武漢市2024屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試卷

2024.2.28

本試題卷共4頁，19題，全卷滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上,并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題

卡上的指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試

卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答

題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知集合A—{x\2x2+x—\<0},B={y\y—lg(x2+1)}，則AC\B—

A.(—1,0]B.[0,。)C.(—D.[0,1)

2.復(fù)數(shù)z滿足2z+35=5—2￡,貝!J|z|=

A.V3B.2C.V5D.V6

3.已知abW1,logjn—2,logbm—3,貝!Jlogabm—

A.《B.!C.D.-f-

6565

4.將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝人三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球,則不同的裝法種數(shù)為

A.7B.8C.9D.10

5.設(shè)拋物線力=2c的焦點(diǎn)為死過拋物線上點(diǎn)P作其準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為Q,若NPQF=30°,則

A-fB-4C4D.斗

6.法布里一貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應(yīng)用時(shí)，用光波依次透過幾層薄膜，記光波的初始

功率為品，記R為光波經(jīng)過第卜層薄膜后的功率，假設(shè)在經(jīng)過第％層薄膜時(shí)光波的透過率或=

春=±,其中％=1,2,3…以為使得善>2-。24,則n的最大值為

A.31B.32C.63D.64

數(shù)學(xué)試卷第?頁(共4頁)

7.如圖,在函數(shù)/（?）=s，n（5；+8）的部分圖象中，若734=AB,則點(diǎn)A的

縱坐標(biāo)為

2—

C.A/3—D.2-V3

8.在三棱棱P—ABC中,46=22,PC=1,24+PB=4,CA—CB=2,且PO_LAB,則二面角P—

AB-C的余弦值的最小值為

二、選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分。

9.已知向量。=（cos9,sin0）,b=（—3,4）,則

A.若Q〃6,貝！Jtand=―gB.若Q_Lb,貝！Jsinff=

35

C.\a-b|的最大值為6D.若Q?（a—b）=0,則\a—b\=2V6

10.將兩個(gè)各棱長均為1的正三棱錐O-4B。和E-AB。的底面重合，得到如圖所示的六面體,則

A.該幾何體的表面積為警

B.該幾何體的體積為詈A乙二

C.過該多面體任意三個(gè)頂點(diǎn)的截面中存在兩個(gè)平面互相垂直

D.直線ADII平面BCE7f

E

11.已知函數(shù)/㈤=ae+l）Zn（、J）—e,+l恰有三個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其由小到大分別為電,電小,則

A.實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0,；）

B.劣1+42+63=0

/'(g)_-

C.函數(shù)g（rc）=/（，）+%/（—c）可能有四個(gè)零點(diǎn)—e

f(?1)

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.在A4BC中,其內(nèi)角AB,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若3=牛,6=6?2+。2=22碇,則AABC的

面積為.

13.設(shè)橢圓（+夫=1的左右焦點(diǎn)為用,E,過點(diǎn)E的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，若線段人月的中

95

垂線過點(diǎn)片則\BF^=.

14.“布朗運(yùn)動(dòng)”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉

組成,某粒子作布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)「口升亍

到達(dá)相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達(dá)容器外就會(huì)被外部捕獲裝置所□I口2.3

捕獲,此時(shí)試驗(yàn)結(jié)束.已知該從1號(hào)倉到達(dá)容器外的概率為.0___IBE

數(shù)學(xué)試卷第-2?頁（共4頁）

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步騾。

15.（13分）

各項(xiàng)均不為0的數(shù)列｛飆｝對(duì)任意正整數(shù)n滿足:'+'+???=1-

aa

Q2a3nn+l

⑴若｛冊(cè)｝為等差數(shù)列，求的；

⑵若di=―求｛4｝的前n項(xiàng)和Sn.

16.（15分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形,1%=。894=。3=2,48=2,9=1,

點(diǎn)E,F分別為AB和PB的中點(diǎn).

⑴證明:CFLPE;

（2）若PE=1,求直線CF與平面PBD所成角的正弦值.

17.（15分）

隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融人了各個(gè)行業(yè)，促進(jìn)了社會(huì)的快速發(fā)展.其中利用人工智能生成

的虛擬角色因?yàn)閾碛懈偷娜斯こ杀荆鸩饺〈鷤鹘y(tǒng)的真人直播帶貨.某公司使用虛擬角色直播帶

貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)

計(jì).

年月2023年2023年2023年2023年2023年2024年

8月9月10月11月12月1月

月份編號(hào)C123456

銷售金額y/萬元15.425.435.485.4155.4195.4

若沙與，的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：

（1）試求變量y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果精確到0.01）;

（2）試求"關(guān)于，的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并據(jù)此預(yù)測(cè)2024年2月份該公司的銷售金額.

nn

（力，—五）（仇—V）＞＞仙—rixy

1=1

附:經(jīng)驗(yàn)回歸方程g=bx-\-含，其中b=n------------=弓---------,a=y—bx,

之出-五）2-nx2

i=li=l

nn

》（為一初（仇一萬）》為仇一九的

樣本相關(guān)系數(shù)T=｝^~==/“口—

（能-4（%-y）2J之蠟-成-國

Vi=lVi=lVi=lVi=l

6l~6__

參考數(shù)據(jù)：＞＞私=2463.4/2（仇—9）2=20回.

i=lVi=l

數(shù)學(xué)試卷第-3?頁（共4頁）

18.(17分)

已知雙曲線-4=1的左右焦點(diǎn)為后典其右準(zhǔn)線為l-.x=￡點(diǎn)用到直線I的距離為條過點(diǎn)

abc2

月的動(dòng)直線交雙曲線E于兩點(diǎn),當(dāng)直線AB與2軸垂直時(shí),|AB|=6.

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線AF,與直線I的交點(diǎn)為P,證明:直線PB過定點(diǎn).

19.(17分)

已知函數(shù)/(①)=6~1.

X

⑴求曲線夕=/(')在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程；

(2)證明:/(0是其定義域上的增函數(shù)；

⑶若/(土)>斡,其中a>0且aW1,求實(shí)數(shù)a的值.

數(shù)學(xué)試卷第-4?頁(共4頁)

武漢市2024屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

選擇題:

題號(hào)1234567891011

答案BCDAACBAACDACBCD

填空題：

12.313.y14,精

解答題：

15.(13分)解：

(1)由題意，11-...H------=1-—,

1?1「1?I」1

。2a3冊(cè)冊(cè)+1an+\an+2"〃+2

兩式相減得：-------=y(-------)?

an+ian+2'an+l"〃+2

化簡得：?！?2—?！?1=2.

即數(shù)列｛〃〃｝是從第2項(xiàng)起公差為2的等差數(shù)列.

若數(shù)列｛?！ǎ堑炔顢?shù)列，則滿足%-%=2.

令〃=1，有一-—-1-"-，即出=—+1?

axa22出a12

所以:+；=%+2,解得%=—2或二：.

由%=。1+2。0,所以〃］二：.........7分

(2)%=+?=-3.

ax2

由(1),數(shù)列｛q｝是從第2項(xiàng)起公差為2的等差數(shù)列.

所以2時(shí)，an=a2+2(n-2)=2n-l.

rro/\(M—1)(^2+2—1)(—3+271—7)

止L匕D時(shí)，S〃=q+(%+/+…+=q-l---------------=-y---------2----------

整理得：S“=〃2—6〃+苧(〃22).

又H=q=--也滿足上式，

所以，S“=/-6〃+孚.........13分

7

16.(15分)解：

(1)取PE中點(diǎn)G,連接。G,bG.

由DA=DB=V^,AB=2,有AZMB是等腰直角三角形.

此時(shí)。E=l,又PD=1,所以PELDG.

因?yàn)锽4=P3,所以PELAB.

由FG〃EB,所以PEJ_RG.

此時(shí)，CD//AB//FG,有CAGE四點(diǎn)共面，

FG\'\DG=G,直線PE，平面CDGF.

由CRu平面CDGR,所以CFLPE.7分

(2)由ABLPE,ABIDE,且PEDE=E,所以直線AB，平面POE

由PE=DE=PD=1,所以APDE是等邊三角形.

以E為原點(diǎn)，所在直線分別為％軸、y軸，過點(diǎn)￡且與平面A3CD垂直的直線為z軸，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

P**),￡>(0,1,0),5(1,0,0),C(2,l,0),F0J號(hào))

。尸=(0,-；,半)，DB=(l,-l,0),設(shè)平面的法向量〃=(x,y,z),

nDP=01_J_y+立z=0-rr

由〈.,即2>2,取z=l,得到平面的一個(gè)法向量〃=(6,石,1).

n-DB=0,7=0

又”=岐,點(diǎn)-亭).設(shè)直線CF與平面PBD所成角的大小為0,

麗.八,一\n-FC\_2A/3_2不

貝！Isin0—|cos<FC>=-：-----———#=—產(chǎn)——-—.

|/z|-|FC|V7-V37

所以直線CF與平面PBD所成角的正弦值為斗.

15分

17.(15分)解:

「一公-1+2+3+4+5+6._15.4+25.4+35.4+85.4+155.4+195.4

(1)由已知可得尤=-----------------=3.5,y=------------------------------------------------=85.4.

66

6

2222

又S(七一斤)2=(1一3.5)2+Q_3.5)+(3—3.5)2+(4_3.5)+(5-3.5)+(6-3.5)=17.5,

1=1

所以2，1Z(X-寸=20月,

6

Zx，一6元》

2463.4-6x85.4x3.5670

i=l?0.96

則樣本相關(guān)系數(shù)廠=700

X，「歹)2①才可x20屈

1=1

8分

(2)設(shè)了關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為亍=Bx+2,其中

6

卒%-6刈_2463.4—6x3.5x85.4_268

b=62

方(%—可27，

1=1

.268

a=y-bx=85A—-^x3.5=—48.6,

所以丁關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=^x-48.6.

把x=7代入得$=219.4(萬元).

所以預(yù)測(cè)2024年2月份該公司的直播銷售金額為219.4萬元.15分

18.(17分)解:

2

(1)設(shè)雙曲線的半焦距為。，則右準(zhǔn)線的方程為/：%=a

c.

由題意，c--^―=—=.

cc2

在方程M—4=1中，令x=c,解得：y=土此，所以@1=6.

abaa

聯(lián)立解得：/=1,/=3.

2

所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：X2--y=l.5分

(2)當(dāng)直線AB與X軸不重合時(shí)，設(shè)其方程為x=my+2.

2_y__]

與雙曲線方程聯(lián)立：＜X-T=,(3m2-l)j2+12/7ij+9=0.

x=my+2

_一12加

~3m2-1

有<

9

%%=

3m2-1

直線A耳的方程為：y=^^(x+2).

令x=1,得到P點(diǎn)坐標(biāo)(J,。/?).

222(玉+2)

所以直線PB的方程為：(%2—4)(>—%)=(%—37―々0、)(%_冗2).

令y=0,得到直線？5與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)：

X=%_%區(qū)-2)=X]%-5/%+2%=(一%+2)為一5(加為+2)X+2為

-2____肛2%%-5%+4%—2(町+2)%-5%+4%

%2(%+2)

二一4"?%%—10%+4%_—4a%%—10(%+%)+14%

2myly2-5yl+8y22myly,-5(yl+y2)+13y2

22

_—36m+120m+14(3m—1)%_84m+14(3m—l)y2_14

22

18m+60m+13(3m—l)y278m+13(3m—1)%13

所以直線？5過點(diǎn)(II,0).

當(dāng)直線AB與x軸重合時(shí)，直線P6也與x軸重合，也過點(diǎn)(號(hào),0).

綜上所述，直線P6過定點(diǎn).......17分

19.(17分)解:

(1)尸(x)=(xT)f+1.

X

/⑴=1,/(l)=e-l.

故切線方程為：y=x+e-2.......3分

(2)/(九)定義域?yàn)?YO,0)J(0,+8).

令g(尤)=(無一l)e*+1,則g'(x)=jte",令g'(x)=0,得x=0.

當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,g(x)>g(0)=0,所以/(乃>0,/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)〉0，g(x)單調(diào)遞增，