函數(shù)最小正周期為 B．表達(dá)式可寫成C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BC【解析】對(duì)于A，函數(shù)最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，所以函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.故選：BC.變式70．（2023·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┰O(shè)函數(shù)，.(1)求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸方程以及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取最值時(shí)的值.【解析】（1）的最小正周期為，由，可得，則的對(duì)稱軸為，由，可得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，可得，則，故函數(shù)在區(qū)間上的最小值為最大值為，當(dāng)即時(shí)函數(shù)取得最小值為，當(dāng)即時(shí)函數(shù)取得最大值為.變式71．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值2，的圖象上與該最大值點(diǎn)相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)．(1)求的解析式；(2)將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的值域．【解析】（1）設(shè)的最小正周期為，由題意可知：，，則，可得，則，且圖象過點(diǎn)，可得，則，解得，又因?yàn)椋芍?，所以．?）由題意可得：，因?yàn)?，則，可得，即，所以在區(qū)間上的值域?yàn)椋兪?2．（2023·河北邢臺(tái)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象經(jīng)過，，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．(1)求的解析式；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范圍．【解析】（1）由題意可得，，，因?yàn)?，所以．因?yàn)樵诘膱D象上，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以只有滿足要求，故；（2）因?yàn)椋裕?dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為．因?yàn)榇嬖冢沟貌坏仁匠闪?，所以，即，解得，即a的取值范圍為．變式73．（2023·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求m的取值范圍.【解析】（1）由題意可得的最小正周期，則，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，令，解得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因?yàn)?，所以，所以，則，因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，所以恒成立，所以，解得，故m的取值范圍為.【方法技巧與總結(jié)】研究函數(shù)性質(zhì)的基本策略（1）借助周期性：研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱性等問題時(shí)，可以先研究在一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱性，再利用周期性推廣到全體實(shí)數(shù)．（2）整體思想：研究當(dāng)時(shí)的函數(shù)的值域時(shí)，應(yīng)將看作一個(gè)整體，利用求出的范圍，再結(jié)合的圖象求值域．題型十六：用五點(diǎn)法作函數(shù)的圖象例46．（2023·河南南陽·高一統(tǒng)考期中）某同學(xué)用“五點(diǎn)作圖法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并求出函數(shù)的解析式；(2)若在上有兩根，求的取值范圍.【解析】（1）補(bǔ)充表格:由最大值為最小值為可知又，故再根據(jù)五點(diǎn)作圖法，可得，得故（2）令，則所以=有兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)根.即在上有兩個(gè)根.由在的圖像和性質(zhì)可得：,所以故實(shí)數(shù)的取值范圍為例47．（2023·河南南陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示：(1)求函數(shù)的解析式；(2)用“五點(diǎn)作圖法”在給定的坐標(biāo)系中做出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像．【解析】（1）根據(jù)的圖像可知：，故可得，即，又，故；又，故可得，則或，解得或，數(shù)形結(jié)合可知：，即，結(jié)合，解得，顯然，不滿足題意，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足題意；故．（2）由“五點(diǎn)作圖法”找出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如表所示．0020-20例48．（2023·北京·高一首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)用“五點(diǎn)作圖法”在給定坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在上的圖像；(2)求，的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，直接寫出m的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，列表如下：0112001作圖如下：（2）因?yàn)?，令，解得，令，解得，所以的遞增區(qū)間為（3），，又，由（1）的圖象可知，，的取值范圍是．變式74．（2023·安徽宿州·高一碭山中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)用“五點(diǎn)（畫圖）法”作出在的簡(jiǎn)圖；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【解析】（1）列表如下：00020對(duì)應(yīng)的圖象如圖：（2）令，，得，．所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．變式75．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高一蘆溪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)利用“五點(diǎn)畫圖法”完成以下表格，并畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．【解析】（1）根據(jù)“五點(diǎn)畫圖法”可列表如下：作出圖象如下，（2）令，解得：，的單調(diào)減區(qū)間為.【方法技巧與總結(jié)】用“五點(diǎn)法”作的簡(jiǎn)圖，主要是通過變量代換，設(shè)，由取來求出相應(yīng)的，通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象．一、單選題1．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖象的兩條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，最小正周期為，，，，，，，故選：B．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的4倍，則所得到的圖象的函數(shù)解析式是（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)即的圖象，再把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，就得到函數(shù)的圖象，然后再把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的4倍，就得到函數(shù)的圖象.故選：A.3．（2023·河南周口·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．B．直線是圖象的一條對(duì)稱軸C．圖象的對(duì)稱中心為D．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象【答案】C【解析】對(duì)A，由最大值為3可得，由圖知，故，故，由圖象最高點(diǎn)可得，即，又，故，故.故，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，不為函數(shù)最值，故直線不是圖象的一條對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，令，解得，故對(duì)稱中心為，故C正確；對(duì)D，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，故D錯(cuò)誤；故選：C4．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則正實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由題意．所以，得．又，所以正實(shí)數(shù)的最小值為．故選：B．5．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（，），其圖像與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若對(duì)于任意的恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)，令，可得，由于的圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，，，．若對(duì)任意恒成立，則當(dāng)時(shí)，，因此，，解得，，因?yàn)椋?，即．故選：C.6．（2023·江蘇連云港·高一連云港高中校考期中）函數(shù)相鄰對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的距離為，將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，，所以，，又∵且，∴，則，由題意，函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，解得：，.又∵，∴.故選：B.7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)校考期中）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將它的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到了一個(gè)奇函數(shù)的圖象，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得，再將它的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，又因，所以當(dāng)時(shí)，.故選：B.8．（2023·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）設(shè)，，，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，又，且在上遞增，∴，而，所以，∴．故選：B．二、多選題9．（2023·廣東深圳·高一?？茧A段練習(xí)）若，則m的值可能是（

）A．－3 B．1 C．－2 D．5【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以；當(dāng)時(shí)，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以；綜上