彭州一中高2021級(jí)高三上期10月月考數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．1.設(shè)集合，，則A. B. C. D.【詳解】,集合，則，故選D【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以.故選：C.3.走路是最簡(jiǎn)單優(yōu)良的鍛煉方式，它可以增強(qiáng)心肺功能，血管彈性，肌肉力量等，甲、乙兩人利用記錄了去年下半年每個(gè)月的走路里程（單位：公里），現(xiàn)將兩人的數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論中正確的是（）A.甲走路里程的極差等于B.乙走路里程的中位數(shù)是C.甲下半年每月走路里程的平均數(shù)小于乙下半年每月走路里程的平均數(shù)D.甲下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，月甲走路的里程為：、、、、、，甲走路里程的極差為公里，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，月乙走路的里程為：、、、、、，由小到大排列分別為：、、、、、，所以，乙走路里程的中位數(shù)是，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，甲下半年每月走路里程的平均數(shù)，乙下半年每月走路里程的平均數(shù)為，所以，甲下半年每月走路里程的平均數(shù)小于乙下半年每月走路里程的平均數(shù)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由圖可知，甲下半年走路里程數(shù)據(jù)波動(dòng)性大于乙下半年走路里程數(shù)據(jù)，所以甲下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差，D錯(cuò).故選：C.4.已知直線與直線互相垂直，則是的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A由題意得直線x＋m2y＝0的斜率是－1，所以eq\f(－1,m2)＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要條件．故選A.5.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.－ B.5 C.2 D.8【詳解】畫(huà)出可行域如圖所示，由解得，設(shè)A(1,2)，則目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)時(shí)在y軸上的截距最大，所以在點(diǎn)A(1,2)處取得最大值最大值為.故選：B.6.下列命題正確的是（）A.命題“”為假命題，則命題與命題都是假命題B.命題“若，則”的逆否命題為真命題C.若使得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則為函數(shù)的極值點(diǎn)；D.命題“，使得”的否定是：“，均有”【詳解】對(duì)于A：命題“”為假命題，則命題與命題至少有一個(gè)假命題，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：命題“若，則”顯然為真命題，又原命題與逆否命題同真同假，故B正確；對(duì)于C：若使得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，如果兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)相反，則為函數(shù)的極值點(diǎn)；否則，不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：命題“存在，使得”的否定是：“對(duì)任意，均有”．故D錯(cuò)誤.故選：B．7.已知的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則展開(kāi)式中x4的系數(shù)為()A．20B．15C．10D．5解析：選D由題意知(x＋1)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，即(1＋1)n＝2n＝32，解得n＝5，則二項(xiàng)式(x＋1)5的展開(kāi)式中x4的項(xiàng)為Ceq\o\al(1,5)x4＝5x4，所以x4的系數(shù)為5，故選D.8.六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景，結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（D）A．48種 B．72種 C．120種 D．144種9.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，則球的表面積為A. B. C. D.【詳解】設(shè)外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，∵，∴，∴，∴，∴，由題意知，平面，則將三棱錐補(bǔ)成三棱柱可得，，∴，故選A．10.已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，所以函數(shù)在R上遞減，所以，解得：，故選：D.11.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【詳解】，，而，則，故選：A.12.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【詳解】由得，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，于是有，解得.因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以恒成?，設(shè)，則，故上單調(diào)遞增，所以，由題意恒成立，所以.因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故選：B填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．13.若直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為．【詳解】由題意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.14.命題：“，”，命題：“，”，若是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．【詳解】若是真命題，則對(duì)于恒成立，所以，若是真命題，則關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，所以，即，和同時(shí)為真命題，則，所以．15.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F．圓與雙曲線C的漸近線在第一象限交于點(diǎn)P，直線與雙曲線C交于點(diǎn)Q，且，則雙曲線C的離心率為_(kāi)_____．【詳解】如下圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，設(shè)直線的傾斜角為，則，由題意可知，則，則雙曲線的定義有，從而，所以在中，由余弦定理有.故答案為：16.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且時(shí)，，給出下列結(jié)論：①；②函數(shù)在上是增函數(shù)；③函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；④若，則關(guān)于的方程在上的所有根之和為.則其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)___________.【詳解】由，將代換，代換可得，，由函數(shù)為奇函數(shù)，故，令，則，又時(shí)，，所以，所以，①對(duì)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，所以時(shí)，單增，，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)在上是減函數(shù)，②錯(cuò)；同理，令，得，圖像關(guān)于對(duì)稱，③對(duì)；如圖，畫(huà)出函數(shù)大致圖像，的最左側(cè)兩根和為12，區(qū)間的兩根之和為4，區(qū)間兩根之和為20，所以所有根之和為12，④對(duì)故正確選項(xiàng)為：①③④故答案為：①③④三、解答題：共70分17.（本題12分）在中,角的對(duì)邊分別為,(1)求;(2)若,的面積為,求的周長(zhǎng).17.（1）∵cosB∴3∴3a∴3由正弦定理可得：3sinA∴3cosB=sinB,∴tanB=3,(2)S=12acsinB=由余弦定理可得：b ∴周長(zhǎng)=23+218.（本題12分）每年的3月21日是世界睡眠日,保持身體健康的重要標(biāo)志之一就是有良好的睡眠,某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查參加體育鍛煉對(duì)睡眠的影響,從轄區(qū)內(nèi)同一年齡層次的常參加體育鍛煉和不常參加體育鍛煉的人中,各抽取了100人,通過(guò)問(wèn)詢的方式得到他們?cè)谝恢軆?nèi)的睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)）,并繪制出如下頻率分布直方圖.(1)若每周的睡眠時(shí)間不少于44小時(shí)的列為“睡眠足”,每周的睡眠時(shí)間在44小時(shí)以下的列為“睡眠不足”,請(qǐng)根據(jù)已知條件完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“睡眠足”與“常參加體育鍛煉”有關(guān)?睡眠足睡眠不足總計(jì)常參加體育鍛煉人員不常參加體育鍛煉人員總計(jì)(2)現(xiàn)從常參加體育鍛煉的樣本人群中按睡眠是否充足來(lái)采用分層抽樣法抽取8人做進(jìn)一步訪談,然后從這8人中隨機(jī)抽取2人填寫(xiě)調(diào)查問(wèn)卷,記抽取的兩人中睡眠足的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;參考公式：,其中.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【詳解】（1）常參加體育鍛煉人員“睡眠足”的人數(shù)為：,則“睡眠不足”的人數(shù)為25;不常參加體育鍛煉人員“睡眠足”的人數(shù)為：,則“睡眠不足”的人數(shù)為45;列聯(lián)表如下：睡眠足睡眠不足總計(jì)常參加體育鍛煉人員7525100不常參加體育鍛煉人員5545100總計(jì)130702004分零假設(shè)：睡眠足與常參加體育鍛煉無(wú)關(guān)因?yàn)镵2=所以有99%的把握認(rèn)為“睡眠足”與“常參加體育鍛煉”有關(guān).7分（2）由題意知,常參加體育鍛煉的樣本人群中睡眠足和睡眠不足的人數(shù)比為75:25=3:1,用分層抽樣法抽取8人,其中睡眠足的有6人,睡眠不足的有2人8分從這8人隨機(jī)抽取2人,則的所有取值為0,1,2.,,;所以分布列為01211分（說(shuō)明：全對(duì)給3分,不全對(duì)時(shí)求出兩個(gè)概率給2分）數(shù)學(xué)期望12分19．（本題12分）如圖，水平面上擺放了兩個(gè)相同的正四面體和．(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作平面、平面，垂足分別為、，證明出四邊形為菱形，可得出，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，即可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)，取線段的中點(diǎn)，連接，證明出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.（1）證明：因?yàn)榕c共面，所以連接與相交于點(diǎn)，因?yàn)楹褪窍嗤恼拿骟w，所以，、都是等邊三角形，則，所以四邊形為菱形，則為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作平面、平面，垂足分別為、，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可知、分別為、的中心且E,F在DC上，且，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則，，平面，平面，，，同理可得，所以，，故四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，因此，.（2）解：設(shè)，取線段的中點(diǎn)，連接，易知，所以，為的中點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則且，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，所以，平面，因?yàn)椋渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，則，取，可得，.由圖形可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.20．（本題12分）已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離比是.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與軌跡交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，化解可得：.（2）設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程可得：，消去可得：，所以，即，則，，，把韋達(dá)定理代入可得：，整理得，滿足，又，而點(diǎn)到直線的距離，所以，把代入，則，可得是定值1.21.（本題12分）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，判斷在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)僅有一個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，求出在處的導(dǎo)數(shù)值，再由直線的點(diǎn)斜式方程即可求得切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可知，在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)并求出其最小值即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）利用函數(shù)與方程的思想，求出方程的根的個(gè)數(shù)即可，在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出函數(shù)和的圖象，利用切線方程位置可求出結(jié)果.【詳解】（1）由可得，此時(shí)切線斜率為，而；所以切線方程為，即；即曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2）根據(jù)題意，若在上單調(diào)遞增，即可得在上恒成立，即恒成立；令，則；顯然在上滿足，而恒成立，所以在上恒成立；即在單調(diào)遞增，所以；所以即可；因此實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）令，即可得；構(gòu)造函數(shù)，，易知在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，如下圖中實(shí)曲線所示：又函數(shù)恒過(guò)，且，易知，所以函數(shù)在處的切線方程為；又，所以（圖中虛線）在范圍內(nèi)恒在（圖中實(shí)直線）的上方；所以由圖易知與在范圍內(nèi)僅有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn).22．（