2018-2019學(xué)年重慶市區(qū)縣高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）已知向量”=（2,3）,6=（加,4）,若共線，則實(shí)數(shù)，〃=（）

QQ

A.-6B.--C.-D.6

33

2.（5分）已知a,beR,若關(guān)于x的不等式V+辦+/?<0的解集為（1,3）,則〃+6=（

）

A.-7B.-1C.ID.7

3.（5分）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且邑=4,S&=16,則%+%=（）

A.11B.16C.20D.28

4.（5分）某高中三個(gè)年級(jí)共有3000名學(xué)生，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從高一、高二、高三

年級(jí)的全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為30的樣本進(jìn)行視力健康檢查，若抽到的高一年級(jí)學(xué)生人

數(shù)與高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比為3:2,抽到高三年級(jí)學(xué)生10人，則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為（

）

A.600B.800C.1000D.1200

5.（5分）已知變量x,y的取值如表：

X12345

y1015304550

由散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān)，且求得回歸直線的方程為5=以-3,據(jù)此可預(yù)測(cè)：當(dāng)

x=8時(shí)，y的值約為（）

A.63B.74C.85D.96

6.（5分）已知非零實(shí)數(shù)a,。滿足a>力，則下列不等關(guān)系一定成立的是（）

A.—<—B.ab>a+b

ab

C.a2>b2D.+ab2>a2b+b3

7.（5分）在AA5c中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若4=工，a=5,c=4,

4

則滿足條件的的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.無(wú)數(shù)多個(gè)

8.（5分）己知等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，若邑=3,S6=-21,則6=（）

A.-2C.1D.2

9.（5分）某校統(tǒng)計(jì)了1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)，已知這1000名學(xué)生的成績(jī)均在50

分到150分之間，其頻率分布直方圖如圖所示，則這1000名學(xué)生中成績(jī)?cè)?30分以上的人

10.（5分）在AA8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,已知2a—b=2ccosB,

則角C的大小為（）

A冗27r5乃

A.—D.

6"IT~6

,則一!一+2的最小值為（

11.(5分)己知。>一1,b>09。+26=1：)

a+\b

A.2B.2

C.7D.9

22

12.(5分）已知九，從wR,AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足

)

C

cos—

D._2

B

cos—

2

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.（5分）關(guān)于x的不等式空%>0的解集為.

X

14.（5分）甲、乙兩人要到某地參加活動(dòng)，他們都隨機(jī)從火車、汽車、飛機(jī)三種交通工具

中選擇一種，則他們選擇相同交通工具的概率為

15.（5分）當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，點(diǎn)P（-2,-l）到直線/:（a-l）x+y+l-2a=0的距離的最大值為

16.（5分）在418。中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為，b,c,若AA8C的面積為^bccosA,

6

則cosB+sinC的最大值為

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）學(xué)生會(huì)6名同學(xué)，其中4名男同學(xué)2名女同學(xué).現(xiàn)要從中隨機(jī)選出2名代表發(fā)

言.求：

（1）A同學(xué)被選中的概率是多少？

（2）至少有1名女同學(xué)被選中的概率是多少？

18.（12分）設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為S“，S,=7,a2+al2=8.

（1）求明;

（2）設(shè)〃=2%,求數(shù)列｛6,,｝的前〃項(xiàng)和7；.

19.（12分）近年來(lái)，某地大力發(fā)展文化旅游創(chuàng)意產(chǎn)業(yè)創(chuàng)意維護(hù)一處古寨，幾年來(lái)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，

古寨的使用年限x（年）和所支出的維護(hù)費(fèi)用y（萬(wàn)元）的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，根據(jù)以往資

料顯示y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系

.維護(hù)費(fèi)用了（萬(wàn)元）

（1）求出y關(guān)于x的回歸直線方程勺=晟+4；

（2）試根據(jù)（1）中求出的回歸方程，預(yù)測(cè)使用年限至少為幾年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用將超過(guò)10萬(wàn)

元？

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（5，%）,（當(dāng)，y2）,（x?,y“），其回歸方程，=最+&的斜

〉，一時(shí)

率和截距的最小二乘估計(jì)分別為3=三--------,a=y-bx.

工岑一心_

20.（12分）如圖，在乙48。中，ZABC=90°,。為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD=2&,BD=娓,

sinZADB=-

3

(1)求4?的長(zhǎng)度；

(2)求MBC的面積.

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，AA8C的頂點(diǎn)A(-l,3)、8(3,-4),邊AC上的高線所在

的直線方程為2x+3y+6=0,邊BC上的中線所在的直線方程為2x+3y-7=0.

(1)求點(diǎn)B到直線AC的距離；

(2)求A48C的面積.

22.(12分)已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為a?

+l2+3%,,

(1)證明：數(shù)列3"｝為等比數(shù)列;

an

(2)證明：S?＜一/—.

2(V6-1)

2018-2019學(xué)年重慶市區(qū)縣高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知向量〃=(2,3),b=(/n,4),若a,匕共線，則實(shí)數(shù)加=()

QQ

A.-6B.--C.-D.6

33

【解答】解：向量。=(2,3),匕=(九4),a,。共線，

/n_4

—=一,

23

解得實(shí)數(shù)，"=?.

3

故選：C.

2.(5分)已知a,b￡R,若關(guān)于x的不等式f+雙+/?<0的解集為(1,3),貝"〃+/?=(

)

A.-7B.-1C.1D.7

【解答】解：由已知及韋達(dá)定理可得，-。=1+3,/?=1x3,

即a=-4,b=39

所以。+力=一1.

故選：B.

3.(5分)已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S”，且S2=4,S4=16,則〃5+4=()

A.11B.16C.20D.28

【解答】解：｛4｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S〃，「.S2，S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列，

2(S4—S2)=S2+(S6—S4)f

又S？=4,S4=16,24=4+S6—S4=+4,a5+a6=20.

故選：C.

4.(5分)某高中三個(gè)年級(jí)共有3000名學(xué)生，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從高一、高二、高三

年級(jí)的全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為30的樣本進(jìn)行視力健康檢查，若抽到的高一年級(jí)學(xué)生人

數(shù)與高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比為3：2,抽到高三年級(jí)學(xué)生10人，則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為(

)

A.600B.800C.1000D.1200

【解答】解：根據(jù)題意可設(shè)抽到高一和高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)分別為女和2%,則

3左+2%+10=30,

即％=4,

所以高一年級(jí)和高二年級(jí)抽到的人數(shù)分別是12人和8人，

則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為3000X—=800A.

30

故選：B.

5.（5分）已知變量x,y的取值如表:

Xi2345

y1015304550

由散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān)，且求得回歸直線的方程為￡=晟-3,據(jù)此可預(yù)測(cè)：當(dāng)

x=8時(shí)，y的值約為（）

A.63B.74C.85D.96

【解答】解：元J+2+3+4+510+15+30+45+50.

=3,y=----------------------------=30?

55

故樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)為（3,30）,

代入f=gx-3,得)=3。；3=11.

y=llx-3,取x=8,得5=11x8-3=85.

故選：C.

6.（5分）已知非零實(shí)數(shù)〃，b滿足。>6,則下列不等關(guān)系一定成立的是（）

A.—<—B.ab>a+b

ab

C.a2>b1D.a3+ab2>a2b+b3

【解答】解：由已知〃2+〃2>。且〃〉匕,

所以+b2)>b(a2+b2),

即a3+ab2>a2b+b3.

故選：D.

7.(5分)在A48C中，角A,3,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A=%,〃=5,c=4,

4

則滿足條件的AABC的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.無(wú)數(shù)多個(gè)

【解答】解：A=工，。=5,c=4,

4

由余弦定理/="2+0?-2〃ccosA,可得：25=/+16-2xbx4x,可得：

2

〃一4后一9=0,（*）

.?.由△=廿-4的=68>0,且兩根之和為正、兩根之積為負(fù)數(shù),

方程（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，即有一個(gè)邊6滿足題中的條件，

由此可得滿足條件的&4BC有一個(gè)解.

故選：B.

8.（5分）已知等比數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，若邑=3,S6=-21,則4=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【解答】解：等比數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S"，S3=3,S$=-21,

f

「X_q

qG?6）

5fe='"=-21

,i-q

解得q=l,q=—2.

故選：C.

9.（5分）某校統(tǒng)計(jì)了1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)，已知這1000名學(xué)生的成績(jī)均在50

分到150分之間，其頻率分布直方圖如圖所示，則這1000名學(xué)生中成績(jī)?cè)?30分以上的人

數(shù)為（）

A.10B.20C.40D.60

【解答】解：由頻率分布直方圖得：

這1000名學(xué)生中成績(jī)?cè)?30分以上的頻率為：

1-（0.006+0.014+0.02+0.008）x20=0.04,

則這1000名學(xué)生中成績(jī)?cè)?30分以上的人數(shù)為1000x0.04=40人.

故選：C.

10.（5分）在&4BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知=2ccosB,

則角C的大小為（）

A.-B.-C.—D.—

6336

【解答】解：在AA8C中，2ccosB=2a-b,

,由余弦定理可得：2cxa2+c2~b2=2a-b,

ci~+h~-c~—cih,

=—,

又C￡（0,乃），

故選：B.

I7

11.(5分)已知。>—1,b>0,。+26=1,則——+—的最小值為(

4+1b

【解答］解：a>-l；

/.+1>0,且匕>0,a+2b=\；

a+1+28=2；

__12、/ic,、/12、i2b23+1：…2b2(67+1)

：.2(----+-)=(a+1+2b)(-----+—)=1+-----+-------卜q..°+------------=9,當(dāng)且僅

當(dāng)。+1=人=2時(shí)等號(hào)成立;

3

129

----1—..—

+162

L+2的最小值為2

+1b2

故選：B.

12.（5分）已知4,,\ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足

不LA珞*。廣一,則變1=(

〃c4c)

|CP|

,BB.cC

sin—cos—sin—cos—

A.—工B.2c.—ZD._2

.cC,BB

sin—cos—sin—cos—

2

A8BC

【解答】解：由'\AB\+iBC\方向?yàn)镹ABC外角平分線方向,

所以點(diǎn)P在NA8C的外角平分線上，

同理，點(diǎn)尸在NACB的外角平分線上，

22

在△尸BC中，由正弦定理得：

C

\BP\sinZPCBcos2

icP\~sinZPBC~CQSB*

2

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.（5分）關(guān)于x的不等式之里＞0的解集為—（To,-1）（0,+oo）

【解答】解：包里＞0同解于

X

2x+\>0-f2x+l<0

x>0或x<0

解得或x＞0

2

故答案為：（-00,--）（0,+oo）

14.（5分）甲、乙兩人要到某地參加活動(dòng)，他們都隨機(jī)從火車、汽車、飛機(jī)三種交通工具

中選擇一種，則他們選擇相同交通工具的概率為_g_.

【解答】解：甲、乙兩人選擇交通工具總的選擇有3x3=9種，他們選擇相同交通工具有3

種情況,

所以他們選擇相同交通工具的概率為3=L

93

故答案為：

3

15.（5分）當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，點(diǎn)尸（-2,-1）到直線/:（a-l）x+y+l-2a=0的距離的最大值為

2垂)

【解答】解：由直線/:(a-l)x+y+1-2a=0,得a(x-2)-x+y+l=0,

x-2=0,解得[=2

聯(lián)立

一x+y+1=0[y=l

直線/恒過(guò)定點(diǎn)（2,1）,

P到直線/的最大距離d=7（-2-2）2+（-1-1）2=2石.

故答案為：2石.

16.(5分)在AA8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為，b,c,若A4BC的面積為±AcosA,

6

則cosB+sinC的最大值為—&_

【解答】解：A/18C中，若A4BC的面積為Y^bccosA=sinA,tanA=且，：.A=2.

6236

則

cosB+sinC=cosB+sin(A+B)=cosB+sin(—+B)=cosB+—cosB+^^sinB=

622

當(dāng)且僅當(dāng)B=￥時(shí)，取等號(hào)，故cosB+sinC的最大值為有，

6

故答案為：6.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）學(xué)生會(huì)6名同學(xué)，其中4名男同學(xué)2名女同學(xué).現(xiàn)要從中隨機(jī)選出2名代表發(fā)

言.求：

（1）A同學(xué)被選中的概率是多少？

（2）至少有1名女同學(xué)被選中的概率是多少？

【解答】解：（1）所有的選法有C；種，A同學(xué)被選中的方法有CC種，故A同學(xué)被選中

的概率是

G23

（2）所有的選法有C：種，至少有1名女同學(xué)包括兩種情況：1個(gè)男同學(xué)與1個(gè)女同學(xué)，2

個(gè)女同學(xué)，

這兩種情況分別有c；&和仁種選法，

故至少有1名女同學(xué)被選中的概率是「=型上生=3.

2

C65

18.（12分）設(shè)等差數(shù)列｛《｝的前"項(xiàng)和為S”,S7=7,a2+al2=8.

（1）求明;

（2）設(shè)2,=2%,求數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和7；.

（解答］解：（1）a2+a12=8a,=4S7=，7=7

/.=—24-n—1=/?-3；

fl

(2)atl=n-3,bn-2"

n3

:.btl=2-

-（1-2"-'）

則小氣才-1)?

19.（12分）近年來(lái)，某地大力發(fā)展文化旅游創(chuàng)意產(chǎn)業(yè)創(chuàng)意維護(hù)一處古寨，幾年來(lái)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，

古寨的使用年限x（年）和所支出的維護(hù)費(fèi)用y（萬(wàn)元）的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，根據(jù)以往資

料顯示y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系

（1）求出y關(guān)于x的回歸直線方程9=最+3

（2）試根據(jù)（1）中求出的回歸方程，預(yù)測(cè)使用年限至少為幾年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用將超過(guò)10萬(wàn)

元？

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（當(dāng)，y,）,（x2,y2）,（x?,y“），其回歸方程9=邑:+?的斜

ZE-討

率和截距的最小二乘估計(jì)分別為石=得--------,a=y-bx.

之七2一戒2

【解答】解：(1)元==45,2.5+3+4+4.5

3+4+5+6=3.5，

4y=4

；3x2.5+4x3+5x44-6x4.5-4x4.5x3.5.

b=--------；---：---------------；-------=0.7,

3~+4+5~+6-4x45

=3.5-0.7x4.5=0.35.

故線性回歸方程為y=0.7x+0.35；

(2)由夕=0.7x+0.35>10,解得x>13〃.

14

故使用年限至少為14年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用將超過(guò)10萬(wàn)元.

20.(12分)如圖，在A4BC中，ZABC=90°,。為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD=2&,BD=46,

smZADB^-.

3

(1)求A8的長(zhǎng)度;

(2)求AA8C的面積.

在MBD中，由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosD

=12+6-2X26XGX」-=2,則48=應(yīng)；

3

AB2+AD2-BD22+12-6_76

(2)在AABZ)中,co