第07講圓錐曲線中的離心率問題（高階拓展）（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新I卷，第5題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍無2023年新I卷，第16題,5分利用定義解決雙曲線中集點三角形問題求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無2022年全國甲卷（文科），第11題,5分根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程2022年全國甲卷（理科），第10題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍已知兩點求斜率2022年全國乙卷（理科），第11題,5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍用和、差角的正弦公式化簡、求值正弦定理解三角形2022年新I卷，第16題,5分根據(jù)離心率求楠圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓中焦點三角形的周長問題2021年全國乙卷（理科），第11題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)2021年全國甲卷（理科），第5題,5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5分【備考策略】離心率的定義及對曲線的影響用定義法求離心率3.能用文中其他方法快速求解離心率4.能求解離心率的相關(guān)最值問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時也會在大題中命題，需重點強(qiáng)化練習(xí)知識講解橢圓離心率求解的5種常用方法公式1:公式2:變形證明:公式3:已知棚圓方程為,兩焦點分別為,設(shè)焦點三角形,,則橢圓的離心率證明:,由正弦定理得:由等比定理得:,即.公式4:以橢圓兩焦點及橢圓上任一點(除長軸兩端點外)為頂點,則證明:由正弦定理有.公式5:點是橢圓的焦點,過的弦與橢圓焦點所在軸的夾角為為直線的斜率,且.,則當(dāng)曲線焦點在軸上時,注:或者而不是或雙曲線離心率求解的5種常用方法公式1:公式證明:公式3:已知雙曲線方程為兩焦點分別為,設(shè)焦點三角形,則證明:,由正弦定理得:由等比定理得:即。公式4:以雙曲線的兩個焦點及雙曲線上任意一點除實軸上兩個端點外)為頂點的,則離心率證明:由正弦定理,有即又公式5:點是雙曲線焦點,過弦與雙曲線焦點所在軸夾角為為直線斜率,,則,當(dāng)曲線焦點在軸上時,注:或者而不是或考點一、橢圓、雙曲線中的定義法求離心率1．（2023·北京大興·?？既＃嵼S長和虛軸長相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，則等軸雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．32．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2023·內(nèi)蒙古通遼·?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．24．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點為，點是橢圓上關(guān)于的斜率之積為，則的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）已知橢圓經(jīng)過點和，則橢圓的離心率為.1．（2023·北京海淀·清華附中校考模擬預(yù)測）若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2023·新疆阿克蘇·?？家荒＃┮阎p曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．3．（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測）已知橢圓C：的右焦點為，P為橢圓的左頂點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）一個橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的離心率為.5．（2023·河南·馬店第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：，其右焦點到漸近線的距離為2，則該雙曲線的離心率為．考點二、利用“公式3”求焦點三角形中橢圓、雙曲線的離心率已知是橢圓的兩個焦點,是上的一點,若,且,則的離心率為)A.B.C.D.2．（全國·高考真題）設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，∠=，則C的離心率為A． B． C． D．3．（2022秋·山東青島·高二山東省青島第五十八中學(xué)?？计谥校E圓的左、右焦點分別為，焦距為，若直線與橢圓C的一個交點M滿足，則該橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．4．（2023春·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（附加公式4）記橢圓：的左頂點為，右焦點為，過點且傾斜角為的直線與橢圓交于另一點，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．（全國·高考真題）設(shè)是等腰三角形，，則以，為焦點，且過點的雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．1．（2023·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個焦點，P為雙曲線C上一點，且，那么雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．2．（2023秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）設(shè)，是橢圓上存在一點，使，且，則的離心率為.3．（天津紅橋·高二統(tǒng)考期末）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若線段MF1的中點在此雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A．＋1 B．4＋2C． D．－1考點三、利用“公式5”求橢圓、雙曲線離心率1．（全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點為F且斜率為的直線交C于A、B兩點，若，則C的離心率為A． B． C． D．2．（全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點．若，則A．1 B． C． D．23．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知分別是橢圓的左、右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F為橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交橢圓C于點D，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，經(jīng)過且傾斜角為的直線與橢圓相交于不同兩點，已知．求橢圓的離心率；3．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┮阎獧E圓的右焦點為，過右焦點作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．考點四、斜率乘積求離心率1．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）設(shè)橢圓的右焦點為，點在橢圓外，P，Q在橢圓上，且P是線段AQ的中點．若直線PQ，PF的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谀┮阎p曲線的兩個頂點分別為A、B，點P為雙曲線上除A、B外任意一點，且點P與點A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點作斜率為的直線與橢圓：()相交于?兩點，若是線段的中點，則橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．1．（吉林·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的兩個頂點分別為，，點為雙曲線上除，外任意一點，且點與點，連線的斜率分別為、，若，則雙曲線的離心率為

A． B． C． D．2．（2023·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的兩個頂點分別為，，點為雙曲線上除，外任意一點，且點與點，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．33．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考模擬預(yù)測）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．考點五、余弦定理求離心率1．（2023·福建寧德·?？级＃┮阎p曲線的左、右焦點分別為、，過的直線交雙曲線的右支于、兩點．點滿足，且，者，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．2．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2023·山東煙臺·校聯(lián)考三模）雙曲線的左?右焦點分別為，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線與曲線在第一象限交于點，且，則曲線的離心率為（

）A． B． C． D．1．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）已知橢圓的右焦點為，過坐標(biāo)原點的直線與橢圓交于兩點，點位于第一象限，直線與橢圓另交于點，且，若，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知橢圓，為其左焦點，直線與橢圓交于點，，且．若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．考點六、構(gòu)造齊次方程求離心率1．（2023·山東·煙臺二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線過點且與橢圓的長軸垂直，直線過橢圓的上頂點與右頂點且與交于點，若（為坐標(biāo)原點），且，則橢圓的離心率為（

）．A． B． C． D．2．（2023·江蘇無錫·?？寄M預(yù)測）已知點是橢圓的左焦點，，直線交于，兩點，若，均是線段的三等分點，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┮阎p曲線的左、右焦點分別為、，過作一條直線與雙曲線右支交于、兩點，坐標(biāo)原點為，若，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，是雙曲線的焦點，圓，直線經(jīng)過點，直線經(jīng)過點，，與圓均相切，若，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．5．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若雙曲線（，）上存在四點，使得四邊形為正方形，且原點為正方形中心，為雙曲線右頂點，在第一象限，，設(shè)雙曲線的離心率為，則（

）A． B． C． D．6．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，（如圖），過的直線交于，兩點，且軸，，則的離心率為（

）A． B． C． D．7．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為，，直線l過點.若點關(guān)于l的對稱點P恰好在橢圓C上，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．8．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點分別是，點是橢圓上位于第一象限的一點，且與軸平行，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．1．（2023·山東煙臺·校考模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的焦點為，點P是C與圓的交點，的平分線交于Q，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知雙曲線：的右焦點為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點，若，則的離心率為（）A． B． C． D．3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知橢圓的左右焦點分別是，過的直線交橢圓于兩點，若（為坐標(biāo)原點），，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為F1、F2，點M是雙曲線右支上一點，且，延長交雙曲線C于點P，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．5．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，點P，Q在橢圓C上，若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．6．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知橢圓的右焦點為F，過F作傾斜角為的直線l交該橢圓上半部分于點P，以FP，F(xiàn)O（O為坐標(biāo)原點）為鄰邊作平行四邊形，點Q恰好也在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的兩個焦點為，過作直線與橢圓相交于兩點，若且，則橢圓的的離心率為（

）A． B． C． D．考點七、離心率的范圍及最值問題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的上下焦點分別為，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：，定點，，有一動點滿足，若點軌跡與橢圓恰有4個不同的交點，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點在的右支上，點在直線上，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓離心率為e，雙曲線的漸近線的斜率小于，則橢圓的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點P在以，為左、右焦點的橢圓上，橢圓內(nèi)存在一點Q在的延長線上，且滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線（，）的焦距為，已知點，，點到直線的距離為，點到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)過原點且傾斜角為的直線與雙曲線C：的左，右支分別交于A、B兩點，F(xiàn)是C的焦點，若三角形的面積大于，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點F是雙曲線（）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)?？既＃┮阎p曲線的左、右焦點分別為，，若在上存在點不是頂點，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．（2023·河北承德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知過點可作雙曲線的兩條切線，若兩個切點分別在雙曲線的左、右兩支上，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）橢圓的離心率為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．2．（2023·浙江衢州·校聯(lián)考一模）設(shè)橢圓的半焦距為，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2023·山西大同·校聯(lián)考一模）已知點A，B，C為橢圓D的三個頂點，若是正三角形，則D的離心率是（

）A． B． C． D．4．（2023·河南平頂山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線，則C的離心率為（

）A． B． C． D．25．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點，過C的右焦點F作C的一條漸近線的平行線交C的另一條漸近線于點Q，若，則C的離心率為（

）A． B．3 C． D．6．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知橢圓的右焦點為，點P，Q在直線上，，O為坐標(biāo)原點，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知雙曲線()，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，過點作軸的垂線交于點，若與的面積相等(為坐標(biāo)原點)，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）橢圓的上頂點為是的一個焦點，點在上，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．9．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的右焦點為為虛軸上端點，是中點，為坐標(biāo)原點，交雙曲線右支于，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．10．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┮阎獧E圓與雙曲線有共同的焦點，，離心率分別為，，點為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點，且.若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．11．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左右焦點分別為，橢圓存在一點，若，則橢圓的離心率取值范圍為（

）A． B．C． D．二、填空題12．（2023·新疆烏魯木齊·烏市一中校考三模）已知橢圓的上、下頂點分別為A，B，右焦點為F，B關(guān)于直線的對稱點為．若過A，，F(xiàn)三點的圓的半徑為a，則C的離心率為．13．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線方程為，左焦點關(guān)于一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則該雙曲線的離心率為.14．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知拋物線和橢圓相交于兩點，且拋物線的焦點也是橢圓的焦點，若直線過點，則橢圓的離心率是．15．（2023·湖北武漢·武漢市第四十九中學(xué)?？寄M預(yù)測）點P是雙曲線：（，）和圓：的一個交點，且，其中，是雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為．【能力提升】一、單選題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．2．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左焦點為，右頂點為，一條漸近線與圓在第一象限交于點，交軸于點，且，則的離心率為（

）A． B．2C． D．3．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，點關(guān)于原點的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預(yù)測）已知為雙曲線：的右焦點，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，是橢圓：與雙曲線：的公共焦點，，分別是與的離心率，且P是與的一個公共點，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最大值為6．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的上焦點為，過焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點，若，則的離心率可能為（

）A． B． C． D．7．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)?？既＃┮阎?，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點（不在軸上），外接圓的圓心為，半徑為，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，直線交軸于點，為坐標(biāo)原點，則（

）A．最大時， B．的最小值為2C．橢圓的離心率等于 D．的取值范圍為三、填空題8．（2023·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級中學(xué)校考二模）設(shè)、分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上存在點M，，，使得離心率，則e取值范圍為．9．（2023·福建龍巖·福建省龍巖第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點，若，則的離心率為10．（2023·福建寧德·校考模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點是，直線交橢圓于兩點﹐直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為．【真題感知】1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）