2023-2024學(xué)年江西省撫州市高三高考適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)

模擬試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.某校高一年級18個班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機(jī)抽樣，獲得了10個班的比賽得分

如下：91,89,90,92,94,87,93,96,91,85,則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為（）

A.93B.93.5C.94D.94.5

2.已知向量°B滿足°方=1，則卜+'+2,-可的最小值為（）

A.76+272B.V6+V2C.8D.2

3.過直線＞=x上一點(diǎn)M作圓C：（》-2）2+/=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為P,Q.若直線

過點(diǎn)。,3）,則直線PQ的方程為（）

A.5x—y—2=0B.x—+14=0

C.5x+y-8=0D.%+5y—16=0

4.古城贛州最早有五大城門，分別為鎮(zhèn)南門、百盛門、涌金門、建春門和西津門，贛州某學(xué)校

歷史興趣小組決定利用兩個周日的時間對五大城門的地理位置及歷史意義進(jìn)行調(diào)研.若約定：

每個城門只調(diào)研一次，且每個周日只調(diào)研五大城門中的兩大城門或三大城門，則恰好在同一個

周日調(diào)研百盛門和建春門的概率為（）

21-14

A.—B.-C.—D.一

5355

5.數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為滿足S"+a”=1024,則數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積的最大值為（）

A.255B.245C.29D.210

6.已知矩形48CD中，48=2,BC=1,將沿AD折起至，當(dāng)C3與所成角

最大時，三棱錐C'-48。的體積等于（）

A73nV3-p.2V5

62155

7.已知85（1400-1）+5m（110°+戊）=5111（130°-戊），求tana=（）

A.—B.--C.V3D.-V3

33

8.若存在aeR,使得對于任意xe1,e,不等式Inx4加+bx4（e?-2e）lnx+e恒成立，則實(shí)

試卷第1頁，共4頁

數(shù)6的最小值為（）

Ae3+e+l-e2+e

A.--------B.-——C.-1D.-e

e2-le2-l

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.0G{O}

B.集合{x|x=2n,〃￡Z}二x-eZ

2

01xXeGQU的值域?yàn)椋邰?/p>

C.函數(shù)〃x)=

D./（x）=x|x|在定義域內(nèi)單調(diào)遞增

如圖，點(diǎn)48,c是函數(shù)/（x）=sin（ox+9）（0>O）的圖象與直線了=1相鄰的三個交點(diǎn),

10.

則（）

C.函數(shù)/（x）在上單調(diào)遞減

D.若將函數(shù)/'（X）的圖象沿X軸平移。個單位，得到一個偶函數(shù)的圖像，則冏的最小值為最

11.已知定義在（0,+8）的函數(shù)“X）滿足：①對以e（o,m）恒有切'（X）-〃x）=x；②對任意的

正數(shù)小，〃恒有了（〃〃2）=植（"7）+〃礦,）+加〃.則下列結(jié)論中正確的有（）

A./(1)=-1

B.過點(diǎn)(ej(e))的切線方程y=x-l

C.對Mre(0,+x)),不等式/(x)Wx-e恒成立

試卷第2頁，共4頁

D.若與為函數(shù)了=/(尤)+/的極值點(diǎn)，則/(尤0)+3%>0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復(fù)平面上一個動點(diǎn)Z對應(yīng)復(fù)數(shù)z,若|z-4iR2,其中i是虛數(shù)單位，則向量應(yīng)掃過的

面積為?

13.已矢口實(shí)數(shù)x,y滿足x2-31nx-y=0,則卜+y2-mx+my+(meR)的最小值為.

14.如圖，在直角梯形48。中，AB//CD,ZABC=90°,AB=\,AC=CD=DA=2,動點(diǎn)、M

在邊。C上(不同于。點(diǎn))，P為邊4B上任意一點(diǎn),沿將△4DM翻折成兒f,當(dāng)平面

NOM垂直于平面4SC時，線段尸。長度的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某校舉行圍棋友誼賽，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是：，乙

獲勝的概率是:，規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分，負(fù)方記0分，先得3分者獲勝，比賽結(jié)束.

(1)求進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率；

(2)若甲以2:1領(lǐng)先乙時，記X表示比賽結(jié)束時還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

16.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+ox+6,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程為>=6尤-3.

(1)求見6；

3

(2)證明：/(x).

17.如圖，是半球。的直徑，AB=4,依次是底面功上的兩個三等分點(diǎn)，P是半球

面上一點(diǎn)，且NPON=60。.

試卷第3頁，共4頁

(2)若點(diǎn)尸在底面圓上的射影為ON中點(diǎn)，求直線W與平面尸所成的角的正弦值.

丫2

18.已知雙曲線C：L-/=],點(diǎn)加(4,0),經(jīng)過點(diǎn)河的直線交雙曲線C于不同的兩點(diǎn)/、B,

4-

過點(diǎn)/,8分別作雙曲線。的切線，兩切線交于點(diǎn)￡.(二次曲線N尤2+3必=1在曲線上某點(diǎn)

優(yōu),%)處的切線方程為，/彳+3%^=1)

(1)求證：點(diǎn)E恒在一條定直線￡上;

(2)若兩直線與￡交于點(diǎn)N,AN=AMA,BN=^iMB,求丸+〃的值;

(3)若點(diǎn)/、8都在雙曲線C的右支上，過點(diǎn)N、8分別做直線￡的垂線，垂足分別為尸、Q,記

△AMP,ABMQ,APMQ的面積分別為岳，邑，邑，問：是否存在常數(shù)相，使得SR=mS；?若存

在，求出加的值；若不存在，請說明理由.

19.若各項(xiàng)為正的無窮數(shù)列｛%｝滿足：對于V〃eN*,a：「a：=d,其中d為非零常數(shù)，則稱

數(shù)列｛%｝為。數(shù)列.記b?=an+l-an

⑴判斷無窮數(shù)列4=G和%=2"是否是。數(shù)列，并說明理由;

(2)若｛%｝是。數(shù)列，證明：數(shù)列步,｝中存在小于1的項(xiàng);

?1

⑶若｛%｝是。數(shù)列，證明：存在正整數(shù)〃，使得￡—>2024.

a

z=li

試卷第4頁，共4頁

1.B

【分析】利用百分位數(shù)的定義即可得解.

【詳解】將比賽得分從小到大重新排列：85,87,89,90,91,91,92,93,94,96,

因?yàn)?0x80%=8,

93+94

所以這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)第8個A數(shù)與第9個A數(shù)的平均值，即^^=93.5.

2

故選：B.

2.A

【分析】設(shè)。/=B且=加,］。,二〃，建立直角坐標(biāo)系，得到a=（加,0）,3=（%,巧切，

求得加〃=2,得至!］歸+同+2歸-可=，加?+2+2,加2+加2+2,結(jié)合基本不等式和函數(shù)

上的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)刀=［礪=3且網(wǎng)=加，網(wǎng)=〃，

因?yàn)榉?=三，可得4（冽,0）,5（工〃,】自〃），

322

____1八

則a=OA=（肛0）,B=OB=g〃），

grpI7（1V3、-，/1yFix

歷以a+b=（m+—n,—^~n）,a-b={m—n,——n），

又因?yàn)橄蛄繚M足屋B=1，可得之Z=|同WcosN,B=g冽〃=1,解得加〃=2,

_IJ忑____________________

所以歸+可={（加+萬〃）2+（-^-〃）2=ylm^+〃2+mn=，加2+/+2，

B一'卜J0n—g"I+（―〃）2=\lm2+n2-mn=yjm2+n2-2，

則|萬+,+2n一司=J/+/+2+2j/+/—2,

設(shè)，=/+〃2,因?yàn)椋?病+〃222加〃=4,當(dāng)且僅當(dāng)冽=〃=后，

所以,+可+2歸_,=7?71+27^,

又因?yàn)??）=〃^+2〃^在［4,舟）上為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以/（（U=/（4）=C+2^，即B+H+2BT的最小值為痛+2萬

故選：A.

答案第1頁，共17頁

【分析】設(shè)M(fJ),先利用兩圓方程相減得到直線尸。的方程，再利用直線尸。過點(diǎn)(L3)求得

，的值，進(jìn)而得到直線尸。的方程.

【詳解】圓C：C一2丫+/=1的圓心為C(2,0),

設(shè)M(fj),則以為直徑的圓的方程為

與圓C的方程(x-2『+"=1兩式相減可得直線尸。的方程為

-+ty-2?+3—0

因?yàn)橹本€尸。過點(diǎn)(1,3),所以t-2+3/-2/+3=0,解得l=—萬.

所以直線尸。的方程為一gx-gy+l+3=0,即5x+y-8=0.

【分析】根據(jù)題意，得到此次調(diào)研的基本事件的總數(shù)為C；+C；種，再由題設(shè)條件，分為兩類求

得恰好在同一個周日調(diào)研百盛門和建春門的種數(shù)，集合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】由題意，每個城門只調(diào)研一次，且每個周日只調(diào)研五大城門中的兩大城門或三大城門，

共有C；+C；=20種不同的調(diào)研方法，

其中恰好在同一個周日調(diào)研百盛門和建春門，可得分為：

答案第2頁，共17頁

①其中一個周日只調(diào)研百盛門和建春門，另一個周日調(diào)研其他三門，有c；=2種方法；

②其中一個周日調(diào)研百盛門、建春門和其中另一個門，另一個周日調(diào)研剩余的兩門，

有C；C；=6種方法，共有2+6=8種不同的調(diào)研方法，

所以恰好在同一個周日調(diào)研百盛門和建春門的概率為尸=柿=5.

故選：A.

5.B

【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出生,進(jìn)而求出數(shù)列｛%｝通項(xiàng)，借助單調(diào)性求解即得.

【詳解】依題意，〃eN*,Sn+an=l024,則q=512,當(dāng)〃>2時，S〃T+*=1024,

兩式相減得2%=%T，即。因此數(shù)列｛%｝是以512為首項(xiàng)，；為公比的等比數(shù)列，

于是風(fēng)=512、（3）1=2回"，顯然數(shù)列｛氏｝單調(diào)遞減，當(dāng)“V10時，an>\,當(dāng)"知1,a?<l,

所以當(dāng)〃=9或〃=10時，數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)積最大，<^（fi^J29x28x27x---x22x2x2°=245.

故選：B

6.A

【分析】根據(jù)異面直線所成角、錐體體積公式等知識求得正確答案.

【詳解】因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是（og,故當(dāng)。時，C3與所成角最大，

因?yàn)樗倪呅?8c。是矩形，所以4B_LAD,

而48cC'B=8,/8,C'8u平面/3U,所以4D_L平面,

因?yàn)?C'u平面4BU,所以AD_L4C，，

在直角三角形4DC'中，AD=1,CD=2,AC—V3,

而BC'=1,AB=2,BC'2+AC'2=AB2,所以BC1AC,

所以%加=%ABC=-AD=-x-xlxV3x1=—.

C-ADUU-3AZIDC326

故選：A

A

答案第3頁，共17頁

【點(diǎn)睛】異面直線所成角的范圍是［og,當(dāng)兩條直線所成角為o時，兩直線平行或重合.求解

錐體體積的問題，可以考慮利用轉(zhuǎn)換定點(diǎn)的方法，然后利用體積公式廠=來求得三棱錐的

體積.

7.D

【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡已知等式可得cos(2(T+a)=cos(40。-0+85(40。+戊)，

再利用兩角和差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡可得tan。=c°s/u,繼而利

sin20

用三角恒等變換，化簡求值，即得答案.

【詳解】由題意知，cos(1400-cr)+sin(110o+^)=sin(130°-?)

即-cos(40°+a)+cos(20°+a)=cos(40°一a),

故cos(20。+a)=cos(40。-a)+cos(40。+a),

即cos20°cosa-sin20°sina-2cos40°cosa,

故cos20°cosa-2cos40°cosa=sin20°sina,

即tana_s^ntz_cos20°-2cos40°_cos(300-10°)-2cos(300+10°)

cosasin20°sin20°

由3.

「丁oslOo+^smlO。一百5訶10。-30。)_-V3sin20°_出,

_sin20°―sin20°~sin20°-

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩角和差的公式化簡得出

tana的表達(dá)式之后，要利用拆角的方法，繼而結(jié)合三角恒等變換公式，化簡求值即可.

8.C

【分析】將題干中的不等式變形為叱4依+6-2e)lnx+e,由題意可知直線歹=辦+b恒

XX

位于函數(shù)"》)=叱圖象的上方，函數(shù)g(x)=(e、2e，nx+e的圖象的下方,方代表直線

xX

y=ax+b在了軸上的截距，當(dāng)直線變化時觀察得當(dāng)直線過且與曲線＞=膽相切時，

X

6最小，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(無。，皿］,求出豌的值，即可得出b的最小值.

【詳解】令/(x)=皿，其中貝=t"，

xex

答案第4頁，共17頁

當(dāng)，<x<e時，H(x)〉O,則函數(shù)在1,e上單調(diào)遞增，且/(1)=0,

22

令g(.叵2上，貝1M切=^2e-e）lnx+e-3e

2

Xx

因?yàn)楹瘮?shù)V=(2e-e2)lnx+e2-3e在-,e上單調(diào)遞增，

gfQ^=e2(2e2-5e)>0,g\e)=--<0,

所以，存在x()eg,e],使得父(%)=0,

當(dāng):<x</時，g,(x)>0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)Xo<x<e時，g,(x)<0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，如下圖所示:

直線V=ax+b恒位于了=/(x)的圖象上方，y=g(x)的圖象下方,

b代表直線y=ax+b在y軸上的截距，當(dāng)直線變化時觀察得當(dāng)直線過M(e,e-1)且與曲線

夕=.相切時，6最小.

ke+l

設(shè)切點(diǎn)為七,，則/gl-lnx0,

%一e片

整理可得—+xo-（2xo-e）lnxo-e=O,

令〃（％）=（e-l）%2+%-（2x-e）lnx-e,貝！JA（l）=0,

=2（e-l）x+1-2（1+lnx）+—=2（e-l）x+--（1+2Inx）,

答案第5頁，共17頁

[e/-----------

而當(dāng)—,e時，2(e—1)XH—22j2e(e—1)>3,l+21nx<3,

_e_x

所以，2(e-l)x+—-(l+21nx)>0,

所以當(dāng)無e1,e時，/?'(x)>0,則函數(shù)A(x)在1,e上單調(diào)遞增，

所以〃(x)有唯一的零點(diǎn)1,

所以％=1,此時直線方程為N=x-1,故%.=7.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵在于將不等

式變形為皿v"+6-2e)Inx+e,通過作出圖象，找出直線y=公+b與函數(shù)y=皿相

切時，6最小，然后利用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解.

9.BD

【分析】根據(jù)空集的定義判斷A,根據(jù)集合元素的特征判斷B,根據(jù)所給函數(shù)解析式判斷C,

將函數(shù)寫成分段函數(shù)、再分析函數(shù)在各段的單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】對于A：0[{0}或0{0},故A錯誤；

對于B：{x|%=2幾,〃￡Z}=—6,—4,—2,0,2,4,6,8,…},

又吃EZ,令士=keZ,所以x=2左，左eZ,

22

即“替21={小=2匕左用={…，一6,-4,-2,0,2,4,6,8,…},

所以{x|x=2"…Z}=，x,故B正確；

對于C：因?yàn)?'(x)/xe/，所以/(X)的值域?yàn)閧0,1},故C錯誤；

對于D：仆)=小|=卜產(chǎn)：，

[-X,x<0

因?yàn)椤?在[0,+8)上單調(diào)遞增，y=在(-8,0)上單調(diào)遞增，

且/(X)為連續(xù)函數(shù)，所以/(X)在R上單調(diào)遞增，故D正確；

故選：BD

答案第6頁，共17頁

10.ACD

【分析】令〃x)=等求得巧,巧,今根據(jù)忸C|-|/同=5求得4,根據(jù)/■[])=()求得/'(X)

的解析式，再逐項(xiàng)驗(yàn)證BCD選項(xiàng).

sin((yx+e)=[得，0》+夕=1"+2加或0》+0=1+2版

【詳解】令f(x)=k￡Z,

_兀兀2,71

由圖可知：o)xA+(p=—+2kn,—+2E+2兀，a)xB+(p=------I-2H,

所以忸q=Xc-XB=-1"+2兀

\AB\=XB-XA=L]

CO3

所以方=忸。|-|/叫=：.,+2臼，所以。=4,故A選項(xiàng)正確,

所以/(x)=sin(4x+0),由/=0得sin1-/+4=0,

兀一

所以一§+夕=兀+2kit,k￡Z,

_471

所以°=}-+2E,kWZ,

.\.4兀C7)4TI.兀

所以/(%)=sin4x+——+2左兀=sin44r+——=一sin4r+—

I3JI3JI3j

當(dāng)、,，/兀時兀)'?4,X+兀3e[，5J兀^八21l+3兀]、,

因?yàn)閥=-sin,在兀+3為減函數(shù)，故/(x)在[胃]上單調(diào)遞減，故C正確；

將函數(shù)/(x)的圖象沿x軸平移夕個單位得g(x)=-sin〔4x+M),("。時向右平移，6>0時

向左平移),

g(x)為偶函數(shù)得40+三=]+析，keZ,

所以。=或+牛，k右工,則冏的最小值為盤，故D正確.

故選：ACD.

11.ACD

【分析】由條件①結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可設(shè)A2=lnx+C,再由條件②，求得"x)=xlnx-x,

X

選項(xiàng)A,B易判斷；對C,構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-x+e=xlnx-2x+e,利用導(dǎo)數(shù)證明g(x)20

即可；對D,利用導(dǎo)數(shù)判斷極值點(diǎn)飛的范圍，即可得證.

【詳解】：Vxe(0,+oo)恒有礦(x)-/(x)=x,

答案第7頁，共17頁

.(/(x)]=切'(x)—/(x)=1

VxJx2x

，可設(shè)△D=lnx+C(其中C為常數(shù))，

X

又對任意的正數(shù)冽，〃恒有f(jnn)=nf(m)+mf(n)+mn,

，對任意的正數(shù)機(jī)，"恒有3=9+.+1,

mnmn

In(加〃)+C=lnm+C+lnzz+C+l,

C=-l,

./(x)=in%—],即/(x)=xlnx-x,

x

對于A,由上式可得故A正確；

對于B,/'(x)=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(%，/(%))，則切線斜率為左=In%,

In%'⑻=%山/%,化簡得eln%=%,解/=e,

x0-ex0-e

所以點(diǎn)(eJ(e))就是切點(diǎn)，所以切線方程為歹='-e,故B錯誤；

對于C,々g(x)=/(x)-x+e=xlnx-2x+e,x>0,則g'(x)=lnx-l,

令g'(x)〉O，可得%>e,g'(x)<0,可得0<x<e,

所以函數(shù)g(x)在(O,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，

/.g(x)>g(e)=elne-2e+e=0,所以/(x)2x—e,對Vxw(0,+oo)恒成立,故C正確;

對于D,p(x)=f(x)+x2=x\nx-x+x2,=Inx+2x,

i7

???P'(X)在(o,+8)上單調(diào)遞增,Kye)=-i+-<o,y(i)=2>o,

ee

所以比eB,1]使p(x)在(O,xo)上單調(diào)遞減,p(x)在(x。,+s)上單調(diào)遞增，

，X=x。為函數(shù)p(x)的極小值點(diǎn)且滿足lnXo+2%=0,x0,

/(xo)+3x0=xolnxo+2x0=-2xg+2x0=2x0(l-x0)>0,故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，難度較大.首先分析條件①，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

答案第8頁，共17頁

得尤),可設(shè)_=inx+C,再由條件②，代入運(yùn)算求得/'(x)=xlnx-x,

再根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識可依次判斷各個選項(xiàng)得解.

12.4鳳皿

3

【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的幾何意義，得到復(fù)數(shù)z表示以C(0.4)為圓心，以2為半徑的圓C

的圓面，過原點(diǎn)。作圓。的切線，切點(diǎn)為45,結(jié)合三角形和扇形的面積公式，即可求解.

【詳解】因?yàn)閨z-4i|￡2,

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)z表示以C(0,4)為圓心，以2為半徑的圓C的圓面，

如圖所示，過原點(diǎn)。作圓。的切線，切點(diǎn)為48,

在直角△08C中，可得|。。=4,忸。=2,所以NOC8=],且|。同=26,

兀

所以N/C8=手2，

所以復(fù)數(shù)向量應(yīng)掃過的面積為S=2xgx2百x2+g-(2兀一金戶22=4百+號.

【分析】將題意轉(zhuǎn)化為求曲線上一點(diǎn)到距離最小值，通過求導(dǎo)求出點(diǎn)(1,1)符合題意,

進(jìn)而求出答案.

即求曲線y=/-31nx上一點(diǎn)至距離最小值,

又因?yàn)樵谥本€夕=一》上，

所以當(dāng)曲線與直線歹=-％平行時，距離取得最小值，

答案第9頁，共17頁

33

令y'=2x--=-1,解得％=1或1=一一(舍去)，

x2

當(dāng)X=1時，點(diǎn)(1,1)到直線x+y=o距離為及,

即所求曲線y=x?-31nx上一點(diǎn)到距離最小值為0.

故答案為：V2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.關(guān)鍵點(diǎn)在于將所求式子進(jìn)行化簡，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為距離

問題，通過導(dǎo)數(shù)研究曲線即可.本題考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、計(jì)算能力，屬于中檔題.

14.巫##!而

22

【分析】作■，直線4W于點(diǎn)石，連接則翻折后。,設(shè)NDAH=0,由|。/|=2,

得0M=2sin。，M*=2COS9,設(shè)|/P|=X,則xe[O,1],根據(jù)條件得到

|P￡>,|2=x2-4cos6?cos(^-0)x+4cos20+4sin20,然后求出線段P。長度的最小值.

【詳解】作。H_L直線4W于點(diǎn)H,連接則翻折后。

?.?平面平面48C,為兩平面的交線,

D'H1平面ABC,\PD'\=+|產(chǎn)葉.

設(shè)由|。4|=2,得pM=2sin。，\AH\=2coi0,

設(shè)[4?|=x,則xe[0,1].

27r

由MC|=|CD|==2知"CD為正三角形，則ABAD=y,

2冗

：.ABAM=—-0,在AP/X中，忸叫2=|么?「+|/叫2-2|4尸卜|/叫＜0$/尸/石，

BP\PH^=x2-4cos0cos(-^--0)x+4cos23,

答案第10頁，共17頁

/.\PD^=x2-4cos^cos(-^--^)x+4cos20+4sin20,

記￡=2cosecos(T-。)，貝"PZ>]=(x-/)2+4-Z2,

由/=2cos9cos(---0)=sin(2e---)——0<^?—,—1</?—,3^x￡[。，1],

36232

.?.若-l<t<0,則當(dāng)x=0時，(|尸川％n=4；

若0,,4,g，則當(dāng)x=f時，(也丫濡=4"4-1?，

，(也鼠=半?

故答案為：姮.

2

15.(1)|

4

(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為§

【分析】（1）分甲乙全勝兩種情況相加得結(jié)果;

（2）利用分布列步驟求解并求得期望.

【詳解】（1）甲3局全勝的概率為=

乙3局全勝的概率為￡=|x1x|=^,

O11

???進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率為尸=白+卷=：

27273

（2）X的可能取值為1,2,

尸(X=l)=g，

12111

尸(X=2)=—x--F—x

33333

故X的分布列為:

14

x—=—

33

16.⑴。=5,6=-2

（2）證明見解析

答案第11頁，共17頁

【分析】(1)根據(jù)切線方程，求得切點(diǎn)與切線斜率，建立方程，可得答案；

(2)由(1)寫出函數(shù)解析式，化簡整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求

得最值，可得答案.

【詳解】(1)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?O,+8)J'(x)=：+。.

將x=l代入V=6x-3,解得y=3,即/⑴=3,

由切線方程＞=6X-3,則切線斜率/⑴=6.

Q+Z?=3,l+a=6,角星a=5,b=—2.

(2)證明：由(1)知/(x)=lnx+5x-2,

33

從而f(x)>一^―等價于xh\x>—5x24-2x——.

設(shè)函數(shù)g(%)=xlnx,則g'(x)=l+lnx.

所以當(dāng)時，g'(x)<0,當(dāng)xe［：,+oo|時，g'(x)>0.

故g(x)在(0,J上單調(diào)遞減，在g,+6上單調(diào)遞增，

從而g(x)在(0,+句上的最小值為d=-1

設(shè)函數(shù)“(x)=—5工2+2x-g=-51x-g1一g,

從而在(0,+(?)上的最大值為//(J=-1<一：

故g(x)>〃(x),ap/(x)>-—.

17.(1)證明見解析

⑵乎

【分析】(1)根據(jù)題意證明ON上面得到再結(jié)合線面垂直的判定定理得證;

(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的空間向量計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)連接4M,OM,MN,PN,

因?yàn)橐来问堑酌嫒锷系膬蓚€三等分點(diǎn)，

所以四邊形0Ams是菱形，設(shè)MBcON=Q,則。為ON中點(diǎn)，且

又因?yàn)镺P=ON,/PON=60。,故AO/W是等邊三角形，

答案第12頁，共17頁

連接尸。，則ON，尸。，

又因?yàn)镸B,尸。u面PMB,MBcPQ=Q,所以。以_1_面尸〃5,

因?yàn)椤?u面尸"3,所以O(shè)N_LP3,

因?yàn)镸,N依次是底面蕊上的兩個三等分點(diǎn)，所以O(shè)N"AM,所以尸2,

又因?yàn)锳B是半球。的直徑，P是半球面上一點(diǎn)，所以

因?yàn)?W,尸/u面尸,AMr\PA=A,所以尸8_L面尸4W,

又因?yàn)镻Mu面P/M,所以尸

(2)因?yàn)辄c(diǎn)尸在底面圓上的射影為ON中點(diǎn)，

所以尸。1面/Affi,

因?yàn)?M0Nu面/〃5,所以尸

又因?yàn)镼MLQN,

所以P(0,0,6),M(6,0,0),網(wǎng)-力,0,0),，(省,-2,0),

所以同7=(Ji,o,PA屈=(26，一2,0)

設(shè)平面尸/B的法向量五=(x,y,z),

n-PA=A/3X—2y-mz=0

則I_廣，令X=1則方=(1,石,-1,

n-BA=2s/3x-2y=0

設(shè)直線9與平面PN8所成角為《owew5

則sineTeos兩詞=I1=>3L=—

11\PM\-\n\V6xV55

所以直線9與平面P/B所成角的正弦值為巫

5

18.(1)證明見解析

(2)0

答案第13頁，共17頁

（3）存在加=；

【分析】（1）設(shè)￡（%,%）,/（占,必）,8（尤2,%），由題意可證得點(diǎn)/，2都在直線等-%>=1上,

直線/過點(diǎn)"（4,0）,可得%=1,即可證明點(diǎn)E恒在定直線￡:x=l上.

1+42

（2）法一：設(shè)N0,%）,由福=彳疝可得<1+”,將其帶入雙曲線方程可得

乂=人

,11+4

12儲一4*一3=0,同理可得12〃2一44-3=0,由根與系數(shù)的關(guān)系可得4+〃=0.

法二：由題意知，設(shè)/的方程：了=左（尤-4）,聯(lián)立直線與雙曲線的方程，設(shè)N（l,%）,由麗=彳疝

可得力=口，同理〃=匕弓，將韋達(dá)定理代入幾+〃即可得出答案.

七一4x2-4

2

（3）設(shè)/:x=7+4,與。：?一/=1聯(lián)立，設(shè)尸（1,乂）,。0,力），表示出席邑,邑，將韋達(dá)定理

代入化簡即可得出答案.

【詳解】（1）證明：設(shè)￡（后,%）,“（為,必）,8（孫力），

由題意得：切線及4的方程為：子-“丁=1,將點(diǎn)E帶入得：牛-%%=1,

同理可得：牛-%為=1，易知點(diǎn)/,2都在直線學(xué)-為了=1上，

所以直線/的方程為：與-%>=1,

因?yàn)橹本€/過點(diǎn)M（4,0）,所以%=1,

所以點(diǎn)E恒在定直線￡:尤=1上.

（2）法一：設(shè)N0,%）,因?yàn)榫?4疝，所以J*“x；4）

I=肛，

1+4A

X,=-----.

11+Z

整理得

弘…，

,11+A

<1+42

因?yàn)辄c(diǎn)/（演,必）在雙曲線上，所以11+4

4

整理得12分一44-3=0,

同理可得12"一44-3=0,

答案第14頁，共17頁

所以，彳,〃是關(guān)于X的方程12/-4*-3=0的兩個實(shí)根，

所以;1+〃=0.

法二：由題意知，/的斜率存在，設(shè)/的方程：>=斤（》-4）,

y=左（無一4）

22

聯(lián)立X?得：（1一4后2）工2+32左2》一（64左2+4）=0,A=(32k)+4(1-41)(6442+4)>0

=1

32k264左2+4

所以%+X2=必2_］，卒2_4左2_1

____]—%

設(shè)N0,%）,因?yàn)辂?4忘，所以1一再=彳（占一4）,所以力=不遂

同理M=

x2-4

-,c1—Xi1—-2XJX+5(項(xiàng)+%)-8

所以"〃二十二2

x{x2-4(%j+X2)+16

—128左2—8+160左2_32左2+8八

---------------------------。

64左2+4—128左2+64左2—16

(3)設(shè)/:x=W+4,與0：?—>/=1聯(lián)立得:

,2_4/2+8川+12=0,

St12

%+%=一吃,必力=「

因?yàn)橹本€L的方程為x=l,所以尸（1,乂）