微專題二次函數(shù)與矩形、菱形、正方形問題微技能——分類討論思想確定對應(yīng)關(guān)系一階一題多設(shè)問設(shè)問突破二階

例1如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(1，0)，B(5，0)兩點，與y軸交于點C.點P是拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為點H，交直線BC于點E.例1題圖①(1)求拋物線的解析式；例1題圖①(1)將A(1，0)，B(5，0)代入y＝－x2＋bx＋c中，得解得∴拋物線解析式為y＝－x2＋6x－5；(2)如圖②，設(shè)點M是拋物線對稱軸上一點，點N是平面內(nèi)一點，是否存在點M，使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；【思維教練】要求使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是矩形的點M的坐標，已知點M是拋物線對稱軸上一點，設(shè)點M的坐標，分別求出BC，BM，CM的長，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)分別討論∠CBM，∠BCM，∠CMB為直角的情況，利用勾股定理列方程求解．例1題圖②MN(2)存在．易得拋物線對稱軸為直線x＝3，∵點M是對稱軸上一點，設(shè)點M的坐標為(3，m),易得BC2＝52＋52＝50，BM2＝(5－3)2＋m2＝4＋m2，①如解圖①，連接CM，CM2＝32＋(m＋5)2＝m2＋10m＋34,例1題解圖①若∠CBM＝90°，則BC2＋BM2＝CM2,即50＋4＋m2＝m2＋10m＋34,解得m＝2,此時點M的坐標為(3，2);MN②如解圖②，若∠BCM＝90°.則BC2＋CM2＝BM2,即50＋m2＋10m＋34＝4＋m2,解得m＝－8,此時點M的坐標為(3，－8);MN例1題解圖②③如解圖③④，若∠BMC＝90°.則BM2＋CM2＝BC2,即4＋m2＋m2＋10m＋34＝50,解得m＝1或m＝－6，此時點M的坐標為(3，1)或(3，－6).綜上所述，滿足條件的點M坐標為(3，2)或(3，－8)或(3，1)或(3，－6)；MMNN例1題解圖③例1題解圖④(3)如圖③，點Q是平面直角坐標系內(nèi)一點，當以點P，E，B，Q為頂點的四邊形為菱形時，請求出此時點Q的坐標．例1題圖③例1題圖③【思維教練】設(shè)點P的坐標為(x，－x2＋6x－5)，則點E的坐標為(x，x－5)，共分為四種情況討論：①當PH＝HE，QH＝HB時，四邊形PQEB是菱形；②當點P在x軸上方，且PE＝EB＝BQ＝QP時，四邊形PEBQ為菱形；③當點P與點A重合，且PB＝PE＝EQ＝QB時，四邊形PEQB是菱形；④當點P在x軸下方，且PE＝EB＝BQ＝QP時，四邊形PEBQ為菱形．例1題圖③(3)設(shè)點P的坐標為(x，－x2＋6x－5)設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)；將B(5，0)，C(0，5)代入得解得∴直線BC的解析式為y＝x－5，則點E的坐標為(x，x－5)，例1題解圖⑤如解圖⑤∵PE⊥QB，∴當PH＝HE，QH＝HB時，四邊形PQEB是菱形．此時yP＝－yE，即－x2＋6x－5＝－(x－5)，解得x1＝2，x2＝5(不合題意，舍去)，∴QH＝HB＝3，∴點Q的坐標為(－1，0)；例1題解圖⑥如解圖⑥，當點P在x軸上方，且PE＝EB＝BQ＝QP時，四邊形PEBQ為菱形．

∵PE＝－x2＋6x－5－(x－5)＝－x2＋5x，BE＝BH＝(5－x)，∴－x2＋5x＝(5－x)，解得x1＝5(不合題意，舍去)，x2＝.當x＝時，BQ＝PE＝

，∴點Q的坐標為(5，)；例1題解圖⑦如解圖⑦，當點P與點A重合時，PB＝PE.

∴當PB＝PE＝EQ＝QB時，四邊形PEQB是菱形．易得Q的坐標為(5，－4)；例1題解圖⑧如解圖⑧，當點P在x軸下方，且PE＝EB＝BQ＝QP時，四邊形PEBQ為菱形．

∵PE＝x－5－(－x2＋6x－5)＝x2－5x，BE＝BH＝(5－x)，∴x2－5x＝(5－x)，解得x1＝5(不合題意，舍去)，x2＝－.當x＝－時，QB＝PE＝

，∴點Q的坐標為(5，)．綜上所述，存在點Q，使得以點P，E，B，Q為頂點的四邊形為菱形．此時點Q的坐標為(－1，0)，(5，)，(5，－4)或(5，)．(4)如圖④，點M是拋物線的頂點，坐標平面內(nèi)是否存在點P、Q(點P在點Q左側(cè))，使得以B，M，P，Q為頂點的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．【思維教練】由BM為定邊，可分以BM為正方形的邊或以BM為正方形的對角線來確定點P.例1題圖④【解法提示】當MB為正方形的邊時，①當點P在點M的左側(cè)時，如解圖⑨，∵點M為拋物線的頂點，∴M點坐標為(3，4)，∵B(5，0)，∴BM＝，∴BM＝PM＝

，設(shè)P1(m，n)，過點P1作P1N1⊥x軸于點N1，例1題解圖⑨P1P2P3Q1Q2Q3N2N1∴BN1＝5－m，P1N1＝n，∴P1O＝，P1B＝，P1M＝，解得m＝－1，n＝2，∴P1(－1，2)；例1題解圖⑨P1P2P3Q1Q2Q3N2N1②當點P在點M右側(cè)時，如解圖⑨，∵點P2與點P1關(guān)于直線BM對稱，∴P2(3×2＋1，4×2－2)，即P2(7，6)；當MB為正方形的對角線時，∵點P在點Q左側(cè)，∴點P只能在點M的左側(cè)，如解圖⑨，∵BM＝，∴P3B＝PM＝，例1題解圖⑨P1P2P3Q1Q2Q3N2N1設(shè)P3(m，n)，∴P3B＝，P3M＝，解得m＝2n，∵點P3與點Q3關(guān)于直線MB對稱，∴Q3(5＋n，5－m)，

，∴3n＝3，n＝1，∴m＝2n＝2，∴P3(2，1)，綜上所述，存在點P，使得以B，M，P，Q為頂點的四邊形為正方形，此時點P的坐標為(－1，2)，(7，6)，(2，1)．例1題解圖⑨P1P2P3Q1Q2Q3N2N1綜合訓(xùn)練三階第1題圖1.(2023撫本鐵遼葫定心卷)如圖，拋物線y＝ax2＋x＋c(a≠0)交x軸于點A(4，0)、B，交

y軸于點C(0，4)．(1)求拋物線的解析式；(1)∵拋物線y＝ax2＋x＋c(a≠0)經(jīng)過A(4，0)，C(0，4)兩點，∴c＝解得

∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋4；(2)∵點E是OA的中點，∴E(2，0)．由題意易知直線CE的解析式為y＝－2x＋4.∵直線MN到y(tǒng)軸的距離為

，∴點D的坐標為(

，0)或(－

，0)．當D(

，0)時，點M、N的橫坐標為

，將x＝

代入y＝－2x＋4中，得y＝1，(2)如圖①，點E是OA的中點，點D是線段BE上一點(不與點B、E重合)，過點D作x軸的垂線，交直線CE于點M，交拋物線于點N，若直線MN到y(tǒng)軸的距離為

，求點M與點N之間的距離；第1題圖將x＝

代入y＝－

x2＋x＋4中，得y＝

.∴M(

，1)，N(

)，∴MN＝

；當D(－

，0)時，點M、N的橫坐標為－

，將x＝－

代入y＝－2x＋4中，得y＝7，將x＝－

代入y＝－

x2＋x＋4中，得y＝

.第1題圖∴M(－

，7)，N(－

，

)，∴MN＝7－

＝

.∴點M與點N之間的距離為

或

；第1題圖第1題圖(3)如圖②，點F在拋物線的對稱軸上且在x軸上方，點G在坐標平面內(nèi)，當以點B、C、F、G為頂點的四邊形為菱形時，請直接寫出點F的坐標．【解法提示】已知拋物線解析式為y＝－

x2＋x＋4，令y＝0，即－

x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴B(－2，0)，拋物線的對稱軸為直線x＝1.設(shè)點F的坐標為(1，m)．∵C(0，4)，∴BC2＝OB2＋OC2＝20，BF2＝9＋m2

，CF2＝1＋(m－4)2.要使以點B、C、F、G為頂點的四邊形為菱形，分兩種情況討論，當BC為菱形的邊時，①當BC＝BF時，即20＝9＋m2

，解得m1＝，m2＝－(不符合題意，舍去)，∴點F的坐標為(1，)；②當BC＝CF時，即20＝1＋(m－4)2，解得m3＝4＋，m4＝4－(不符合題意，舍去)，∴點F的坐標為(1，4＋)；第1題圖當BC為菱形的對角線時，則點F在線段BC的垂直平分線上．∴BF＝CF，即9＋m2＝1＋(m－4)2，解得m＝1.∴點F的坐標為(1，1)，綜上所述，點F的坐標為(1，)或(1，4＋)或(1，1)．(3)點F的坐標為(1，)或(1，4＋)或(1，1)．第1題圖2.如圖，已知拋物線y＝ax2－2ax＋b與x軸交于點A(－2，0)和點B，與y軸交于點C(0，4)．(1)求拋物線的解析式；第2題圖備用圖解：(1)將點A、C的坐標分別代入拋物線的解析式，得解得

∴拋物線的解析式為y＝x2＋x＋4；(2)點P是第四象限拋物線上一點，連接AC、AP，當∠PAB＝2∠ACO時，求點P的坐標；(2)如解圖，在OB上取一點R，使OR＝OA＝2，連接CR，則∠ACR＝2∠ACO＝∠PAB，過點A作AK⊥CR于點K，設(shè)直線AP交y軸于點H，HR第2題圖在y＝－

x2＋x＋4中，令y＝0，即－

x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝4，∴B(4，0)．K∵A(－2，0)，C(0，4)，∴AR＝4，OC＝4，AC＝CR＝∴S△ACR＝

AR·OC＝

CR·AK，即

×4×4＝解得AK＝

，∴CK＝，∴tan∠ACK＝

HR第2題圖K∵∠PAB＝2∠ACO＝∠ACK，∴tan∠ACK＝tan∠PAB.在Rt△AOH中，OH＝OA·tan∠PAB＝.∴H(0，)．由點A、H的坐標得直線AP的解析式為y＝.聯(lián)立

解得或

(舍去)，

∴點P的坐標為(

)；HR第2題圖K(3)點M是拋物線的對稱軸上一動點，在平面內(nèi)是否存在點N，使得以M、N、B、C為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．第2題圖【解法提示】∵y＝

x2＋x＋4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1.設(shè)點M的坐標為(1，m)，∵B(4，0)，C(0，4)，∴BM2＝9＋m2，CM2＝m2－8m＋17，BC2＝32.當以M、N、B、C為頂點的四邊形是矩形時，需分以BC為邊和BC為對角線兩種情況討論．①當BC為邊時，以M、B、C為頂點的三角形是以BC為直角邊的直角三角形，則分以MC為斜邊和以MB為斜邊，當以MC為斜邊時，BC2＋BM2＝CM2，即32＋9＋m2＝m2－8m＋17，解得m＝－3，∴點M的坐標為(1，－3)．由xC＋xM＝xB＋xN，得xN＝－3，同理可得yN＝1，∴點N的坐標為(－3，1)；第2題圖當以MB為斜邊時，BC2＋CM2＝BM2，即32＋m2－8m＋17＝m2＋9，解得m＝5，∴M(1，5)．由xB＋xM＝xC＋xN，得xN＝5，同理可得yN＝1，∴點N的坐標為(5，1)；②當以BC為對角線時，以M、B、C為頂點的三角形是以BC為斜邊的直角三角形，則BM2＋CM2＝BC2，即9＋m2＋m2－8m＋17＝32，解得m1＝2＋，m2＝2－，∴點M的坐標為(1，2＋)或(1，2－)，第2題圖由xB＋xC＝xM＋xN，得xN＝3，同理可得yN＝2－或2＋，∴點N的坐標為(3，2－)或(3，2＋)．綜上所述，存在點N使得以M、N、B、C為頂點的四邊形是矩形，滿足條件的點N的坐標為(－3，1)或(5，1)或(3，2－)或(3，2＋)．(3)存在，點N的坐標為(－3，1)或(5，1)或(3，2－)或(3，2＋)．第2題圖3.直線y＝－x＋3與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，拋物線y＝ax2＋2x＋c經(jīng)過點A，B，與x軸的另一個交點為C.(1)求拋物線的解析式；第3題圖①備用圖(1)在y＝－x＋3中，令y＝0，則x＝3，令x＝0，則y＝3，∴A(3，0)，B(0，3)，把A(3，0)，B(0，3)代入y＝ax2＋2x＋c得，∴∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3；(2)如圖①，點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點D作DE∥y軸交AB于點E，DF⊥AB于點F，F(xiàn)G⊥x軸于點G，當DE＝FG時，求點D的坐標；第3題圖①由(1)可知拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3，直線AB的解析式為y＝－x＋3，設(shè)D(m，－m2＋2m＋3)，∵DE∥y軸，∴E(m，－m＋3)，∴DE＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，ME＝－m＋3，(2)如解圖，延長DE交x軸于點M，則DM⊥x軸M∵B(0，3)，A(3，0)∴OB＝OA＝3，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵DM⊥x軸，DF⊥AB，∴∠DEF＝∠AEM＝45°，∴DE＝EF，AF＝FG，∵DE＝FG，∴AF＝2EF，∴AE＝EF，∵FG⊥x軸，∴FG∥ME，∴

∴FG＝2ME，∴DE＝2ME，∴－m2＋3m＝2(－m＋3)，∴m＝2或m＝3(舍去)，∴D(2，3)；第3題圖①M(3)如圖②，在(2)的條件下，直線CD與AB相交于點M，點H在拋物線上，過點H作HK∥y軸，交直線CD于點K.P是平面內(nèi)一點，當以點M，H，K，P為頂點的四邊形是正方形時，請直接寫出點P的坐標．第3題圖②【解法提示】在y＝－x2＋