第8章假設(shè)檢驗

(HypothesisTesting)

假設(shè)檢驗是抽樣統(tǒng)計推斷的另一項

重要內(nèi)容。它是利用樣本的實際觀測資

料來檢驗事先對總體某些數(shù)量特征所

作的假設(shè)是否可信的統(tǒng)計分析方法。根

據(jù)已有的知識（情報）對總體的數(shù)量特

征和變動規(guī)律做出一定的假設(shè)，然后運

用觀測到的樣本的資料和一定程序，來

判斷事先所作的假設(shè)是不是合理可信，

從而決定接受或拒絕這個假設(shè)。

8.1假設(shè)檢驗的概念

小概率的原理

假設(shè)檢驗的基本思想是應(yīng)用小概

率的原理。所謂小概率原理是指發(fā)生概

率很小的隨機事件在一次試驗中幾乎

是不可能發(fā)生的。根據(jù)這一原理我們可

以做出是否接受原假設(shè)的決定，即進行

假設(shè)檢驗時必須事先確定一個作為接

受或拒絕的判斷界限的小概率標準。該

小概率標準就是統(tǒng)計假設(shè)檢驗中的顯

著性水平。在假設(shè)檢驗過程中，我們可

以依據(jù)顯著性水平的大小把概率分布

劃分為接受區(qū)間和拒絕區(qū)間。大于給定

標準的概率區(qū)間稱為接受區(qū)間，小于給

定的概率區(qū)間稱為拒絕區(qū)間。

假如給定的小概率標準為。=0.1,

凡概率小于10%的事件都稱為小概率事

件，均屬于拒絕區(qū)間。而概率大于等于

二90%的事件都稱為對立事件概率,

均屬

于接

受區(qū)

間。事

件屬

于接受區(qū)間，意味著原假設(shè)成立而無顯

著性差異；事件屬于拒絕區(qū)間，意味著

原假設(shè)不成立,而認為有顯著性差異。

顯著性水平a所對應(yīng)的概率度t稱為a

的臨界值，記為L例如。=0.1時，

廿1.64。我們稱概率小于0.1的事件

為小概率事件。但實際假設(shè)檢驗分析中

作為接受或拒絕的判斷尺度臨界值，比

顯著性水平戊更為常用。

根據(jù)我們所研究的對象的性質(zhì)和

特征的不同，統(tǒng)計假設(shè)檢驗又可分為雙

側(cè)檢驗和單側(cè)檢驗兩種類型。當我們的

研究只對檢驗樣本和總體的平均數(shù)，或

樣本和總體的平均數(shù)有沒有顯著性差

異關(guān)心，而不問差異的方向（正差或負

差）時采用雙側(cè)檢驗方法。但我們所要

檢驗的是抽取樣本的總體的參數(shù)值偏

大于還是偏小于某個特定值時采用單

側(cè)檢驗方法。因此，單側(cè)檢驗方法有右

單側(cè)檢驗和左單側(cè)檢驗兩種。當我們所

要檢驗的是總體的參數(shù)值是否大于某

個特定值，應(yīng)采用右單側(cè)檢驗；反之，

應(yīng)采用左單側(cè)檢驗。在雙側(cè)檢驗中原假

設(shè)與替換假設(shè)通常采用等式，在單側(cè)檢

驗中原假設(shè)與替換假設(shè)取不等式。

雙側(cè)檢驗：乩：4="。HH、

右單側(cè)檢驗：乩?A—Z^oH、：網(wǎng)

左單側(cè)檢驗:乩:心"。/：〃<〃。

〃為計算值為為假設(shè)值

總而言之,假設(shè)檢驗是對我們所關(guān)

心的,卻又是未知的總體參數(shù)先做出假

設(shè)，然后抽取樣本，利用樣本提供的信

息對假設(shè)的正確性進行判斷的過程。它

是進行各種經(jīng)濟行為、管理及決策的有

力工具。

8.2一個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗

根據(jù)已知條件，一個正態(tài)總體參數(shù)

的檢驗方法通常可以分為兩種。一種方

法是當總體的方差/為已知數(shù)時，以Z

為檢驗統(tǒng)計量進行檢驗；另一種方法是

當總體的方差〃為未知數(shù)時，以廣作為

檢驗統(tǒng)計量進行檢驗。

8.2.1總體平均數(shù)〃的假設(shè)檢驗

8.2.L1總體的方差〃為已知數(shù)時

設(shè)隨機變量匕”,…,是從符合正態(tài)

分布的總體中抽取的樣本，且總體和樣

本的平均數(shù)及方差分別為“、元、。2、一

①原假設(shè)與替換假設(shè)；H°：…

H]:〃W〃o

②檢驗統(tǒng)計量（概率度）z；

（8-1）

③設(shè)定顯著性水平。

④計算檢驗統(tǒng)計量（概率度）z值:

⑤做出統(tǒng)計決策：

若|Z|〈|4,2|,則接受原假設(shè)義,拒

絕替換假設(shè)”I

若團>凡小則拒絕原假設(shè)“。，接

受替換假設(shè)/_

例8-1：設(shè)"=600,工=630,0=30,n=100,。=0.05。

試求雙側(cè)檢驗(替換假設(shè)乩：〃#600)和右側(cè)檢驗(替

換假設(shè)兄：4>600)時的臨界值。

解：LISASPROGRAM

DATAexamplel;

ALPHA=O.05;n=100;sigma=30;mu0=600;barX=630;

Zcal=(barX-muO)/(sigma/SQRT(n));zl=PR0BIT(ALPHA/2);

一雙側(cè)檢驗(計算臨界值)

IFABS(Zcal)>=ABS(zl)THENRESULT1=，REJECT5;ELSE

RESULTS'ACCEPT;

z2=PR0BIT(l-ALPHA);一右側(cè)檢

驗(計算臨界值)

IFZeal>=z2THENRESULT2='REJECT，;ELSE

RESULT2='ACCEPT;RUN;

PROCPRINT;VARALPHAZCALzlRESULT1z2RESULT2;RUN;

口運行結(jié)果

OBSALPHAZCALZlRESULT1

Z2RESULT2

10.0510-1.95996REJECT

1.64485REJECT

利用SASPROGRAM計算的結(jié)果得，雙側(cè)檢驗臨界值

Z°/2=±L96右側(cè)檢驗臨界值=1.645；因為

z>|za/2|,z>|zJ,所以雙側(cè)檢驗原假設(shè)%：〃=4

和右單側(cè)檢驗的原假設(shè)：4。均被否定.

(圖8-2)“°的接受區(qū)和拒絕區(qū)

(a)雙側(cè)檢驗(b)右側(cè)檢驗

-1.961.961.64

又與〃的關(guān)系替換假設(shè)的形態(tài)檢驗方法

x>〃0"1：4〉右單側(cè)檢驗

x<Ao“1：〃<〃0左單側(cè)檢驗

8.2.1.2總體的方差一為未知數(shù)時

因為總體的方差/為未知數(shù)，不能

直接利用Z-統(tǒng)計量。所以利用廠-檢驗

統(tǒng)計量(詳見8.6)o

(8-2)

當〃230時，玄令一?Z,即L分布

和Z-分布相接近，可設(shè)z=F，并把它

作為檢驗統(tǒng)計量計算臨界值，這樣可以

不用考慮自由度的問題。

例8-2：設(shè)某百貨商店的電冰箱銷售量服從正態(tài)分布。

已知gx,=10()(Xi代表第，天電冰箱銷售量)；

r=1

10°

ZXj=23500o并設(shè)定"o：4212。試在。=0.05

t=\

的條件下檢驗。

□SASPROGRAM

DATAexample2;

ALPHA=O.05;MU0=12;N=10;SUMX=100;SUMX2=23500;

BarX=sumX/n;s2=(sumX2-n*barX**2)/(n-l);

Tcal=(barX-muO)/SQRT(s2/n);

>TINV(ALPHA,n-1);

IFTcal=TTHENRESULT='REJECT';ELSE

RESULT='ACCEPT';RUN;

PROCPRINT;VARALPHATealtRESULT;RUN;

□運行結(jié)果

OBSALPHATCALT

RESULT

10.05-0.12649

-1.83311ACCEPT

解：因為總體的方差〃為未知數(shù)，以「統(tǒng)計量作為檢

驗統(tǒng)計量。又因為“。：4>=12,所以替換假設(shè)為

根據(jù)題意作左側(cè)檢驗。若廣〉一^則原假

設(shè)成立。利用SASPROGRAM計算的結(jié)果

T=-0.1265>-^=-1.833,所以，一天的電冰箱平均

銷售量超過12臺的原假設(shè)成立。

例8-3：若把例8-2的樣本容量由原來的10天增加到

100天（N=100）,并設(shè)其他的條件不變。這時我們可以

利用Z-統(tǒng)計量。即

「一4）

7…(8-3)

計算結(jié)果Z=-0.4>Za=-1.64485,所以原假設(shè)成立。

例8-4：某生產(chǎn)燈泡企業(yè)的新職工，上班的第一個月生

產(chǎn)了100只燈泡，其中隨機抽出5只燈泡作了壽命試

驗,其壽命分別為70,75,80,85,90（天）。試檢驗

燈泡的平均壽命為75天的可能性（設(shè)。=0.1）。

解：設(shè)“0：設(shè)<75,"］：〃>75。即作右側(cè)檢驗，

若T*<%則原假設(shè)成立。因為N=100,所以利用有限總

體調(diào)整系數(shù)來計算。利用SASProgram計算的結(jié)果，

*

T=1.443680,=1.53321o所以燈泡的平均壽命不

能超過75天的原假設(shè)成立。

□SASPROGRAM

DATAEXAMPEL4;

INPUTX@@;

CARDS;

7075808590

RUN;

PROCMEANSNOPRINT;VARX;OUTPUTOUT=OUTPUTN=n

MEAN=BARXVAR=S2;RUN;

DATARESULT;SETOUTPUT;

ALPHA=O.1;MU0=75;CC=(100-n)/(100-1);

TCAL=(BARX-MUO)/SQRT((S2/N)*CC);T=TINV(1-ALPHA,N-1

)；

IFTCAL=TTHENRESULT='REJECTJ;ELSE

RESULT='ACCEPTJ;RUN;

PROCPRINT;VARALPHATCALTRESULT;RUN;

□運行結(jié)果

OBSALPHATCALT

RESULT

10.11.443681.53321

ACCEPT

8.3兩個正態(tài)總體參數(shù)檢驗

8.3.1兩個正態(tài)均值之間的假設(shè)檢驗

8.3.1.1、犬為已知數(shù)時，兩個總

體平均值的假設(shè)檢驗

在經(jīng)濟分析中，常常需要比較兩個

總體的參數(shù)。比如，北方地區(qū)和南方地

區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展水平是否有顯著性差異

等，對這種兩個總體（地區(qū)）的參數(shù)是

否有顯著性差異的問題，可用兩個正態(tài)

總體參數(shù)檢驗的方法來解決，其檢驗步

驟如下：

第一步：設(shè)兩個總體的平均值和方

差分別為〃1、“2和4、成，原假設(shè)可設(shè)

定為兩個總體的平均值相等。即

H0:"\=〃2"I：41W

第二步：分別從兩個總體中抽出一

個樣本，得到樣本容量和平均數(shù)分別為

%、兄和叼，心的樣本。如果兄和院服

從正態(tài)分布，則兄士心也服從正態(tài)分

布。下面計算一下新的概率變量元-及

的平均值和方差。

E區(qū)-X2]=E區(qū)]-仇》21=從—4

???(8-8)__

V[Xl-X2]=V[Xi]+V[X2]-2Cov(Xi,X2)

—月和先是相互獨立的，所以其協(xié)方差2Cov(月,

x2)-0

22

V區(qū)-晨]=J+J

n{n2

???(8-9)

(X1-X2)，

N[(?),(五+生)]-(8-10)

%〃2

把(月一月)進行標準化得到標準化的檢驗統(tǒng)計量;

Z=(XI-X2)-(41--2)

-

\%n2

???(8-11)

第三步：計算檢驗統(tǒng)計量。并根據(jù)原假設(shè)設(shè)定雙

側(cè)檢驗還是單側(cè)檢驗。若原假設(shè)為

則需要雙側(cè)檢驗土Zq/2；若“。：＞°，則左側(cè)檢

驗-Z*;若H。："「從＜0,則右側(cè)檢驗Za/2o

第四步：根據(jù)所給定的顯著性水平a值和z的臨

界值，進行判斷。

例8-7：某汽車公司為了檢驗4型汽車和B型汽

車的耗油量，分別從A型和B型汽車中隨機抽出9輛

汽車作了試驗。試驗結(jié)果表明，當消耗1升汽油時，

兩種型號汽車的平均行駛距離分別為12Km.HKmo如

果A,8這兩種型號汽車的標準差分別服從i.5Km/升

和IKm/升的正態(tài)分布，試分析在顯著性水平為a=1%

的條件下，4—4二°的原假設(shè)是否成立。

解：根據(jù)題意，利用檢驗統(tǒng)計量(8-11)進行雙側(cè)檢

驗。

Z=(X1-X2)-(〃1-〃2)=12-11-0

Jcr:/"i+cr；//211.52

V-99~

與顯著性水平為。=1%相對應(yīng)的臨界值為

土Za〃=±2.575,因為-Z0/2=-2.575<Z<Za/2=2.575,

所以原假設(shè)成立，即48兩種型號汽車的汽油消耗量

沒有顯著性差異。

DATAexample7;

ALPHA=0.01;nl=9;n2=9;barXl=12;barX2=ll;sl=l.5;

s2=l;

Zcal=(barXl-barX2)/SQRT(sl**2/nl+s2**2/n2);

Z=PROBIT(ALPHA/2);

IFABS(Zcal)>=ABS(Z)THENRESUL='REJECT';ELSE

RESULT」ACCEPT;RUN;

PROCPRINT;VARALPHAZealzRESULT;RUN;

□運行結(jié)果

OBSALPHAZCALZRESULT

10.011.66410-2.57583ACCEPT

8.3.1.2M、4為未知數(shù)時，兩個總

體均值之差的假設(shè)檢驗

L樣本容量較大的情況

如果措、成為未知數(shù)，但樣本為大

樣本時，我們可用樣本的方差$；、s；代

替總體的斕、武，利用下面的近似公式

計算檢驗統(tǒng)計量。

Z_(X]-X2)-(〃l-從2)_(x1-X2)-(4一〃2)

]2/72?+(T2/n2!n\+S；I口2

…(8-12)

在前面的例8-6中，假設(shè)b：、8是

未知數(shù)。如果把樣本容量由原來的9

個擴大到32個時，測得A3兩種型號汽

車的平均行駛距離分別為12Km/升、

n.5Km/升。這時我們可利用(8-12)

式來進行假設(shè)檢驗。

Z=(12TL5)=2

/1/32)2+(1/32f

顯著性水平為a=1%的條件下

±Za/2=±2.575,所以原假設(shè)成立。但如果

給定的顯著性水平為?=0.05%

(±Za/2=±1.96),則原假設(shè)不成立。

2.樣本容量較小的情況

如果統(tǒng)為未知數(shù)，且樣本容量較

小時，可利用下面的檢驗統(tǒng)計量進行假

設(shè)檢驗(詳見8.6.3)。

t_(X]二〃2).、

n}+n2-2=『i-一L―???(8-13)

/(■T)s：+(%T)s；

s人=XL-%)

?十幾？

N—2nx+

但利用上面的檢驗統(tǒng)計量，必須滿

足這樣的兩個條件。首先兩個總體必須

滿足正態(tài)分布；其次是兩個總體的方差

必須相等4=Cr2o

例8-8：在同屆畢業(yè)的文科和工科畢業(yè)生中各隨機抽出

10、15名，其調(diào)查結(jié)果表明，文科和工科類畢業(yè)生的

工資收入分別為80、75萬(韓幣)，方差分別為300、

200o試問在顯著性水平a=0.05的條件下，同屆畢業(yè)

的文科和工科類畢業(yè)生的工資水平是否有顯著性差

異。

解：設(shè)同屆畢業(yè)的文科和工科類畢業(yè)生的工資水平?jīng)]

有顯著性差異?？?/p>

9)DATAexamples；

ALPHA=0.05;nl=10;n2=15;barX1=80;barX2=75;Sl=SQRT(300);S2=SQRT(200);

即Ho：〃]■/=0

-2_(%-l)s；+(〃2T)s；_(10-1)300+(15-1)200_55(

“1+〃2—210+15—22：

V^1=80,^2=75

在。=0.05的條件下，自由度為

%+々-2=10+15-2=23時，相應(yīng)的臨界值查表可得

—taR23=±2.069。因為—%2,23＜，＜%/2,23,所以同屆

畢業(yè)的文科和工科類畢業(yè)生的工資水平?jīng)]有顯著性差

異的原假設(shè)成立。

DATAexamples；

ALPHA=0.05;nl=10;n2=15;barXl=80;barX2=75;

Sl=SQRT(300);S2=SQRT(200);

Spooled=((nl-1)*sl**2+(n2-l)*s2**2)/(nl+n2-2);Tcal=

(barXl-barX2)/SQRT(Spooled*(l/nl+l/n2));

T=TINV(ALPHA/2,nl+n2-2);

Spooled=((nl-l)*sl**2+(n2-l)*s2**2)/(n1+n2-2);Tcal=(barX1-barX2)/SQRT(Spool.ed*(l/nl+l/n2));

T=TINV(ALPHA/2,nl+n2-2);

IFABS(Tcal)＞=ABS(t)THENRESULT:'REJECT';ELSERESULT:'ACCEPT';RUN;

PROCPRINT;VARALPHATealtRESULT;RUN;

□運行結(jié)果

OBSALPHATCALTRESULT

10.050.79201-2.06866ACCEPT

IFABS(Tcal)>=ABS(t)THENRESULTiREJECT;ELSE

RESULTiACCEPT,;RUN;

PROCPRINT;VARALPHATealtRESULT;RUN;

口運行結(jié)果

OBSALPHATCALT

RESULT

10.050.79201-2.06866

ACCEPT

8.6假設(shè)一檢驗

8.6.1一個總體平均數(shù)的一檢驗

設(shè)隨機變量匕*2,…,X”是從符合

正態(tài)分布的總體中抽取的樣本，且總體

和樣本的平均數(shù)及方差分別為4、又、

，、當總體方差M為未知數(shù)時，不

能選擇Z統(tǒng)計量，此時需要用樣本方差

$2代替總體方差檢驗統(tǒng)計量服從自

由度為〃-1的乙分布。J檢驗步驟如下;

1）原假設(shè)與替換假設(shè)：…="。

H、：N豐Ao

2）檢驗統(tǒng)計量（概率度）匕

T*_x-A。_J7（x_〃。）???1

T~s/^~s（8-1

7）

在大樣本（隨機變量的容量〃2

30）的情況下，,?分布和Z?分布相接近。

樣本統(tǒng)計量，服從或趨近于期望值為0、

方

（圖8-5）l檢驗的接受區(qū)和拒絕區(qū)差

為

1

的

標

準

正

態(tài)分布N（0,1）。根據(jù)實際抽樣調(diào)查資

料，計算樣本的平均數(shù)又及標準差S,

就可以具體確定統(tǒng)計量T*值。

設(shè)定顯著性水平a-計算檢驗統(tǒng)

計量l值（K）一作出統(tǒng)計決策。若原

假設(shè)成立，則檢驗統(tǒng)計量（概率度）服

從自由度為九-1的一分布。在顯著性水

準a條件下，對不同的替換假設(shè)，有不

同的統(tǒng)計決策。

%:〃>〃。，如果T*>%皿,則原假設(shè)

”。被否定（右單側(cè)檢驗）2）o

Hl：…。,如果:a,n-l,則原假

設(shè)/被否定（左單側(cè)檢驗）。

況:"玲，如果7|>乙/”「）則原

假設(shè)"。被否定（雙側(cè)檢驗）。

3）P-值及統(tǒng)計決策

值是檢驗樣本和原假設(shè)之間一

致性程度的尺度。P-值可根據(jù)邏輯對立

假設(shè)計算。

15）t“.n“值等于自由度為n-1的t-分布的aX100%。

P=P（K.i>T*）：右單側(cè)檢驗時，檢

驗統(tǒng)計量T*的尸-值是自由度為〃-1的

L分布中，比檢驗統(tǒng)計量/大的概率。

如果尸-值越小，則檢驗統(tǒng)計量越接近一

分布的右尾部，原假設(shè)/被否定的可能

性越大；反之P-值越大，則原假設(shè)“。被

接受的可能性越大。

尸二尸（，一KT*）：左單側(cè)檢驗時,檢驗

統(tǒng)計量廠的夕-值是自由度為〃-1的，

分布中，比檢驗統(tǒng)計量廠小的概率。如

果「值越大，則檢驗統(tǒng)計量越接近分

布的左尾部，原假設(shè)“。被否定的可能性

越大，反之?-值越大，則原假設(shè)“。被

接受的可能性越大。

P=2P|）:雙側(cè)檢驗時，檢

驗統(tǒng)計量I廣I的P-值是自由度為n-l

的L分布中，比檢驗統(tǒng)計量7*的絕對值

大的概率。如果P-值越大，則檢驗統(tǒng)

計量越接近，-分布的左尾部，原假設(shè)“。

被否定的可能性越大，反之P-值越大,

則原假設(shè)“。被接受的可能性越大。

（圖8-6）P-雙側(cè)檢驗接受區(qū)和拒絕區(qū)可

以

利

用

檢

驗

統(tǒng)

計量T*的夕-值和顯著性水平。的相互

比較的方法，作出統(tǒng)計決策。在SAS統(tǒng)

計分析程序中，SAS軟件自動把統(tǒng)計量

T值換算成相應(yīng)的尸-值工如果尸-值大

于顯著性水平%則原假設(shè)成立。如果

尸-值小于顯著性水平則原假設(shè)被否

定。即，若尸-值＞1，則原假設(shè)"。成立;

若P-值則原假設(shè)“。被否定。P~

值可以提供更多的信息,不僅可以用尸-

值與規(guī)定的顯著性水平］比較，進行檢

驗統(tǒng)計決策,而且P-值顯示了樣本值在

一定范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率。這有助于我們

對檢驗對象有更進一步的了解，同時也

為進行更多靈活的檢驗統(tǒng)計決策提供

可能。在SAS軟件中，就利用這一重要

的參數(shù)進行假設(shè)檢驗問題分析，并把它

作為統(tǒng)計決策的依據(jù)。

例8-11：某生產(chǎn)電子原件的企業(yè)，生產(chǎn)一種A元件。

過去A元件的平均壽命為25個月。但該企業(yè)的技術(shù)管

16）在SAS程序，SAS軟件對檢驗統(tǒng)計量進行雙側(cè)檢驗，算出IT的概率（即prob|T|）。

所以單側(cè)檢驗時，必須除以2。

理科認為，通過引進外國先進設(shè)備及技術(shù)后，A元件的

平均壽命有明顯的提高。于是他們隨機抽出15個樣品

作了壽命試驗。其試驗結(jié)果如表8-2。（表8-2）A元件

壽命試驗資料

282527311026302555122432284238

設(shè)A元件壽命服從正態(tài)分布，其顯著性水平a=0.05。

試求：1）15個樣品的平均數(shù)和標準差2）假定原假設(shè)

和替換假設(shè)3）計算檢驗統(tǒng)計量的展值，并解釋其結(jié)

果

解：根據(jù)題意"。=25,假定原假設(shè)和替換假設(shè)。

H。：〃=〃。,即A元件的壽命沒有顯著提高；a：〃>"。

即A元件的壽命有顯著提高。

□SASPROGRAM

DATAexampl1;

INPUTX

DX=X-25;

*-（a）

CARDS;

282527311026301555122432284238

RUN;

PROCMEANSMEANSTDTPRTMAXDEC=2;TITLE,ONE-TAILED

TTEST,;VARDX;RUN;

一(b)

□PROGRAM解釋

(a)DX=X-25

用SAS程序分析樣品和總體平均數(shù)之間的顯著性差異時，

SAS程序自動的進行雙側(cè)檢驗分析，Ho：u=25,乩：口工25。

所以利用總體平均數(shù)和樣本的離差變量DX=X-25o

(b)PROCMEANSMEANSTDTPRTMAXDEC=2

PROCMEANSMEANSTDT是計算檢驗統(tǒng)計量的命令。PRT

MAXDEC=2表示雙側(cè)檢驗，PRT命令將打印檢驗統(tǒng)計量p-值。

□運行結(jié)果及解釋

ONE-TAILEDTTEST

AnalysisVariable:DX

StdDev

Prob>|T|

11.44

0.2970

P/2=0.1485

拒絕Ho0.05

05=0.95

u=0

8,檢驗統(tǒng)計量p-值=0.2970。因為在SAS程序自動進行雙側(cè)檢

驗，故p/2=0.1485X）.05。所以原假設(shè)成立。

8.6.2一個總體兩個對應(yīng)比較上檢驗

對應(yīng)比較一檢驗是指對同一個總體

的同一個試驗單位，作兩種不同的“處

理”之后出現(xiàn)的結(jié)果進行對應(yīng)比較的方

法。比如，有一個電視機組裝車間，現(xiàn)

研究當引進新的組裝技術(shù)后，其組裝時

間是否比過去的組裝時間有所縮短的

問題。在研究這類問題時我們發(fā)現(xiàn)可以

采用對應(yīng)比較的的方法。因為組裝車間

（總體）沒變，試驗單位（組裝工人）

也沒變，所以測定過去的組裝方法與新

的組裝方法的生產(chǎn)效率問題時，可以利

用對同一個試驗單位的兩種不同的處

理結(jié)果，作簡單的一分析。

①資料：設(shè)分。2，”是同一個總體中，〃

個對應(yīng)樣本（X,,匕）之差（。尸X

且對應(yīng)樣本的平均數(shù)（5）和標準差（5。）

定義如下。

對應(yīng)樣本的平均數(shù)：

D=ET???(8-18)

對應(yīng)樣本的標準差：

2

(。-萬)???(8-19)

〃一1

②假設(shè)：假定口，小，…，2相互獨立,且

和平均數(shù)2i具有相同的分布。當對應(yīng)

樣本是小樣本（n<30）時，有必要檢驗

是否服從正態(tài)分布，但對大樣本

（n>30）,不必檢驗。

③提出原假設(shè)：對應(yīng)樣本無差異，即

“（）：〃x二〃y或。二0

④檢驗統(tǒng)計量：

DyjnD

???(8-20)

sD/VHSD

⑤檢驗統(tǒng)計決策

若原假設(shè)成立，則檢驗統(tǒng)計量服從自

由度為〃T的l分布。在顯著性水平a

條件下，對不同的替換假設(shè)，有不同的

統(tǒng)計決策。

Hi：Av>Av如果T*>3『一」則原假

設(shè)被否定（右單側(cè)檢驗）。

"1：4<A如果則原假

設(shè)%被否定（左單側(cè)檢驗）。

H1：豐".、如果|廠|>ta/2,n-1,則原假

設(shè)“。被否定（雙側(cè)檢驗）。

⑥P-值及統(tǒng)計決策

值是檢驗樣本和原假設(shè)之間一

致性程度的尺度。，-值可根據(jù)邏輯對立

假設(shè)計算。，二右單側(cè)檢驗;

17）ta,nT值等于自由度為nT的t-分布的a><100%。

，二P（5b）-左單根！I檢驗；P=2P

（金一1>|7*|）-雙側(cè)檢驗?？梢岳脵z驗

統(tǒng)計量T*的〃-值和顯著性水平a相互

比較的方法，作出統(tǒng)計決策。在SAS統(tǒng)

計分析程序中，SAS軟件自動把統(tǒng)計量

〃值換算成相應(yīng)的〃-值。如果。-值大

于顯著性水平4，則原假設(shè)成立。如果

值小于顯著性水平則原假設(shè)被否

定。

例8-12：某電器組裝車間研究引進新的組裝方法后，

組裝A產(chǎn)品的數(shù)量是否有所提高。于是他們從組裝A

產(chǎn)品的工人中隨機抽出15人，進行一個月的新組裝技

術(shù)培訓(xùn)后，和過去的組裝方法作了比較。其資料見表

8-3（?=0.05）o

（表8-3）兩種組裝方法的生產(chǎn)量（臺）

生產(chǎn)工人123456789101112131415

舊組裝方法342829452627241515272331203520

新組裝方法33365041374139212037211829

①提出原假設(shè)。

②兩種組裝方法的生產(chǎn)量差異變量（X,-匕），是

否服從正態(tài)分布。

③試求。的平均數(shù)和標準差。

④試求檢驗統(tǒng)計量及P-值，并解釋其結(jié)果。

解：對新的變量。的正態(tài)分布分析，提出原假設(shè)及替換

假設(shè)。

"o：。服從正態(tài)分布〃|：。不服從正態(tài)分布。

□SASPROGRAM

DATAexampl13;

INPUTXY

D=X-Y;

CARDS;

34332836295045412637274124391521

1520273723213118202935382027

RUN;

PROCUNIVARIATENORMAL;一計算檢驗統(tǒng)計量p-值，并分

析D的分布是否服從正態(tài)分布

VARD;一打印出變量D的描述性統(tǒng)計量，而且可計

算對樣本的t檢驗統(tǒng)計量。

RUN;

口運行結(jié)果及解釋：

UnivariateProcedure

Variable=D

Moments

Quantiles(Def=5)

N15SumWgts15100%Max

1399%13

Mean-5.93333Sum-8975%Q3

195%13

StdDev8.489209Variance72.0666750%Med

-790%4

Skewness0.498342Kurtosis0.6349125%QI

-1110%-15

USS1537CSS1008.9330%Min

-215%-21

CV-143.077StdMean2.191904

1%-21

T:Mean=0-2.70693Pr>|T|0.0170

Range34

Num'=015Num>04Q3-Q1

12

M(Sign)-3.5Pr>=|M|0.1185Mode

-21

SgnRank-41Pr>=|S|0.0181

W:Normal0.978148Pr<W0.9275

□運行結(jié)果的解釋

從計算結(jié)果中可知，正態(tài)分布檢驗統(tǒng)計量為

W=0.9275,其p值=0.978148o比顯著性水準a=0.05

大得多，因此接受原假設(shè)。即新的變量D服從正態(tài)分

布，可以對對應(yīng)樣本進行「檢定。對對應(yīng)樣本，提出

原假設(shè)及替換假設(shè)。

Ho：ux=uy（或D=0）,H1：ux<uy（或D<0）

過去的組裝方法（X）和新的組裝方法（Y）的差異

變量D=X-Y的平均數(shù)為Mean=-5.93333,標準差為Std

Dev=8.489209o所以新組裝方法的生產(chǎn)量比過去的生

產(chǎn)量大。對應(yīng)樣本的檢驗統(tǒng)計量7*=-2.707,其，值

=0.0170。因本題是單側(cè)（右側(cè)）檢驗，故P/2=0.0085o

這比顯著性水準a=0.05小得多，因此原假設(shè)被拒絕,

接受替換假設(shè)，即引進新的組裝方法，其生產(chǎn)量將有

顯著的提高。

8.6.3兩個總體平均差檢驗

在許多情況下，人們需要比較兩個

總體參數(shù)，看它們是否有顯著的區(qū)別。

平均差”檢驗就是分析兩個不同總體

平均數(shù)之間的差異。例如，檢驗兩種家

電產(chǎn)品的平均壽命差，用兩種方法所生

產(chǎn)出來的某種產(chǎn)品的平均耐磨強度的

差異，同一種教學(xué)方法在不同的年級或

不同內(nèi)容的課程中是否有不同的效果

等。對此，我們可利用平均差的”檢驗

尋找答案。

如果無法直接得到總體平均數(shù)差

的數(shù)據(jù)時，可以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)來估計。

為了檢驗兩個不同總體平均數(shù)之間的

差異，首先要檢驗兩個總體的方差是否

相等。若兩個總體的方差相等，可直接

對其兩個樣本進行”檢驗。如果兩個總

體的方差不相等，要作Satterthwaite

Testo進行平均差”檢驗的步驟如下：

①資料：設(shè)有兩個樣本容量分別為

nx，叼的兩組隨機變量X1，X2,…,X”,

匕名，…，工兩個樣本的平均數(shù)和標準差

分別為H、9、Sx、Sy其兩個樣本的合

標準差為

_?T)"+(%T)s；

3-X(y1)+(4一1)…

(8-21)

②假定：假設(shè)兩個樣本都是從服從正

態(tài)分布的總體中隨機抽取的“，并且兩

個總體方差相等。肩二CT；

③提出原假設(shè)和替換假設(shè)：

H0:"x=4yH1?〃x。"Y

④確定檢驗統(tǒng)計量：

%一y

SpJl/%+1/%，…(8-22)

若接受原假設(shè)，則檢驗統(tǒng)計量的分布

19)當某總體服從正態(tài)分布時，其樣本的平均數(shù)也服從正態(tài)分布。

服從自由度為OX+〃L2）的"分布。

在顯著性水準戊條件下，對不同的替換

假設(shè)，有不同的統(tǒng)計決策。

⑤檢驗統(tǒng)計決策：

Hi>Ay如果7*>L+.,_2,則原假

設(shè)名被拒絕（右單側(cè)檢驗）。

Hl：4Ov如果r*〈-九+"廠2,則原假

設(shè)”。被拒絕（左單側(cè)檢驗）。

H、:4W%如果|廠|>%+『，則原假

設(shè)名被拒絕（雙側(cè)檢驗）。

⑥〃-值及檢驗統(tǒng)計決策：〃-值是檢驗

資料和原假設(shè)之間一致性程度的尺度。

P-值可根據(jù)邏輯對立假設(shè)計算。

P=P（兀+“廠2>r）

P—P（乙+"一2<7*）

P=P（W2>|r|）

如果P-值>a,則原假設(shè)"。被接受;

如果P-值＜1,則原假設(shè)名被拒絕。

如果兩個總體的方差不相等(城7或)，

則需要作SatterthwaiteTest,

其檢驗統(tǒng)計量為

T*無一歹

1=I=

(8-23)

若接受原假設(shè)，則檢驗統(tǒng)計量的分

布服從自由度為了的'分布，自由度/

可由Satterthwaite的自由度近似計

算公式算出。

f=({/4+1/%)2

(―-.T+($/")及T)

(8-24)

因此，對兩個方差不相等的總體，

按以上的方法計算檢驗統(tǒng)計量P-值時，

以自由度一代替自由度〃x+勺-2就可

以了。

8.6.4PROCTTEST

TTEST程序旨在對SAS文件中的兩

個平均數(shù)執(zhí)行t檢定。適用于兩個獨立

的樣本的t檢驗。

PROCTTEST含四道指令，一般格式

如下：

PROCTTESTOPTION;

CLASS變量；

VAR變量；

BY變量；

1)class變量；

用class語句識別分析變量所屬的

類別，因此class語句后指定的變量只

可有兩個值，如果此變量的值是文字型

的，則長度不能超過十六個字母。

2)var變量；

指明對哪些變量的平均數(shù)進行t檢

定。若省略此指令，貝！Jsas對文件內(nèi)所

有數(shù)值變量(class指定的除外)執(zhí)行

t檢定。

3)by變量；

此指令按照所列舉的變量把文件

分成幾個小的文件，然后對每一個小的

文件執(zhí)行t檢定。當選用此指令時，文

件內(nèi)的數(shù)據(jù)必須先按照by后指定的變

量的值由大到小重新排列，可借助proc

sort來完成。

例8-13：某公司根據(jù)個人的業(yè)績及業(yè)務(wù)能力，發(fā)給職

工特別獎金。為了分析在相同的業(yè)績及業(yè)務(wù)能力組中,

男職工和女職工的獎金是否有顯著的差別，隨機抽出

18名男職工和15名女職工作了調(diào)查。其調(diào)查資料如表

8-4o特別獎金是按一年總工資額的百分數(shù)來表示，顯

著性水平是a=0.05O

①提出原假設(shè)和替換假設(shè)。

②試計算男女職工的描述性統(tǒng)計量。

③試檢驗兩個總體（男女）的方差是否相等。

④試檢驗發(fā)給男職工和女職工的特別獎金額，是否

有顯著的差異。

（表8-4））男女特別獎金資料

性特別獎金（%）

別

女9.27.711.96.29.08.46.97.67.48.09.96.78.49.39.1.~7

(X)

10.48.911.712.08.79.49.89.09.29.79.18.87.99.910.09.310.412.0

(Y)

□SASPROGRAM

DATAexampl3;

INPUTXY@@;一①3名女職工的獎金將出現(xiàn)空白(missing

value)，用點'來表示。

CARDS;