【三維設(shè)計(jì)】2015高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程學(xué)案新人教A版必修2_3.1直線的傾斜角與斜率3．1.1傾斜角與斜率直線的傾斜角[提出問(wèn)題]在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.問(wèn)題1：直線l的位置能夠確定嗎？提示：不能．問(wèn)題2：過(guò)點(diǎn)P可以作與l相交的直線多少條？提示：無(wú)數(shù)條．問(wèn)題3：上述問(wèn)題中的所有直線有什么區(qū)別？提示：傾斜程度不同．[導(dǎo)入新知]1.傾斜角的定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．如圖所示，直線l的傾斜角是∠APx，直線l′的傾斜角是∠BPx.2．傾斜角的范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.3．傾斜角與直線形狀的關(guān)系傾斜角α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°直線[化解疑難]對(duì)直線的傾斜角的理解(1)傾斜角定義中含有三個(gè)條件：①x軸正向；②直線向上的方向；③小于180°的非負(fù)角．(2)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)看，直線的傾斜角是由x軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角．(3)傾斜角是一個(gè)幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對(duì)x軸的傾斜程度．(4)平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等.直線的斜率[提出問(wèn)題]日常生活中，常用坡度(坡度＝eq\f(升高量,前進(jìn)量))表示傾斜程度，例如，“進(jìn)2升3”與“進(jìn)2升2”比較，前者更陡一些，因?yàn)槠露萫q\f(3,2)＞eq\f(2,2).問(wèn)題1：對(duì)于直線可利用傾斜角描述傾斜程度，可否借助于坡度來(lái)描述直線的傾斜程度？提示：可以．問(wèn)題2：由上圖中坡度為升高量與水平前進(jìn)量的比值，那么對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中直線的傾斜程度能否如此度量？提示：可以．問(wèn)題3：通過(guò)坐標(biāo)比，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它與傾斜角有何關(guān)系？提示：與傾斜角的正切值相等．[導(dǎo)入新知]1．斜率的定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tan_α.2．斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線P1P2沒(méi)有斜率．3．斜率作用：用實(shí)數(shù)反映了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線的傾斜程度．[化解疑難]1．傾斜角α與斜率k的關(guān)系(1)直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當(dāng)傾斜角是90°時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)，直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合)．(2)直線的斜率也反映了直線相對(duì)于x軸的正方向的傾斜程度．當(dāng)0°≤α＜90°時(shí)，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，斜率越大，直線的傾斜程度也越大．2．斜率公式(1)直線的斜率與兩點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)，即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在公式中的次序可以同時(shí)調(diào)換，就是說(shuō)，如果分子是y2－y1，分母必須是x2－x1；反過(guò)來(lái)，如果分子是y1－y2，分母必須是x1－x2，即k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(y2－y1,x2－x1).(2)用斜率公式時(shí)要一看，二用，三求值．一看，就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第二步；二用，就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式；三求值，就是計(jì)算斜率的值，尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式時(shí)要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．直線的傾斜角[例1](1)若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為()A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°(2)下列說(shuō)法中，正確的是()A．直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanαB．直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為αC．若直線的傾斜角為α，則sinα＞0D．任意直線都有傾斜角α，且α≠90°時(shí)，斜率為tanα[解析](1)如圖，直線l有兩種情況，故l的傾斜角為60°或120°.(2)對(duì)于A，當(dāng)α＝90°時(shí)，直線的斜率不存在，故不正確；對(duì)于B，雖然直線的斜率為tanα，但只有0°≤α＜180°時(shí)，α才是此直線的傾斜角，故不正確；對(duì)于C，當(dāng)直線平行于x軸時(shí)，α＝0°，sinα＝0，故C不正確，故選D.[答案](1)D(2)D[類題通法]求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0°，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.[活學(xué)活用]1．直線l經(jīng)過(guò)第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是()A．[0°，90°) B．[90°，180°)C．(90°，180°) D．(0°，180°)解析：選C直線傾斜角的取值范圍是[0°，180°)，又直線l經(jīng)過(guò)第二、四象限，所以直線l的傾斜角范圍是(90°，180°)．2．設(shè)直線l過(guò)原點(diǎn)，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，得到直線l1，則直線l1的傾斜角為()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．當(dāng)0°≤α＜135°時(shí)為α＋45°，當(dāng)135°≤α＜180°時(shí)為α－135°解析：選D當(dāng)0°≤α＜135°時(shí)，l1的傾斜角是α＋45°.當(dāng)135°≤α＜180°時(shí)，結(jié)合圖形和傾斜角的概念，即可得到l1的傾斜角為α－135°，故應(yīng)選D.直線的斜率[例2](1)已知過(guò)兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為135°，則y＝________；(2)過(guò)點(diǎn)P(－2，m)，Q(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為_(kāi)_______；(3)已知過(guò)A(3,1)，B(m，－2)的直線的斜率為1，則m的值為_(kāi)_______．[解析](1)直線AB的斜率k＝tan135°＝－1，又k＝eq\f(－3－y,2－4)，由eq\f(－3－y,2－4)＝－1，得y＝－5.(2)由斜率公式k＝eq\f(4－m,m＋2)＝1，得m＝1.(3)當(dāng)m＝3時(shí)，直線AB平行于y軸，斜率不存在．當(dāng)m≠3時(shí)，k＝eq\f(－2－1,m－3)＝－eq\f(3,m－3)＝1，解得m＝0.[答案](1)－5(2)1(3)0[類題通法]利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與x(2)斜率公式與兩點(diǎn)P1，P2的先后順序無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)公式中的x1與x2，y1與y2可以同時(shí)交換位置．[活學(xué)活用]3．(2012·河南平頂山高一調(diào)研)若直線過(guò)點(diǎn)(1,2)，(4，2＋eq\r(3))，則此直線的傾斜角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：選A設(shè)直線的傾斜角為α，直線斜率k＝eq\f(2＋\r(3)－2,4－1)＝eq\f(\r(3),3)，∴tanα＝eq\f(\r(3),3).又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.直線的斜率的應(yīng)用[例3]已知實(shí)數(shù)x，y滿足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求eq\f(y,x)的最大值和最小值．[解]如圖所示，由于點(diǎn)(x，y)滿足關(guān)系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知點(diǎn)P(x，y)在線段AB上移動(dòng)，并且A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可分別求得為A(2,4)，B(3,2)．由于eq\f(y,x)的幾何意義是直線OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝eq\f(2,3)，所以可求得eq\f(y,x)的最大值為2，最小值為eq\f(2,3).[類題通法]根據(jù)題目中代數(shù)式的特征，看是否可以寫(xiě)成eq\f(y2－y1,x2－x1)的形式，若能，則聯(lián)想其幾何意義(即直線的斜率)，再利用圖形的直觀性來(lái)分析解決問(wèn)題．[活學(xué)活用]4．點(diǎn)M(x，y)在函數(shù)y＝－2x＋8的圖象上，當(dāng)x∈[2,5]時(shí)，求eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍．解：eq\f(y＋1,x＋1)＝eq\f(y－－1,x－－1)的幾何意義是過(guò)M(x，y)，N(－1，－1)兩點(diǎn)的直線的斜率．∵點(diǎn)M在函數(shù)y＝－2x＋8的圖象上，且x∈[2,5]，∴設(shè)該線段為AB且A(2,4)，B(5，－2)．∵kNA＝eq\f(5,3)，kNB＝－eq\f(1,6)，∴－eq\f(1,6)≤eq\f(y＋1,x＋1)≤eq\f(5,3).∴eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍為[－eq\f(1,6)，eq\f(5,3)]．eq\a\vs4\al(,,6.傾斜角與斜率的關(guān)系)[典例]已知兩點(diǎn)A(－3,4)，B(3,2)，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則l的傾斜角的取值范圍________；直線l的斜率k的取值范圍________．[解析]如圖，由題意可知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1，則直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，∴直線l的傾斜角α的取值范圍是45°≤α≤135°；要使l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是k≤－1或k≥1.[答案]45°≤α≤135°k≤－1或k≥1[易錯(cuò)防范]1．本題易錯(cuò)誤地認(rèn)為－1≤k≤1，結(jié)合圖形考慮，l的傾斜角應(yīng)介于直線PB與直線PA的傾斜角之間，要特別注意，當(dāng)l的傾斜角小于90°時(shí)，有k≥kPB；當(dāng)l的傾斜角大于90°時(shí)，則有k≤kPA.2.如圖，過(guò)點(diǎn)P的直線l與直線段AB相交時(shí)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P且與x軸垂直的直線PC的斜率不存在，而PC所在的直線與線段AB不相交，所以滿足題意的斜率夾在中間，即kPA≤k≤kPB.解決這類問(wèn)題時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合思想直觀地判斷直線是夾在中間還是在兩邊．[成功破障]已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,4)，且與以A(－1,0)，B(2,1)為端點(diǎn)的線段AB有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍．解：∵直線PA的斜率kPA＝eq\f(4－0,3－－1)＝1，直線PB的斜率kPB＝eq\f(4－1,3－2)＝3，∴要使直線l與線段AB有公共點(diǎn)，k的取值范圍為[1,3]．[隨堂即時(shí)演練]1．關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列說(shuō)法正確的是()A．任一直線都有傾斜角，都存在斜率B．傾斜角為135°的直線的斜率為1C．若一條直線的傾斜角為α，則它的斜率為k＝tanαD．直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)解析：選D任一直線都有傾斜角，但當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在．所以A、C錯(cuò)誤；傾斜角為135°的直線的斜率為－1，所以B錯(cuò)誤；只有D正確．2．已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(5，m)和(m,8)的直線的斜率等于1，則m的值是()A．5 B．8C.eq\f(13,2) D．7解析：選C由斜率公式可得eq\f(8－m,m－5)＝1，解之得m＝eq\f(13,2).3．直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和(－1,1)，則它的傾斜角為_(kāi)_______．解析：kl＝eq\f(1－0,－1－0)＝－1，因此傾斜角為135°.答案：135°4．已知三點(diǎn)A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一條直線上，實(shí)數(shù)a解析：∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴kAB＝kBC，即eq\f(5,3－a)＝eq\f(9a＋7,5)，∴a＝2或eq\f(2,9).答案：2或eq\f(2,9)5．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍，求m的值．解：由題意直線AC的斜率存在，即m≠－1.∴kAC＝eq\f(－m＋3－4,m＋1)，kBC＝eq\f(m－1－4,2－－1).∴eq\f(－m＋3－4,m＋1)＝3·eq\f(m－1－4,2－－1).整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0，∴m＝4或m＝－1(舍去)．∴m＝4.[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題1．給出下列說(shuō)法，正確的個(gè)數(shù)是()①若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等；②一條直線的傾斜角為－30°；③傾斜角為0°的直線只有一條；④直線的傾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}與直線集合建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．A．0 B．1C．2 D．3解析：選A若兩直線的傾斜角為90°，則它們的斜率不存在，①錯(cuò)；直線傾斜角的取值范圍是[0°，180°)，②錯(cuò)；所有垂直于y軸的直線傾斜角均為0°，③錯(cuò)；不同的直線可以有相同的傾斜角，④錯(cuò)．2．過(guò)兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為45°，則y＝()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－1 D．1解析：選Ctan45°＝kAB＝eq\f(y＋3,4－2)，即eq\f(y＋3,4－2)＝1，所以y＝－1.3.如圖，設(shè)直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關(guān)系為()A．k1＜k2＜k3B．k1＜k3＜k2C．k2＜k1＜k3D．k3＜k2＜k1解析：選A根據(jù)“斜率越大，直線的傾斜程度越大”可知選項(xiàng)A正確．4．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(2,1)，B(1，m2)的直線l的傾斜角為銳角，則m的取值范圍是()A．m＜1 B．m＞－1C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1解析：選C∵直線l的傾斜角為銳角，∴斜率k＝eq\f(m2－1,1－2)＞0，∴－1＜m＜1.5．(2012·廣州高一檢測(cè))如果直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)，且不通過(guò)第四象限，那么l的斜率的取值范圍是()A．[0,1] B．[0,2]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．(0,3]解析：選B過(guò)點(diǎn)(1,2)的斜率為非負(fù)且最大斜率為此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線斜率時(shí)，圖象不過(guò)第四象限．二、填空題6．已知a＞0，若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝________.解析：若平面內(nèi)三點(diǎn)共線，則kAB＝kBC，即eq\f(a2＋a,2－1)＝eq\f(a3－a2,3－2)，整理得a2－2a－1＝0，解得a＝1＋eq\r(2)，或a＝1－eq\r(2)(舍去)．答案：1＋eq\r(2)7．如果直線l1的傾斜角是150°，l2⊥l1，垂足為B.l1，l2與x軸分別相交于點(diǎn)C，A，l3平分∠BAC，則l3的傾斜角為_(kāi)_______．解析：因?yàn)橹本€l1的傾斜角為150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的傾斜角為eq\f(1,2)×(90°－30°)＝30°.答案：30°8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x＋2y＝6，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，eq\f(y－1,x－2)的取值范圍為_(kāi)_______．解析：eq\f(y－1,x－2)的幾何意義是過(guò)M(x，y)，N(2,1)兩點(diǎn)的直線的斜率，因?yàn)辄c(diǎn)M在函數(shù)x＋2y＝6的圖象上，且1≤x≤3，所以可設(shè)該線段為AB，且Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))，由于kNA＝－eq\f(3,2)，kNB＝eq\f(1,2)，所以eq\f(y－1,x－2)的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))三、解答題9．已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2)，B(m,3)，求直線l的斜率和傾斜角的取值范圍．解：設(shè)l的斜率為k，傾斜角為α，當(dāng)m＝1時(shí)，斜率k不存在，α＝90°，當(dāng)m≠1時(shí)，k＝eq\f(3－2,m－1)＝eq\f(1,m－1)，當(dāng)m＞1時(shí)，k＝eq\f(1,m－1)＞0，此時(shí)α為銳角，0°＜α＜90°，當(dāng)m＜1時(shí)，k＝eq\f(1,m－1)＜0，此時(shí)α為鈍角，90°＜α＜180°.所以α∈(0°，180°)，k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．10．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，(1)求直線AB和AC的斜率．(2)若點(diǎn)D在線段BC(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí)，求直線AD的斜率的變化范圍．解：(1)由斜率公式可得直線AB的斜率kAB＝eq\f(2－3,－4－3)＝eq\f(1,7).直線AC的斜率kAC＝eq\f(－2－3,0－3)＝eq\f(5,3).故直線AB的斜率為eq\f(1,7)，直線AC的斜率為eq\f(5,3).(2)如圖所示，當(dāng)D由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))).3．1.2兩條直線平行與垂直的判定兩條直線平行[提出問(wèn)題]平面幾何中，兩條直線平行同位角相等．問(wèn)題1：在平面直角坐標(biāo)中，若l1∥l2，則它們的傾斜角α1與α2有什么關(guān)系？提示：相等．問(wèn)題2：若l1∥l2，則l1，l2的斜率相等嗎？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在．問(wèn)題3：若l1與l2的斜率相等，則l1與l2一定平行嗎？提示：不一定．可能平行也可能重合．[導(dǎo)入新知]對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.[化解疑難]對(duì)兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②l1與l2不重合．(2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時(shí)，l1與l2的傾斜角都是90°，則l1∥l2.(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：l1∥l2?k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.兩條直線垂直[提出問(wèn)題]已知兩條直線l1，l2，若l1的傾斜角為30°，l1⊥l2.問(wèn)題1：上述問(wèn)題中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1＝eq\f(\r(3),3)，k2＝－eq\r(3).問(wèn)題2：上述問(wèn)題中兩直線l1、l2的斜率有何關(guān)系？提示：k1k2＝－1.問(wèn)題3：若兩條直線垂直且都有斜率，它們的斜率之積一定為－1嗎？提示：一定．[導(dǎo)入新知]如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直，即l1⊥l2?k1·k2＝－1.[化解疑難]對(duì)兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：l1⊥l2?k1·k2＝－1或一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零．兩條直線平行的判定[例1]根據(jù)下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行．(1)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，B(－3,5)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(0,1)，F(xiàn)(－2，－1)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)G(3,4)，H(2,3)；(3)l1的傾斜角為60°，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，eq\r(3))，N(－2，－2eq\r(3))；(4)l1平行于y軸，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，－2)，Q(0,5)．[解](1)由題意知，k1＝eq\f(5－1,－3－2)＝－eq\f(4,5)，k2＝eq\f(－7＋3,8－3)＝－eq\f(4,5)，所以直線l1與直線l2平行或重合，又kBC＝eq\f(5－－3,－3－3)＝－eq\f(4,3)≠－eq\f(4,5)，故l1∥l2.(2)由題意知，k1＝eq\f(－1－1,－2－0)＝1，k2＝eq\f(3－4,2－3)＝1，所以直線l1與直線l2平行或重合，kFG＝eq\f(4－－1,3－－2)＝1，故直線l1與直線l2重合．(3)由題意知，k1＝tan60°＝eq\r(3)，k2＝eq\f(－2\r(3)－\r(3),－2－1)＝eq\r(3)，k1＝k2，所以直線l1與直線l2平行或重合．(4)由題意知l1的斜率不存在，且不是y軸，l2的斜率也不存在，恰好是y軸，所以l1∥l2.[類題通法]判斷兩條不重合直線是否平行的步驟[活學(xué)活用]1．試確定m的值，使過(guò)點(diǎn)A(m＋1,0)，B(－5，m)的直線與過(guò)點(diǎn)C(－4,3)，D(0,5)的直線平行．解：由題意直線CD的斜率存在，則與其平行的直線AB的斜率也存在．kAB＝eq\f(m－0,－5－m＋1)＝eq\f(m,－6－m)，kCD＝eq\f(5－3,0－－4)＝eq\f(1,2)，由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以eq\f(m,－6－m)＝eq\f(1,2)，得m＝－2.經(jīng)驗(yàn)證m＝－2時(shí)直線AB的斜率存在，所以m＝－2.兩條直線垂直的問(wèn)題[例2]已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，a)，B(a－2，－3)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．[解]設(shè)直線l1，l2的斜率分別為k1，k2.∵直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，∴l(xiāng)2的斜率存在．當(dāng)k2＝0時(shí)，a－2＝3，則a＝5，此時(shí)k1不存在，符合題意．當(dāng)k2≠0時(shí)，即a≠5，此時(shí)k1≠0，由k1·k2＝－1，得eq\f(－3－a,a－2－3)·eq\f(a－2－3,－1－2)＝－1，解得a＝－6.綜上可知，a的值為5或－6.[類題通法]使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟(1)一看，就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第一步．(2)二用：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式．(3)求值：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷．尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．總之，l1與l2一個(gè)斜率為0，另一個(gè)斜率不存在時(shí)，l1⊥l2；l1與l2斜率都存在時(shí)，滿足k1·k2＝－1.[活學(xué)活用]2．已知定點(diǎn)A(－1,3)，B(4,2)，以A、B為直徑作圓，與x軸有交點(diǎn)C，則交點(diǎn)C的坐標(biāo)是________．解析：以線段AB為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)為C，則AC⊥BC.設(shè)C(x,0)，則kAC＝eq\f(－3,x＋1)，kBC＝eq\f(－2,x－4)，所以eq\f(－3,x＋1)·eq\f(－2,x－4)＝－1，得x＝1或2，所以C(1,0)或(2,0)．答案：(1,0)或(2,0)平行與垂直的綜合應(yīng)用[例3]已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四點(diǎn)，若順次連接A，B，C，D四點(diǎn)，試判定圖形ABCD的形狀．[解]由題意知A，B，C，D四點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置，如圖所示，由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－－4)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－－4)＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2).所以kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD與BC不平行．又因?yàn)閗AB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四邊形ABCD為直角梯形．[類題通法]1．在頂點(diǎn)確定的情況下，確定多邊形形狀時(shí)，要先畫(huà)出圖形，由圖形猜測(cè)其形狀，為下面證明提供明確目標(biāo)．2．證明兩直線平行時(shí)，僅有k1＝k2是不夠的，注意排除兩直線重合的情況．[活學(xué)活用]3．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，點(diǎn)D滿足AB⊥CD，且AD∥BC，試求點(diǎn)D的坐標(biāo)．解：設(shè)D(x，y)，則kAB＝eq\f(2,3－1)＝1，kBC＝eq\f(4－2,0－3)＝－eq\f(2,3)，kCD＝eq\f(y－4,x)，kDA＝eq\f(y,x－1).因?yàn)锳B⊥CD，AD∥BC，所以，kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1×\f(y－4,x)＝－1，,\f(y,x－1)＝－\f(2,3).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝－6.))即D(10，－6)．eq\a\vs4\al(,,8.利用平行或垂直確定參數(shù)值)[典例]已知直線l1經(jīng)過(guò)A(3，m)，B(m－1,2)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1,2)，D(－2，m＋2)．(1)若l1∥l2，求m的值；(2)若l1⊥l2，求m的值．[解題流程]eq\x(欲求m的值，需根據(jù)l1∥l2或l1⊥l2列出關(guān)于m的關(guān)系式)eq\x(由直線l1過(guò)A、B兩點(diǎn)，直線l2過(guò)C、D兩點(diǎn)，求斜率)先求l2的斜率→由l1∥l2得k1＝k2列關(guān)系式檢驗(yàn)→由l1⊥l2討論k2＝0或k2≠0，再由k1·k2＝－1得出結(jié)論eq\a\vs4\al([規(guī)范解答],由題知直線l2的斜率存在且k2＝\f(2－m＋2,1－－2)＝－\f(m,3)①.2分,1若l1∥l2，則直線l1的斜率也存在，由k1＝k2，得\f(2－m,m－4)＝－\f(m,3)，解得m＝1或m＝6，4分,經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m＝1或m＝6時(shí)，l1∥l\o\al(③,2).6分,2若l1⊥l2，當(dāng)k2＝0②時(shí)，此時(shí)m＝0，l1斜率存在，不符合題意；8分)當(dāng)k2≠0②時(shí)，直線l2的斜率存在且不為0，則直線l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1，即－eq\f(m,3)·eq\f(2－m,m－4)＝－1，解得m＝3或m＝－4，(10分)所以m＝3或m＝－4時(shí)，l1⊥leq\o\al(③,2).(12分)[名師批注]①處易漏掉而直接利用兩直線平行或垂直所具備的條件來(lái)求m值，解答過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)②處討論k2＝0和k2≠0兩種情況③此處易漏掉檢驗(yàn)做解答題要注意解題的規(guī)范[活學(xué)活用]已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直線AB⊥CD，求解：因?yàn)锳，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)不等，所以AB與x軸不平行．因?yàn)锳B⊥CD，所以CD與x軸不垂直，故m≠－3.當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，而m＝－1時(shí)，C，D縱坐標(biāo)均為－1，所以CD∥x軸，此時(shí)AB⊥CD當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由斜率公式得kAB＝eq\f(4－2,－2m－4－－m－3)＝eq\f(2,－m＋1)，kCD＝eq\f(3m＋2－m,3－－m)＝eq\f(2m＋1,m＋3).因?yàn)锳B⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，解得m＝1.綜上，m的值為1或－1.[隨堂即時(shí)演練]1．下列說(shuō)法正確的有()①若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行；②若l1∥l2，則k1＝k2；③若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直；④若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選A若k1＝k2，則這兩條直線平行或重合，所以①錯(cuò)；當(dāng)兩條直線垂直于x軸時(shí)，兩條直線平行，但斜率不存在，所以②錯(cuò)；若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，才有這兩條直線垂直，所以③錯(cuò)；④正確．2．直線l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的兩根，則l1與l2的位置關(guān)系是()A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直解析：選D設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1·k2＝－1.3．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，則直線EF的斜率為_(kāi)_______．解析：∵E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB.∴kEF＝kAB＝eq\f(－1－3,2－0)＝－2.答案：－24．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(m,3)和(2，m)的直線l與斜率為－4的直線互相垂直，則m的值是________．解析：由題意可知kl＝eq\f(1,4)，又因?yàn)閗l＝eq\f(m－3,2－m)，所以eq\f(m－3,2－m)＝eq\f(1,4)，解得m＝eq\f(14,5).答案：eq\f(14,5)5．判斷下列各小題中的直線l1與l2的位置關(guān)系．(1)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(10,2)，B(20,3)；(2)l1過(guò)點(diǎn)A(3,4)，B(3,100)，l2過(guò)點(diǎn)M(－10,40)，N(10,40)；(3)l1過(guò)點(diǎn)A(0,1)，B(1,0)，l2過(guò)點(diǎn)M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1過(guò)點(diǎn)A(－3,2)，B(－3,10)，l2過(guò)點(diǎn)M(5，－2)，N(5,5)．解：(1)k1＝－10，k2＝eq\f(3－2,20－10)＝eq\f(1,10).∵k1k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2.(2)l1的傾斜角為90°，則l1⊥x軸．k2＝eq\f(40－40,10－－10)＝0，則l2∥x軸，∴l(xiāng)1⊥l2.(3)k1＝eq\f(0－1,1－0)＝－1，k2＝eq\f(0－3,2－－1)＝－1，∴k1＝k2.又kAM＝eq\f(3－1,－1－0)＝－2≠k1，∴l(xiāng)1∥l2.(4)∵l1與l2都與x軸垂直，∴l(xiāng)1∥l2.[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題1．已知過(guò)點(diǎn)P(3,2m)和點(diǎn)Q(m,2)的直線與過(guò)點(diǎn)M(2，－1)和點(diǎn)N(－3,4)的直線平行，則mA．1 B．－1C．2 D．－2解析：選B因?yàn)镸N∥PQ，所以kMN＝kPQ，即eq\f(4－－1,－3－2)＝eq\f(2－2m,m－3)，解得m＝－1.2．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)為頂點(diǎn)的三角形是()A．銳角三角形B．鈍角三角形C．以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形D．以B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形解析：選C如右圖所示，易知kAB＝eq\f(－1－1,2－－1)＝－eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(4－1,1－－1)＝eq\f(3,2)，由kAB·kAC＝－1知三角形是以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形．3．已知點(diǎn)A(－2，－5)，B(6,6)，點(diǎn)P在y軸上，且∠APB＝90°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(0，－6) B．(0,7)C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0)解析：選C由題意可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，y)．因?yàn)椤螦PB＝90°，所以AP⊥BP，且直線AP與直線BP的斜率都存在．又kAP＝eq\f(y＋5,2)，kBP＝eq\f(y－6,－6)，kAP·kBP＝－1，即eq\f(y＋5,2)·(－eq\f(y－6,6))＝－1，解得y＝－6或y＝7.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，－6)或(0,7)．4．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，則下面四個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD中正確的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C由題意得kAB＝eq\f(－4－2,6－－4)＝－eq\f(3,5)，kCD＝eq\f(12－6,2－12)＝－eq\f(3,5)，kAD＝eq\f(12－2,2－－4)＝eq\f(5,3)，kAC＝eq\f(6－2,12－－4)＝eq\f(1,4)，kBD＝eq\f(12－－4,2－6)＝－4，所以AB∥CD，AB⊥AD，AC⊥BD.5．已知點(diǎn)A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，則以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是()A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形解析：選B如圖所示，易知kAB＝－eq\f(3,4)，kBC＝0，kCD＝－eq\f(3,4)，kAD＝0，kBD＝－eq\f(1,4)，kAC＝eq\f(3,4)，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－eq\f(3,12)，故AD∥BC，AB∥CD，AB與AD不垂直，BD與AC不垂直．所以四邊形ABCD為平行四邊形．二、填空題6．l1過(guò)點(diǎn)A(m,1)，B(－3,4)，l2過(guò)點(diǎn)C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，則m＝________.解析：∵l1∥l2，且k2＝eq\f(1－2,1－0)＝－1，∴k1＝eq\f(4－1,－3－m)＝－1，∴m＝0.答案：07．已知直線l1的傾斜角為45°，直線l2∥l1，且l2過(guò)點(diǎn)A(－2，－1)和B(3，a)，則a的值為_(kāi)_______．解析：∵l2∥l1，且l1的傾斜角為45°，∴kl2＝kl1＝tan45°＝1，即eq\f(a－－1,3－－2)＝1，所以a＝4.答案：48．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，點(diǎn)D在x軸上，則當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為_(kāi)_______時(shí)，AB⊥CD.解析：設(shè)點(diǎn)D(x,0)，因?yàn)閗AB＝eq\f(－1－3,1－2)＝4≠0，所以直線CD的斜率存在．則由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4·eq\f(－2－0,－1－x)＝－1，解得x＝－9.答案：(－9,0)三、解答題9．當(dāng)m為何值時(shí)，過(guò)兩點(diǎn)A(1,1)，B(2m2＋1，(1)傾斜角為135°；(2)與過(guò)兩點(diǎn)(3,2)，(0，－7)的直線垂直；(3)與過(guò)兩點(diǎn)(2，－3)，(－4,9)的直線平行？解：(1)由kAB＝eq\f(m－3,2m2)＝tan135°＝－1，解得m＝－eq\f(3,2)，或m＝1.(2)由kAB＝eq\f(m－3,2m2)，且eq\f(－7－2,0－3)＝3.則eq\f(m－3,2m2)＝－eq\f(1,3)，解得m＝eq\f(3,2)，或m＝－3.(3)令eq\f(m－3,2m2)＝eq\f(9＋3,－4－2)＝－2，解得m＝eq\f(3,4)，或m＝－1.10．直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m,1)，B(－3,4)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1，m)，D(－1，m＋1)，當(dāng)l1∥l2或l1⊥l2時(shí)，分別求實(shí)數(shù)m的值．解：當(dāng)l1∥l2時(shí)，由于直線l2的斜率存在，則直線l1的斜率也存在，則kAB＝kCD，即eq\f(4－1,－3－m)＝eq\f(m＋1－m,－1－1)，解得m＝3；當(dāng)l1⊥l2時(shí)，由于直線l2的斜率存在且不為0，則直線l1的斜率也存在，則kABkCD＝－1，即eq\f(4－1,－3－m)·eq\f(m＋1－m,－1－1)＝－1，解得m＝－eq\f(9,2).綜上，當(dāng)l1∥l2時(shí)，m的值為3；當(dāng)l1⊥l2時(shí)，m的值為－eq\f(9,2).3．2直線的方程3．2.1直線的點(diǎn)斜式方程[提出問(wèn)題]斜拉橋又稱斜張橋，橋身簡(jiǎn)約剛毅，力感十足．若以橋面所在直線為x軸，橋塔所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么斜拉索可看成過(guò)橋塔上同一點(diǎn)的直線．問(wèn)題1：已知某一斜拉索過(guò)橋塔上一點(diǎn)B，那么該斜拉索位置確定嗎？提示：不確定．從一點(diǎn)可引出多條斜拉索．問(wèn)題2：若某條斜拉索過(guò)點(diǎn)B(0，b)，斜率為k，則該斜拉索所在直線上的點(diǎn)P(x，y)滿足什么條件？提示：滿足eq\f(y－b,x－0)＝k.問(wèn)題3：可以寫(xiě)出問(wèn)題2中的直線方程嗎？提示：可以．方程為y－b＝kx.[導(dǎo)入新知]1．直線的點(diǎn)斜式方程(1)定義：如圖所示，直線l過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)，斜率為k，則把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直線l的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式．(2)說(shuō)明：如圖所示，過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角是90°的直線沒(méi)有點(diǎn)斜式，其方程為x－x0＝0，或x＝x0.2．直線的斜截式方程(1)定義：如圖所示，直線l的斜率為k，且與y軸的交點(diǎn)為(0，b)，則方程y＝kx＋b叫做直線l的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式．(2)說(shuō)明：一條直線與y軸的交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線在y軸上的截距．傾斜角是直角的直線沒(méi)有斜截式方程．[化解疑難]1．關(guān)于點(diǎn)斜式的幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)直線的點(diǎn)斜式方程的前提條件是：①已知一點(diǎn)P(x0，y0)和斜率k；②斜率必須存在．只有這兩個(gè)條件都具備，才可以寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程．(2)方程y－y0＝k(x－x0)與方程k＝eq\f(y－y0,x－x0)不是等價(jià)的，前者是整條直線，后者表示去掉點(diǎn)P(x0，y0)的一條直線．(3)當(dāng)k取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)的無(wú)數(shù)條直線．2．斜截式與一次函數(shù)的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有區(qū)別，當(dāng)k≠0時(shí)，y＝kx＋b即為一次函數(shù)；當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b，不是一次函數(shù)，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)必是一條直線的斜截式方程．截距不是距離，可正、可負(fù)也可為零．

直線的點(diǎn)斜式方程[例1](1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－5,2)且平行于y軸的直線方程為_(kāi)_______．(2)直線y＝x＋1繞著其上一點(diǎn)P(3,4)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得直線l，則直線l的點(diǎn)斜式方程為_(kāi)_______．(3)求過(guò)點(diǎn)P(1,2)且與直線y＝2x＋1平行的直線方程為_(kāi)_______．[解析](1)∵直線平行于y軸，∴直線不存在斜率，∴方程為x＝－5.(2)直線y＝x＋1的斜率k＝1，所以傾斜角為45°.由題意知，直線l的傾斜角為135°，所以直線l的斜率k′＝tan135°＝－1，又點(diǎn)P(3,4)在直線l上，由點(diǎn)斜式方程知，直線l的方程為y－4＝－(x－3)．(3)由題意知，所求直線的斜率為2，且過(guò)點(diǎn)P(1,2)，∴直線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.[答案](1)x＝－5(2)y－4＝－(x－3)(3)2x－y＝0[類題通法]已知直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線斜率或已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，均可用直線方程的點(diǎn)斜式表示，直線方程的點(diǎn)斜式，應(yīng)在直線斜率存在的條件下使用．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝x0.[活學(xué)活用]1．寫(xiě)出下列直線的點(diǎn)斜式方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5)，斜率是4；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,3)，傾斜角是45°；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(－1，－1)，與x軸平行．解：(1)由點(diǎn)斜式方程可知，所求直線的點(diǎn)斜式方程為y－5＝4(x－2)．(2)∵直線的傾斜角為45°，∴此直線的斜率k＝tan45°＝1.∴直線的點(diǎn)斜式方程為y－3＝x－2.(3)∵直線與x軸平行，∴傾斜角為0°，斜率k＝0.∴直線的點(diǎn)斜式方程為y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.直線的斜截式方程[例2](1)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－3的直線的斜截式方程為_(kāi)_______．(2)已知直線l1的方程為y＝－2x＋3，l2的方程為y＝4x－2，直線l與l1平行且與l2在y軸上的截距相同，求直線l的方程．[解析](1)∵傾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，由斜截式可得所求的直線方程為y＝－eq\f(\r(3),3)x－3.(2)由斜截式方程知直線l1的斜率k1＝－2，又∵l∥l1，∴l(xiāng)的斜率k＝k1＝－2.由題意知l2在y軸上的截距為－2，∴l(xiāng)在y軸上的截距b＝－2，由斜截式可得直線l的方程為y＝－2x－2.[答案](1)y＝－eq\f(\r(3),3)x－3[類題通法]1．斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在．當(dāng)b＝0時(shí)，y＝kx表示過(guò)原點(diǎn)的直線；當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b表示與x軸平行(或重合)的直線．2．截距不同于日常生活中的距離，截距是一個(gè)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或零，而距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)．[活學(xué)活用]2．求傾斜角是直線y＝－eq\r(3)x＋1的傾斜角的eq\f(1,4)，且在y軸上的截距是－5的直線方程．解：∵直線y＝－eq\r(3)x＋1的斜率k＝－eq\r(3)，∴其傾斜角α＝120°，由題意，得所求直線的傾斜角α1＝eq\f(1,4)α＝30°，故所求直線的斜率k1＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).∵所求直線的斜率是eq\f(\r(3),3)，在y軸上的截距為－5，∴所求直線的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x－5.兩直線平行與垂直的應(yīng)用[例3]當(dāng)a為何值時(shí)，(1)兩直線y＝ax－2與y＝(a＋2)x＋1互相垂直？(2)兩直線y＝－x＋4a與y＝(a2－2)x[解](1)設(shè)兩直線的斜率分別為k1，k2，則k1＝a，k2＝a＋2.∵兩直線互相垂直，∴k1k2＝a(a＋2)＝－1，解得a＝－1.故當(dāng)a＝－1時(shí)，兩條直線互相垂直．(2)設(shè)兩直線的斜率分別為k3，k4，則k3＝－1，k4＝a2－2.∵兩條直線互相平行，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2＝－1，,4a≠4，))解得a＝－1.故當(dāng)a＝－1時(shí)，兩條直線互相平行．[類題通法]判斷兩條直線位置關(guān)系的方法直線l1：y＝k1x＋b1，直線l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，則兩直線相交．(2)若k1＝k2，則兩直線平行或重合，當(dāng)b1≠b2時(shí)，兩直線平行；當(dāng)b1＝b2時(shí)，兩直線重合．(3)特別地，當(dāng)k1·k2＝－1時(shí)，兩直線垂直．(4)對(duì)于斜率不存在的情況，應(yīng)單獨(dú)考慮．[活學(xué)活用]3．(1)若直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直，則a(2)若直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行，則a解析：(1)由題意可知kl1＝2a－1，kl2∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq\f(3,8).(2)因?yàn)閘1∥l2，所以a2－2＝－1，且2a≠2，解得a＝－1，所以a答案：(1)eq\f(3,8)(2)－1eq\a\vs4\al(,,7.斜截式判斷兩條直線平行的誤區(qū))[典例]已知直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)l1∥l2時(shí)，求m[解]由題設(shè)l2的方程可化為y＝－eq\f(m－2,3)x－eq\f(2,3)m，則其斜率k2＝－eq\f(m－2,3)，在y軸上的截距b2＝－eq\f(2,3)m.∵l1∥l2，∴l(xiāng)1的斜率一定存在，即m≠0.∴l(xiāng)1的方程為y＝－eq\f(1,m)x－eq\f(6,m).由l1∥l2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m－2,3)＝－\f(1,m)，,－\f(2,3)m≠－\f(6,m)，))解得m＝－1.∴m的值為－1.[易錯(cuò)防范]1．兩條直線平行時(shí)，斜率存在且相等，截距不相等．當(dāng)兩條直線的斜率相等時(shí)，也可能平行，也可能重合．2．解決此類問(wèn)題要明確兩直線平行的條件，尤其是在求參數(shù)時(shí)要考慮兩直線是否重合．[成功破障]當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：y＝－2ax＋2a與直線l2：y＝(a2－3)x解：∵l1∥l2，∴a2－3＝－2a且2解得a＝－3.[隨堂即時(shí)演練]1．直線y＝2x－3的斜率和在y軸上的截距分別等于()A．2,3 B．－3，－3C．－3,2 D．2，－3答案：D2．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)，且傾斜角α＝45°，則直線的點(diǎn)斜式方程是()A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3解析：選A∵直線l的斜率k＝tan45°＝1，∴直線l的方程為y＋3＝x－2.3．過(guò)點(diǎn)(－2，－4)，傾斜角為60°的直線的點(diǎn)斜式方程是________．解析：α＝60°，k＝tan60°＝eq\r(3)，由點(diǎn)斜式方程，得y＋4＝eq\r(3)(x＋2)．答案：y＋4＝eq\r(3)(x＋2)4．在y軸上的截距為2，且與直線y＝－3x－4平行的直線的斜截式方程為_(kāi)_______．解析：∵直線y＝－3x－4的斜率為－3，所求直線與此直線平行，∴斜率為－3，又截距為2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.答案：y＝－3x＋25．(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且與直線y＝2x＋7平行的直線的方程；(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，－2)，且與直線y＝3x－5垂直的直線的方程．解：(1)由y＝2x＋7得其斜率為2，由兩直線平行知所求直線的斜率是2.∴所求直線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)由y＝3x－5得其斜率為3，由兩直線垂直知，所求直線的斜率是－eq\f(1,3).∴所求直線方程為y＋2＝－eq\f(1,3)(x＋2)，即x＋3y＋8＝0.[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題1．已知直線的方程是y＋2＝－x－1，則()A．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,2)，斜率為－1B．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－1)，斜率為－1C．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，－2)，斜率為－1D．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，－1)，斜率為1解析：選C直線的方程可化為y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，－2)，斜率為－1.2．直線y＝ax－eq\f(1,a)的圖象可能是()解析：選B由y＝ax－eq\f(1,a)可知，斜率和截距必須異號(hào)，故B正確．3．與直線y＝2x＋1垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是()A．y＝eq\f(1,2)x＋4 B．y＝2x＋4C．y＝－2x＋4 D．y＝－eq\f(1,2)x＋4解析：選D因?yàn)樗笾本€與y＝2x＋1垂直，所以設(shè)直線方程為y＝－eq\f(1,2)x＋b.又因?yàn)橹本€在y軸上的截距為4，所以直線的方程為y＝－eq\f(1,2)x＋4.4．過(guò)點(diǎn)(－1,3)且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程為()A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0解析：選A在斜率存在的條件下，兩條直線垂直的充要條件是斜率互為負(fù)倒數(shù)，則所求直線的斜率為－2，∴所求直線的方程為y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.5．過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線y＝eq\f(1,2)x－1平行的直線方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0解析：選A與直線y＝eq\f(1,2)x－1平行的直線方程可設(shè)為：y＝eq\f(1,2)x＋c，將點(diǎn)(1,0)代入得0＝eq\f(1,2)＋c，解得c＝－eq\f(1,2)，故直線方程為y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)即x－2y－1＝0.二、填空題6．過(guò)點(diǎn)(－3,2)且與直線y－1＝eq\f(2,3)(x＋5)平行的直線的點(diǎn)斜式方程是________________．解析：與直線y－1＝eq\f(2,3)(x＋5)平行，故斜率為eq\f(2,3)，所以其點(diǎn)斜式方程是y－2＝eq\f(2,3)(x＋3)．答案：y－2＝eq\f(2,3)(x＋3)7．直線y＝ax－3a＋2(a∈R解析：將直線方程變形為y－2＝a(x－3)，由直線方程的點(diǎn)斜式可知，直線過(guò)定點(diǎn)(3,2)．答案：(3,2)8．過(guò)點(diǎn)(4，－3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為_(kāi)_______．解析：依題意設(shè)l的方程為y＋3＝k(x－4)．令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝eq\f(4k＋3,k).因此－4k－3＝eq\f(4k＋3,k).解得k＝－1或k＝－eq\f(3,4).故所求方程為y＝－x＋1或y＝－eq\f(3,4)x.答案：y＝－x＋1或y＝－eq\f(3,4)x三、解答題9．已知三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，試求這個(gè)三角形的三條邊所在直線的方程．解：直線AB的斜率kAB＝eq\f(－3－0,3－－5)＝－eq\f(3,8)，過(guò)點(diǎn)A(－5,0)，由點(diǎn)斜式得直線AB的方程為y＝－eq\f(3,8)(x＋5)，即3x＋8y＋15＝0；同理，kBC＝eq\f(2＋3,0－3)＝－eq\f(5,3)，kAC＝eq\f(2－0,0＋5)＝eq\f(2,5)，直線BC，AC的方程分別為5x＋3y－6＝0,2x－5y＋10＝0.10．已知直線l的斜率與直線3x－2y＝6的斜率相等，且直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，求直線l的方程．解：由題意知，直線l的斜率為eq\f(3,2)，故設(shè)直線l的方程為y＝eq\f(3,2)x＋b，l在x軸上的截距為－eq\f(2,3)b，在y軸上的截距為b，所以－eq\f(2,3)b－b＝1，b＝－eq\f(3,5)，直線l的方程為y＝eq\f(3,2)x－eq\f(3,5)，即15x－10y－6＝0.3．2.2&3.2.3直線的兩點(diǎn)式方程、直線的一般式方程兩點(diǎn)式、截距式[提出問(wèn)題]某區(qū)商業(yè)中心O有通往東、西、南、北的四條大街，某公園位于東大街北側(cè)、北大街東P處，如圖所示．公園到東大街、北大街的垂直距離分別為1km和4km.現(xiàn)在要在公園前修建一條直線大道分別與東大街、北大街交匯于A、B兩處，并使區(qū)商業(yè)中心O到A、B兩處的距離之和最短．問(wèn)題1：在上述問(wèn)題中，實(shí)際上解題關(guān)鍵是確定直線AB，那么直線AB的方程確定后，點(diǎn)A、B能否確定？提示：可以確定．問(wèn)題2：根據(jù)上圖知建立平面坐標(biāo)系后，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)值相當(dāng)于在x軸、y軸上的什么量？提示：在x軸、y軸上的截距．問(wèn)題3：那么若已知直線在坐標(biāo)軸的截距可以確定直線方程嗎？提示：可以．[導(dǎo)入新知]直線的兩點(diǎn)式與截距式方程兩點(diǎn)式截距式條件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2在x軸上截距a，在y軸上截距b圖形方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線及過(guò)原點(diǎn)的直線[化解疑難]1．要注意方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，適用范圍也不同．前者為分式形式方程，形式對(duì)稱，但不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線．后者為整式形式方程，適用于過(guò)任何兩點(diǎn)的直線方程．2．直線方程的截距式為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，x項(xiàng)對(duì)應(yīng)的分母是直線在x軸上的截距，y項(xiàng)對(duì)應(yīng)的分母是直線在y軸上的截距，中間以“＋”相連，等式的另一端是1，由方程可以直接讀出直線在兩軸上的截距，如：eq\f(x,3)－eq\f(y,4)＝1，eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝－1就不是直線的截距式方程.直線方程的一般式[提出問(wèn)題]觀察下列直線方程直線l1：y－2＝3(x－1)直線l2：y＝3x＋2直線l3：eq\f(y－2,3－2)＝eq\f(x－1,4－1)直線l4：eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1問(wèn)題1：上述直線方程的形式分別是什么？提示：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式．問(wèn)題2：上述形式的直線方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C＝0的形式嗎？提示：能．問(wèn)題3：二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直線嗎？提示：能．[導(dǎo)入新知]1．直線與二元一次方程的關(guān)系(1)在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線，都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示．(2)每個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線．2．直線的一般式方程的定義我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式．[化解疑難]1．求直線的一般式方程的策略(1)當(dāng)A≠0時(shí)，方程可化為x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，則方程化為eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需確定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值．因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程．(2)在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡(jiǎn)單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式．2．直線的一般式轉(zhuǎn)化為其他形式的步驟(1)一般式化為斜截式的步驟①移項(xiàng)得By＝－Ax－C；②當(dāng)B≠0時(shí)，得斜截式：y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B).(2)一般式化為截距式的步驟①把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，得Ax＋By＝－C；②當(dāng)C≠0時(shí)，方程兩邊同除以－C，得eq\f(Ax,－C)＋eq\f(By,－C)＝1；③化為截距式：eq\f(x,－\f(C,A))＋eq\f(y,－\f(C,B))＝1.由于直線方程的斜截式和截距式是唯一的，而兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式不唯一，因此，通常情況下，一般式不化為兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式．利用兩點(diǎn)式求直線方程[例1]三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三邊所在直線的方程．[解]由兩點(diǎn)式，直線AB所在直線方程為：eq\f(y－－1,0－－1)＝eq\f(x－3,－1－3)，即x＋4y＋1＝0.同理，直線BC所在直線方程為：eq\f(y－3,－1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即2x＋y－5＝0.直線AC所在直線方程為：eq\f(y－3,0－3)＝eq\f(x－1,－1－1)，即3x－2y＋3＝0.[類題通法]求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程．(2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會(huì)將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤．在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．[活學(xué)活用]1．(1)若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－1)，B(2,7)，則直線l的方程為_(kāi)_______．(2)若點(diǎn)P(3，m)在過(guò)點(diǎn)A(2，－1)，B(－3,4)的直線上，則m＝________.解析：(1)由于點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，所以直線l沒(méi)有兩點(diǎn)式方程，所求的直線方程為x＝2.(2)由兩點(diǎn)式方程得，過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線方程為eq\f(y－－1,4－－1)＝eq\f(x－2,－3－2)，即x＋y－1＝0.又點(diǎn)P(3，m)在直線AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.答案：(1)x＝2(2)－2直線的截距式方程及應(yīng)用[例2]直線l過(guò)點(diǎn)P(eq\f(4,3)，2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)當(dāng)△AOB的周長(zhǎng)為12時(shí)，求直線l的方程．(2)當(dāng)△AOB的面積為6時(shí)，求直線l的方程．[解](1)設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，由題意知，a＋b＋eq\r(a2＋b2)＝12.又因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)P(eq\f(4,3)，2)，所以eq\f(4,3a)＋eq\f(2,b)＝1，即5a2－32a＋48＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,b1＝3，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(12,5)，,b2＝\f(9,2)，))所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.(2)設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，由題意知，ab＝12，eq\f(4,3a)＋eq\f(2,b)＝1，消去b，得a2－6a解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,b1＝3，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,b2＝6，))所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.[類題通法]用截距式方程解決問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)及注意事項(xiàng)(1)由截距式方程可直接確定直線與x軸和y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因此用截距式畫(huà)直線比較方便．(2)在解決與截距有關(guān)或直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長(zhǎng)等問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常使用截距式．(3)但當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時(shí)，有一個(gè)截距不存在；當(dāng)直線通過(guò)原點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)截距均為零．在這兩種情況下都不能用截距式，故解決問(wèn)題過(guò)程中要注意分類討論．[活學(xué)活用]2．求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,2)，并且和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是1的直線方程．解：設(shè)直線在x軸、y軸上的截距分別是a、b，則有S＝eq\f(1,2)|a·b|＝1.∴ab＝±2.設(shè)直線的方程是eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.∵直線過(guò)點(diǎn)(－2,2)，代入直線方程得eq\f(－2,a)＋eq\f(2,b)＝1，即b＝eq\f(2a,a＋2).∴ab＝eq\f(2a2,a＋2)＝±2.當(dāng)eq\f(2a2,a＋2)＝－2時(shí)，化簡(jiǎn)得a2＋a＋2＝0，方程無(wú)解；當(dāng)eq\f(2a2,a＋2)＝2時(shí)，化簡(jiǎn)得a2－a－2＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))∴直線方程是eq\f(x,－1)＋eq\f(y,－2)＝1或eq\f(x,2)＋eq\f(y,1)＝1，即2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.直線方程的一般式應(yīng)用[例3](1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y[解](1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0.l2：mx＋3y－2＝0.①當(dāng)m＝0時(shí)，顯然l1與l2不平行．②當(dāng)m≠0時(shí)，l1∥l2，需eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2).解得m＝2或m＝－3.∴m的值為2或－3.法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.當(dāng)m＝－3時(shí)，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，顯然l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2.同理當(dāng)m＝2時(shí)，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1與l2不重合，l1∥l2，∴m的值為2或－3.(2)法一：由題意，直線l1⊥l2，①若1－a＝0，即a＝1時(shí)，直線l1：3x－1＝0與直線l2：5y＋2＝0，顯然垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－eq\f(3,2)時(shí)，直線l1：x＋5y－2＝0與直線l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0，且2a＋3≠0，則直線l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq\f(a＋2,1－a)，k2＝－eq\f(a－1,2a＋3)，當(dāng)l1⊥l2時(shí)，k1·k2＝－1，即(－eq\f(a＋2,1－a))·(－eq\f(a－1,2a＋3))＝－1，所以a＝－1.綜上可知，當(dāng)a＝1或a＝－1時(shí)，直線l1⊥l2.法二：由直線l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a解得a＝±1.將a＝±1代入方程，均滿足題意．故當(dāng)a＝1或a＝－1時(shí)，直線l1⊥l2.[類題通法]1．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B22．與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋m＝0.[活學(xué)活用]3．(1)求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線l的方程；(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程．解：(1)法一：設(shè)直線l的斜率為k，∵l與直線3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－eq\f(3,4).又∵l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，可得所求直線方程為y－2＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－11＝0.法二：設(shè)與直線3x＋4y＋1＝0平行的直線l的方程為3x＋4y＋m＝0.∵l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.∴所求直線方程為3x＋4y－11＝0.(2)法一：設(shè)直線l的斜率為k.∵直線l與直線2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，∴k＝eq\f(1,2).又∵l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，∴所求直線l的方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－2)，即x－2y＝0.法二：設(shè)與直線2x＋y－10＝0垂直的直線方程為x－2y＋m＝0.∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0.∴所求直線l的方程為x－2y＝0.eq\a\vs4\al(,,3.探究直線在坐標(biāo)軸上的截距問(wèn)題)[典例]求過(guò)點(diǎn)A(4,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線l的方程．[解]當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，它在x軸、y軸上的截距都是0，滿足題意．此時(shí)，直線的斜率為eq\f(1,2)，所以直線方程為y＝eq\f(1,2)x.當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，又過(guò)點(diǎn)A，所以eq\f(4,a)＋eq\f(2,b)＝1(1)．因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，所以|a|＝|b|(2)．由(1)(2)聯(lián)立方程組，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝6，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2.))所以所求直線的方程為eq\f(x,6)＋eq\f(y,6)＝1或eq\f(x,2)＋eq\f(y,－2)＝1，化簡(jiǎn)得直線l的方程為x＋y＝6或x－y＝2.綜上，直線l的方程為y＝eq\f(1,2)x或x＋y＝6或x－y＝2.[多維探究]1．截距相等問(wèn)題求過(guò)點(diǎn)A(4,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程．解：(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，它在x軸、y軸上截距都是0，滿足題意，此時(shí)直線斜率為eq\f(1,2)，所以直線方程為y＝eq\f(1,2)x.(2)當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，又過(guò)A(4,2)，∴a＝6，∴方程為x＋y－6＝0，綜上，直線方程為y＝eq\f(1,2)x或x＋y－6＝0.2．截距和為零問(wèn)題求過(guò)點(diǎn)A(4,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程．解：(1)同上(2)當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)－eq\f(y,a)＝1.又過(guò)A(4,2)，∴eq\f(4－2,a)＝1，即a＝2，∴x－y＝2.綜上，直線l的方程為y＝eq\f(1,2)x或x－y＝2.3．截距成倍數(shù)問(wèn)題求過(guò)點(diǎn)A(4,2)且在x軸上截距是在y軸上截距的3倍，求直線l的方程．解：(1)同上(2)當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為eq\f(x,3a)＋eq\f(y,a)＝1，又直線過(guò)A(4,2)，所以eq\f(4,3a)＋eq\f(2,a)＝1，解得a＝eq\f(10,3)，方程為x＋3y－10＝0.綜上，所求直線方程為y＝eq\f(1,2)x或x＋3y－10＝0.4．截距和是定數(shù)問(wèn)題求過(guò)點(diǎn)A(4,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為12的直線l的方程．解：設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(2,b)＝1，,a＋b＝12.))∴4b＋2a＝ab即4(12－a)＋2a＝a(12－a∴a2－14a解得a＝6或a＝8.因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝6，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝8，,b＝4.))∴所求直線l的方程為x＋y－6＝0或x＋2y－8＝0.[方法感悟]如果題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”、“截距的絕對(duì)值相等”、“截距互為相反數(shù)”、“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上截距的m倍(m＞0)”等條件時(shí)，可采用截距式求直線方程，但一定要注意考慮“零截距”的情況．[隨堂即時(shí)演練]1．直線eq\f(x,3)－eq\f(y,4)＝1在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為()A．1 B．－1C．7 D．－7解析：選B直線在x軸上截距為3，在y軸上截距為－4，因此截距之和為－1.2．直線3x－2y＝4的截距式方程是()A.eq\f(3x,4)－eq\f(y,2)＝1 B.eq\f(x,\f(1,3))－eq\f(y,\f(1,2))＝4C.eq\f(3x,4)－eq\f(y,－2)＝1 D.eq\f(x,\f(4,3))＋eq\f(y,－2)＝1解析：選D求直線方程的截距式，必須把方程化為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的形式，即右邊為1，左邊是和的形式．3．直線l過(guò)點(diǎn)(－1,2)和點(diǎn)(2,5)，則直線l的方程為_(kāi)_______．解析：由題意直線過(guò)兩點(diǎn)，由直線的兩點(diǎn)式方程可得：eq\f(y－2,5－2)＝eq\f(x－－1,2－－1)，整理得x－y＋3＝0.答案：x－y＋3＝04．斜率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)的直線的一般式方程為_(kāi)_______．解析：由直線點(diǎn)斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式為2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝05．三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直線AB和直線AC的方程．解：∵直線AB過(guò)點(diǎn)A(0，－5)，B(－3,3)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式方程，得eq\f(y＋5,3＋5)＝eq\f(x－0,－3－0).整理，得8x＋3y＋15＝0.∴直線AB的方程為8x＋3y＋15＝0.又∵直線AC過(guò)A(0，－5)，C(2,0)兩點(diǎn)，由截距式得eq