第10講一元二次方程的解法-根的判別式2.2【學習目標】1.會用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況；2.由方程根的情況能確定方程中待定系數(shù)的取值范圍?！净A知識】1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；（2）當△=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.要點：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計算的值；④根據(jù)的符號判定方程根的情況.2.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根=0；（3）方程沒有實數(shù)根﹤0.要點：（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數(shù)不為0這一條件；（2）若一元二次方程有兩個實數(shù)根則≥0.【考點剖析】考點1：根據(jù)一元二次方程根的判別式符號判斷根的情況例1．下列一元二次方程沒有實數(shù)根的是（

）A．x2-2=0 B．x2-2x=0 C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=0【答案】C【分析】分別計算四個方程的根的判別式Δ＝b2﹣4ac，然后根據(jù)△的意義分別判斷方程根的情況．【解析】解：A、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以A選項不符合題意；B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，B選項不符合題意；C、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程有沒有的實數(shù)根，所以C選項符合題意；D、由原方程得到：x2﹣4x+3＝0，則Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以D選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．例2．一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．無實數(shù)根【答案】D【分析】先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義進行判斷．【解析】解：∵，∴方程沒有實數(shù)根．故選：D．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．例3．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判別式的值為（

）A．17 B．1 C．－1 D．－17【答案】A【分析】找出方程a，b，c的值，代入b2-4ac中計算即可．【解析】解：一元二次方程x2-3x-2=0，∵a=1，b=-3，c=-2，∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17．故選：A．【點睛】此題考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b2-4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根；當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，反之也成立．例4．方程的根的判別式Δ＝_____，其根的情況_____．【答案】

12

有兩個不相等的實數(shù)根【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，即可求出，再利用“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”即可得出方程有兩個不相等的實數(shù)根．【解析】解：，，，，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故答案為：12；有兩個不相等的實數(shù)根．【點睛】本題考查了根的判別式的相關性質，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關鍵．考點2：根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)范圍（任何有關一元二次方程的題養(yǎng)成a≠0的解題素養(yǎng)）例5．若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式列出不等式求解即可．【解析】由題意得：解得：且故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟記根的判別式是解題關鍵．對于一般形式有：（1）當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當時，方程沒有實數(shù)根．例6．關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0無實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1【答案】D【分析】利用判別式的意義得到Δ=（-2）2-4m＜0，然后解不等式即可．【解析】解：根據(jù)題意得Δ=（-2）2-4m＜0，解得m＞1．故選D．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當Δ=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．例7．若關于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3＝3y+4有實根，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞且k≠0【答案】B【分析】用一元二次方程的根的判別式大于0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍．【解析】解：整理方程得：ky2-7y-7=0，由題意知：Δ=b2-4ac=49+28k≥0，且k≠0，∴k≥-且k≠0．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用．切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件．例8．已知關于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根的條件：二次項系數(shù)不為0，根的判別式大于等于0；即可進行解答．【解析】解：∵關于的一元二次方程有實數(shù)根，∴，解得：且．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程有實數(shù)根的情況，熟練地掌握根的判別式在不同情況下根的情況是解題的關鍵．當時，一元二次方程有實數(shù)根；否則，無實數(shù)根．例9．已知x2-x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是_____．【答案】m<3【分析】根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，則Δ>0，即(-2)2-4m>0，求解即可．【解析】解：∵x-x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ=(-2)2-4m>0解得：m<3，故答案為:m<3．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握“當方程有兩個不相等的實數(shù)根，Δ>0；當方程有兩個相等的實數(shù)根，Δ=0；當方程沒有實數(shù)根，Δ<0”是解題的關鍵．例10．已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，那么m的值為_______．【答案】2或##或2【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根得到Δ=0，求出m的值即可．【解析】∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根．∴．解得．故答案為：2或．【點睛】此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．例11．如果關于的方程有兩個實數(shù)根，那么滿足______________【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可得．【解析】解：由題意得：此方程根的判別式，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．例12．已知關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則可取的最大整數(shù)是______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，然后求出兩不等式的公共部分，最后解得可取的最大整數(shù)．【解析】解：已知關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，且，∵，，，∴，即，解得且，∴其中可取的最大整數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．本題中二次項系數(shù)不為零是易錯點．例13．已知關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是__________．【答案】m＜且m≠0【分析】根據(jù)判別式△＞0時一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根求解不等式即可．【解析】解：∵關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴△=（2m-3）2-4m（-2+m）=-4m+9＞0，且m≠0，解得：m＜且m≠0，故答案為：m＜且m≠0．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式、解一元一次不等式，熟練掌握一元二次方程根與判別式的關系是解答的關鍵，注意二次項系數(shù)不為0．例14．已知實數(shù)k，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人對關于x的方程kx2-（k+2）x+k=0進行了討論：甲說：這一定是關于x的一元二次方程；乙說：這有可能是關于x的一元一次方程；丙說：當k≥-1時，該方程有實數(shù)根；丁說：只有當k≥-1且k≠0時，該方程有實數(shù)根．A．甲和丙說的對 B．甲和丁說的對 C．乙和丙說的對 D．乙和丁說的對【答案】C【分析】當k=0時，方程為一元一次方程；當k≠0時，當Δ=（k+2）2-4k?k≥0時，方程有兩個實數(shù)解，解得k≥-1且k≠0，于是可判斷k≥-1時，方程有實數(shù)解，然后對各說法進行判斷．【解析】解：當k=0時，方程化為-2x=0，解得x=0；當k≠0時，當Δ=（k+2）2-4k?k=4k+4≥0時，方程有兩個實數(shù)解，此時k≥-1且k≠0，所以當k≥-1時，方程有實數(shù)解，所以乙和丙的說法正確．故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．考點3：根據(jù)相應條件，衍化變形，邏輯推理，并推斷出結果例15．以下關于一元二次方程的根的說法中，不正確的是（

）A．若c＝0，則方程一定有一根為0；B．若，則方程一定有兩個實數(shù)根；C．若，則方程必有一根為－1；D．若，則方程必有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】B【分析】根據(jù)解一元二次方程的方法，判別式的意義，一元二次方程的解的定義逐項判斷即可．【解析】解：A、若c＝0，則方程為，即，∴方程一定有一根為0，正確，不符合題意；B、若，則方程為，∵，∴只有當ac≤0時，即，方程有兩個實數(shù)根，故原說法錯誤，符合題意；C、將x＝－1代入方程可得：，∴若，則方程必有一根為－1，正確，不符合題意；D、∵ac＜0，∴Δ＝b2?4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0必有兩個不相等的實數(shù)根，正確，不符合題意；故選：B．【點睛】此題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根，Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．例16．對于一元二次方程，下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若c是方程的一個根，則一定有成立；②若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質解決此題．【解析】①當x=1時，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根，此時b2-4ac≥0成立，那么①一定正確．②方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，則-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有兩個不相等的實根，進而推斷出②正確．③由c是方程ax2+bx+c=0的一個根，得ac2+bc+c=0．當c≠0，則ac+b+1=0；當c=0，則ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正確．④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則ax02+bx0+c＝0成立，那么④正確．綜上：正確的有①②④，共3個．故選：A．【點睛】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質，熟練掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質是解決本題的關鍵．考點4：復雜的知根求參（數(shù)）；知參（數(shù)）求根例17．已知a、b、c為常數(shù)，且a（a+b+c）＜0，則一元二次方程ax2﹣bx+c＝0根的情況是（）A．無實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．有兩個實數(shù)根【答案】C【分析】利用已知條件得到4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．【解析】解：∵Δ＝（﹣b）2﹣4ac＝b2﹣4ac，∵a（a+b+c）＜0，∴a2+ab+ac＜0，即a2+ab＜﹣ac，∴4a2+4ab＜﹣4ac，∴4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac，∴b2﹣4ac＞（2a+b）2，即Δ＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．例18．關于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a?b≠0）有兩個相等的實數(shù)根k．（

）A．若﹣1＜a＜1，則 B．若，則0＜a＜1C．若﹣1＜a＜1，則 D．若，則0＜a＜1【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的根的情況利用判別式求得a與b的數(shù)量關系，然后代入方程求k的值，然后結合a的取值范圍和分式加減法運算法則計算求解．【解析】解：∵關于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a?b≠0）有兩個相等的實數(shù)根k，∴Δ＝（2a）2?4a（b＋1）＝0，即：4a(a?b?1)＝0，又∵ab≠0，∴a?b?1＝0，即a＝b＋1，∴ax2＋2ax＋a＝0，解得：x1＝x2＝?1，∴k＝?1，∵＝，∴當?1＜a＜0時，a?1＜0，a（a?1）＞0，此時＞0，即；當0＜a＜1時，a?1＜0，a（a?1）＜0，此時＜0，即；故A、C錯誤；當時，即＞0，＞0，解得：a＞1或a＜0，故B錯誤；當時，即＜0，＜0，解得：0＜a＜1，故D正確故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的情況求得a與b之間的等量關系是解題關鍵．考點5：創(chuàng)新閱讀材料題例19．定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結論正確的是（

）A．a=c B．a=b C．b=c D．【答案】A【分析】因為方程有兩個相等的實數(shù)根，所以根的判別式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化簡即可得到a與c的關系．【解析】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根，∴△=b2?4ac=0，又a+b+c=0，即b=?a?c，代入b2?4ac=0得(?a?c)2?4ac=0，即(a+c)2?4ac=a2+2ac+c2?4ac=a2?2ac+c2=(a?c)2=0，∴a=c，故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式的應用，根據(jù)方程根的情況確定方程中字母系數(shù)之間的關系是解題關鍵．例20．將4個數(shù)a，b，c，d排成2行，2列，兩邊各加一條豎線，記成，并規(guī)定，例如，則的根的情況為（

）A．只有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】C【分析】據(jù)題意，可以將方程轉化為一元二次方程，然后根據(jù)Δ的值，即可判斷根的情況．【解析】解：∵方程，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+3＝0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，∴方程兩個不相等的實數(shù)根，故選：C．【點睛】本題考查根的判別式，解答本題的關鍵是明確題意，會用根的判別式判斷根的情況．考點6：解答證明題例21．已知關于x的方程x（mx﹣4）＝（x+2）（x﹣2）．(1)若方程只有一個根，求m的值并求出此時方程的根；(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的值．【答案】(1)當時，方程的根為；當時，方程的根為(2)且【分析】（1）先去括號，將方程進行化簡為，再分和兩種情況，分別解一元一次方程、利用一元二次方程根的判別式即可得；（2）直接根據(jù)一元二次方程根的判別式大于0即可得．(1)解：方程可化為，分以下兩種情況：①當時，方程為，解得；②當時，方程為關于的一元二次方程，則由一元二次方程根的判別式得：，解得，此時方程為，解得，綜上，當時，方程的根為；當時，方程的根為；(2)解：方程為，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則，解得且．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式等知識點，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．例22．已知關于x的一元二次方程（m為常數(shù)）.（1）如果方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍.（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，求m的值．（3）如果方程沒有實數(shù)根，求m的取值范圍.【答案】（1）m＜2；（2）m=2；（3）m＞2．【分析】（1）根據(jù)根的判別式△=b2-4ac＞0來求m的取值范圍；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根，則△=b2-4ac=0；（3）如果方程沒有實數(shù)根，則△=b2-4ac＜0．【解析】解：△=（-2m）2-4（m-1）（m+2）=4m2-4m2-4m+8=-4m+8．（1）因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以-4m+8＞0，所以m＜2；（2）因為方程有兩個相等的實數(shù)根，所以-4m+8=0，所以m=2；（3）因為方程沒有實數(shù)根，所以-4m+8＜0，所以m＞2．【點睛】本題考查一元二次方程的根的判別式的應用．一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．例23．已知關于x的一元二次方程．（1）如果方程根的判別式的值為1，求m的值．（2）如果方程有一個根是—1，求此方程的根的判別式的值．【答案】（1）m=2；（2）．【分析】（1）根據(jù)判別式的定義得到△=（3m-1）2-4m（2m-1）=1，解得m1=0，m2=2，再利用一元二次方程的定義得到m=2．（2）根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=-1代入一元二次方程，求得m值，然后將m值代入原方程，即可求出此方程的根的判別式的值．【解析】解：（1），△=（3m-1）2-4m（2m-1）=1，整理得m2-2m=0，解得m1=0，m2=2，∵m≠0，∴m=2；（2）根據(jù)題意，將x=-1代入方程得，整理，得：6m-2=0，解得：m=，原方程為，△=b2-4ac=

=．故答案為（1）m=2；（2）．【點睛】本題考查根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了一元二次方程的解．例24．已知：關于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0（1）求證：無論k取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長a＝1，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．【答案】（1）見解析；（2）5【分析】（1）把一元二次方程根的判別式轉化成完全平方式的形式，得出△≥0，可得方程總有實數(shù)根；（2）根據(jù)等腰三角形的性質分情況討論求出b、c的長，并根據(jù)三角形三邊關系檢驗，綜合后求出△ABC的周長．【解析】（1）證明：由題意知：Δ＝（k+2）2﹣4?2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）解：當b＝c時，Δ＝（k﹣2）2＝0，則k＝2，方程化為x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∴△ABC的周長＝2+2+1＝5；當b＝a＝1或c＝a＝1時，把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，方程化為x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不符合三角形三邊的關系，此情況舍去，∴△ABC的周長為5．【點睛】本題考查了根的判別式△＝b2－4ac：①當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當△＜0時，方程沒有實數(shù)根．也考查了等腰三角形的性質以及三角形三邊的關系．例25．設a、b、c是△ABC的三邊，關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，且方程3cx+2b＝2a的根為0．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）若a、b為方程x2+mx﹣3m＝0的兩根，求m的值．【答案】（1）△ABC是等邊三角形，理由見解析；（2）﹣12．【分析】（1）因為方程有兩個相等的實數(shù)根即Δ＝0，由Δ＝0可以得到一個關于a，b，c的方程，再結合方程3cx+2b＝2a的根為x＝0，代入即可得到一關于a，b的方程，聯(lián)立即可求出a，b，c的關系；（2）根據(jù)（1）求出的a，b的值，可以得到關于m的方程，解方程即可求出m．【解析】解：（1）∵有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，即，則b﹣2c+a＝0．∵方程3cx+2b＝2a的根為0，∴a＝b．∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形；（2）∵a、b為方程x2+mx﹣3m＝0的兩根，且a＝b，∴Δ＝m2﹣4（﹣3m）＝m2+12m＝0，∴m＝0或m＝﹣12．當m＝0時，a＝b＝0，不符合題意，應舍去；當m＝﹣12時，a＝b＝6，符合題意．綜上所述m＝﹣12．【點睛】此題考查了一元二次方程解的含義，等邊三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程解的含義，等邊三角形的判定方法．【真題演練】一、單選題1．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）已知關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1【答案】D【分析】方程為一元二次方程，二次項系數(shù)不能為0，方程有實根，△≥0，綜合以上兩方面進行計算即可．【解析】解∵關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有實數(shù)根，∴，解得：m≥且m≠1．故選D．【點睛】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)的取值范圍．注意不要忽略一元二次方程的系數(shù)不為0這一條件．2．（2019·河北·統(tǒng)考中考真題）小剛在解關于x的方程時，只抄對了a＝1，b＝4，解出其中一個根是x＝﹣1．他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2．則原方程的根的情況是（）A．不存在實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有一個根是x＝﹣1 D．有兩個相等的實數(shù)根【答案】A【分析】先根據(jù)“只抄對了a＝1，b＝4，解出其中一個根是x＝﹣1”求出所抄的c，再求出原方程的c值，再用根的判別式判斷根的情況即可．【解析】解：∵小剛在解關于x的方程時，只抄對了a＝1，b＝4，解出其中一個根是x＝﹣1，∴﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，則＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，則原方程的根的情況是不存在實數(shù)根．故選：A．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的根、根的判別式等知識，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵．3．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）對于實數(shù)，定義新運算：，若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍（

）A． B． C．且 D．且【答案】A【分析】根據(jù)新定義運算法則列方程，然后根據(jù)一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判別式列不等式組求解．【解析】解：∵，∴，即，∵關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：，故A正確．故選：A．【點睛】本題屬于新定義題目，考查一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0方程沒有實數(shù)根．二、填空題4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則_________．【答案】4【分析】一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．利用判別式的意義得到，然后解關于m的方程即可．【解析】解：根據(jù)題意得，解得m=4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，理解并熟練掌握一元二次方程的根的判別式是解題關鍵．5．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程x2＋x－c＝0沒有實數(shù)根，則c的取值范圍是________．【答案】##【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解．【解析】解：∵一元二次方程x2＋x－c＝0沒有實數(shù)根，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．6．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）若一元二次方程無解，則c的取值范圍為_________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到＜0，然后求出c的取值范圍．【解析】解：關于x的一元二次方程無解，∵，，，∴，解得，∴的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．三、解答題7．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）已知關于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的兩個實數(shù)根分別為，，且，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)根的判別式，即可判斷；（2）利用根與系數(shù)關系求出，由即可解出，，再根據(jù)，即可得到的值．【解析】（1），∵，∴，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）方程的兩個實數(shù)根，，由根與系數(shù)關系可知，，，∵，∴，∴，解得：，，∴，即．【點睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握根的判別式以及根與系數(shù)的關系．8．（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）已知關于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求的值．【答案】（1）見詳解；（2）【分析】（1）由題意及一元二次方程根的判別式可直接進行求證；（2）設關于的一元二次方程的兩實數(shù)根為，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得，進而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．【解析】（1）證明：由題意得：，∴，∵，∴，∴該方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：設關于的一元二次方程的兩實數(shù)根為，則有：，∵，∴，解得：，∵，∴．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．【過關檢測】一、單選題1．一元二次方程的根的情況是（

）A．無實數(shù)根 B．有兩個實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判別式進行解答即可得．【解析】解：一元二次方程中的，則這個方程根的判別式為，所以這個方程無實數(shù)根，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．2．若關于的一元二次方程無實數(shù)根，則整數(shù)的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可求解．【解析】解：∵一元二次方程無實數(shù)根，∴，解得，∵取最小整數(shù)且，∴；故選：B．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．3．當k不小于時，方程有（

）．A．兩個不相等的實數(shù)根 B．兩個相等的實數(shù)根 C．兩個實數(shù)根 D．以上都不正確【答案】C【分析】直接利用根的判別式進行計算得出，即可求解．【解析】∵方程，∴又k不小于，即，∴，∴方程有兩個實數(shù)根，故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程（）根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握根的判別式的有關知識點：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．4．已知分別是三角形的三邊，則方程的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根B．可能有且只有一個實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根D．有兩個不相等的實數(shù)根【答案】A【分析】由于這個方程是一元二次方程，所以利用根的判別式可以判斷其根的情況，再根據(jù)三角形的三邊關系來判斷判別式的符號即可求解．【解析】解：根據(jù)三角形三邊關系，得，，該方程沒有實數(shù)根．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，三角形的三邊關系等知識點，解題的關鍵是對進行因式分解．5．關于的方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．【解析】解：∵方程有兩個實數(shù)根，∴且，解得：且．故選：C【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根是解題的關鍵．6．一元二次方程根的判別式的值為（）A．8 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方程的系數(shù)，結合根的判別式，即可求出Δ的值．【解析】解：∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“根的判別式”是解題的關鍵．7．已知關于x的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．且 B．且 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)方程有實數(shù)根，分兩種情況分析：當方程為一元二次方程時，當方程為一元一次方程時，利用根的判別式來求的取值范圍即可．【解析】解：當方程為一元二次方程時，∵關于的方程有實數(shù)根，∴，且，解得，且，當方程為一元一次方程時，，方程有實根綜上，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程方程的根的判別式，注意一元二次方程方程中，熟悉一元二次方程方程的根的判別式的相關性質是解題的關鍵．8．下列命題：①若，則1是方程的根；②若，則一元二次方程一定有兩不相等的實數(shù)根；③若一元二次方程有一個根是，則代數(shù)式的值是；④一元二次方程的兩根為，若，則；⑤若，則一元二次方程一定有兩不相等的實數(shù)根．其中正確的是（）A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤【答案】B【分析】將代入對①進行判斷；利用反例對②④進行判斷；將代入對③進行判斷；，根據(jù)根的判別式對對⑤進行判斷．【解析】解：若將代入得，則1是方程的根，所以①正確；當時，則，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，所以②錯誤；若一元二次方程有一個根是，將代入得，左右同除以a得：，即代數(shù)式的值是，所以③正確；當時，，一元二次方程的兩根為，所以④錯誤；當時，則,若a、c異號，此時方程一定有兩個不相等的實數(shù)根，若同號，則，此時方程一定兩不相等的實數(shù)根，所以⑤正確；正確的有：①③⑤故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．9．定義：如果一元二次方程滿足a+b+c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結論正確的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c【答案】A【分析】根據(jù)a+b+c＝0得b＝﹣a﹣c，根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根得，將b＝﹣a﹣c代入得到，進而即可求解．【解析】解：∵一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，代入得＝0，即，∴a＝c．∴b＝﹣a﹣c=﹣2a故選：A．【點睛】本題考查根的判別式，將a+b+c＝0變形成b＝﹣a﹣c再代入化簡是解題的關鍵．10．關于x的方程，有下面5個說法：①存在實數(shù)k，使得方程無實數(shù)根；②存在實數(shù)k，使得方程恰有1個實數(shù)根；③存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不同實數(shù)根；④存在實數(shù)k，使得方程恰有3個不同實數(shù)根；⑤存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不同實數(shù)根；其中正確的說法有（

）個A．0 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】設，則原方程可變形為（1），利用一元二次方程根的判別式可得，再分三種情況討論，結合一元二次方程根與系數(shù)的關系與根的判別式，即可求解．【解析】解：設，則原方程可變形為（1），∴，∴當，即時，方程（1）沒有實數(shù)根，即存在實數(shù)k，使得方程無實數(shù)根，故①正確；當，即時，方程（1）有兩個相等實數(shù)根，∴，解得：，即存在實數(shù)k，使得方程恰有1個實數(shù)根，故②正確；當，即時，方程（1）有兩個不相等實數(shù)根，∴，∴，∵，∴，，∴無實數(shù)根，有2個不相等的實數(shù)根，∴存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不同實數(shù)根，故③正確；不存在實數(shù)k，使得方程恰有3個或4個不同實數(shù)根，故④⑤錯誤；∴正確的說法有3個．故選：C【點睛】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系的應用，關鍵是用換元的思想，將原方程轉化為較簡單的方程，本題分類比較復雜，屬于較難試題．二、填空題11．關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是______．【答案】且【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出，根據(jù)一元二次方程有實根，得出，解不等式即可求解．【解析】解：∵關于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴，且，解得：且，故答案為：且．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．12．一元二次方程的根的判別式的值為______.【答案】【分析】直接計算的值即可．【解析】解：∵，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是掌握根的判別式，正確計算．13．一元二次方程有兩個____________的實數(shù)根（填相等或不相等）【答案】相等【分析】先求出判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．【解析】解：∵，∴，∵，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，故答案為：相等．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當，方程有兩個相等的實數(shù)根，當，方程沒有實數(shù)根．14．（1）關于的方程．①有實數(shù)根，則m的取值范圍是_______；②有兩實數(shù)根，則m的取值范圍是_______．（2）關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是_______．【答案】

且##且

且##且【分析】（1）①討論：，即時，方程為一元一次方程，有一個實數(shù)解；當，利用根的判別式的意義得到，解得且，然后綜合兩種情況得到的取值范圍；②方程有2個實數(shù)解，方程一定為一元二次方程，利用根的判別式的意義得到且，然后求出兩不等式的公共部分即可；（2）與（1）中②小題一樣求解．【解析】解：（1）①當，即時，方程化為，解得；當且，解得且，綜上所述，的取值范圍為；故答案為：；②根據(jù)題意得且，解得且，即的取值范圍為且；故答案為：且；（2）根據(jù)題意得且，解得且，即的取值范圍為且；故答案為：且．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．15．已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則______．【答案】【分析】根據(jù)方程的系數(shù)，結合根的判別式，即可得出關于k的方程，解之即可得出k的值．【解析】解：∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得：，∴k的值為．故答案為：．【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關鍵．16．關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則k的取值范圍為______．【答案】【分析】根據(jù)題意得，進行計算即可得．【解析】解：∵一元二次方程沒有實數(shù)根，∴即k的取值范圍為，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的個數(shù)與根的判別式的關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程根的個數(shù)與根的判別式的關系并正確的計算．17．關于的方程有個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)題意，列出兩個一元二次方程，然后根據(jù)?的值與一元二次方程根的關系列式求解即可．【解析】依題意，關于的方程與,各有2個不等實數(shù)根，即，∴且解得且即故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．18．關于x的一元二次方程，下列說法：①若，則關于x的方程必有一個根為；②當（時，則關于x的方程必有實數(shù)根；③若，則方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；④若和有一個相同的根，那么這個根一定是1．其中正確的是______________（填序號）【答案】②③④【分析】根據(jù)時，得到即可判斷①；根據(jù)當(時，將代入得出判別式的符號，即判斷②；根據(jù)若，即可得出，即可判斷③；當時，代入方程即可判斷④．【解析】①當時，則，關于x的方程必有一個根為；故此選項錯誤；②，當時，，∴當時，關于x的方程必有實根；故此選項正確；③當時，，，，則方程一定有兩個不相等實根，故此選項正確；④當時，代入得，代入得，和)有一個相同的根，那么這個根一定1．故此選項正確；綜上分析可得，正確的有：②③④．故答案為：②③④．【點睛】此題綜合考查了根的判別式與一元二次方程，試題在求解的過程中可以利用方程解的定義以及恒等變形求解．三、解答題19．已知關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)如果m為非負整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得出，求出取值范圍即可；（2）由且m為非負整數(shù)，得到或0，代入后求出方程的解，即可得出答案．【解析】（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根．即有兩個不相等的實數(shù)根．∴．解得；（2）∵且m為非負整數(shù)，∴或0．當時，原方程為．解得，，它的根都是整數(shù)，符合題意；當時，原方程為．解得，，∴它的根都是不整數(shù)，不符合題意；．綜上所述，．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式和解一元二次方程，能根據(jù)題意求出的值和的范圍是解此題的關鍵．20．關于的一元二次方程：(1)當時，求方程的根；(2)若此方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍；【答案】(1)(2)且【分析】（1）把帶入方程，求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可進行解答．【解析】（1）解：當時，原方程為：，，解得：．（2）根據(jù)題意得：，∴，，∵此方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：．∵方程為一元二次方程，∴．綜上：且．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，和一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟，以及當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．21．已知關于的方程（為常數(shù)）．(1)求證：不論為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程有一個根是，求的值．【答案】(1)見解析(2)2021【分析】（1）根據(jù)，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根直接進行求解；（2）將方程的根代入方程中，再進行移項即可求解．【解析】（1）證明：，即，∴不論為何值，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：∵方程有一個根是，，，．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式的運用，以及一元二次方程的解的定義，熟練掌握一元二次方程根的判別式和一元二次方程的解的概念是解答此題的關鍵．22．已知關于x的一元二次方程.(1)求證：方程總有兩個實