圓錐曲線與方程2.3雙曲線2.3.2雙曲線的幾何性質

學習目標核心素養(yǎng)了解雙曲線的簡單幾何性質.（重點）會求雙曲線的漸近線、離心率、頂點、焦點坐標等.（重點）3?知道橢圓與雙曲線幾何性質的區(qū)別.通過雙曲線性質的學習，提升直觀想象素養(yǎng).借助性質的應用，提升數學運算素養(yǎng).1^嘗l知匚新級初探二雙曲線的簡單幾何性質

性質隹占小、八、、F[(—c,0),後(°0)F〔(0,—c) ,/~2(0,c)焦距2c范圍x<—a或x>a,廬—日或y>a,r_對稱軸x軸，y軸對稱中心原點

性質頂點力1（一8,0）,坨佝°）Ay(0,—a),/42(0,a)軸實軸：線段也，長：2a：慮軸：線段恥2,長：2b；實半軸長：a,虛半軸長：b離心率e=-E⑴+")a漸近線bay=±hx等軸雙曲線⑴實軸和慮軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線?(2)性質：①等軸雙曲線的離心率￡=遼；②等軸雙曲線的漸近線方程為)=旦，它們耳相垂直.33思考：(1)漸近線相同的雙曲線是同一條雙曲線嗎？(2)雙曲線的離心率和漸近線的斜率有怎樣的關系？［提示］(1)漸近線相同的雙曲線有無數條，但它們實軸與虛軸的長的比值相同.c2用b(加三=1+￡丫是漸近線的斜率或其倒數.aaa匚初試身手二221?雙曲線1的漸近線方程是（）A.4A.B.C.3yC.3y=±ix9D?尸土卩C［雙曲線的焦點在x軸上，且。=2,0=3,因此漸近線方程為2.雙曲線~y2=i的頂點坐標是（）A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)B[由題意知，雙曲線的焦點在x軸上，且a=4,因此雙曲線的頂點坐標是(一4,0),(4,0).]Fv2 A3若雙曲線j-~=l（m>0）的漸近線方程為，則雙曲線的焦點坐標是 ?（―巾,0）,（訓,0）［由雙曲線方程得岀其漸近線方程為y=±豐22X,/.m=3,求得雙曲線方程為扌一片=1，從而得到焦點坐標為（一巾，0)，付7,0).]TOC\o"1-5"\h\z/V 4已知雙曲線廠令=1@>0，0>0）的一條漸近線方程為尸尹則雙曲線的離心率為 ?5 4 04|［因為漸近線方程為尸芻，所以汽，所以離心率嚴F嚴嚴護由雙曲線的方程求其幾何性質由雙曲線的方程求其幾何性質由雙曲線的方程求其幾何性質由雙曲線的方程求其幾何性質【例1】求雙曲線9/-4?=-36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程，并作岀草圖.［思路探究］本題給岀的方程不是標準方程，應先化方程為標準形式，然后根據標準方程求岀基本量b,c即可得解，注意確定焦點所在坐標軸.［解］將9/-4?=-36變形為+-$=1,22即所以。=3,/?—2,c—a/13>因此頂點坐標兒（一3,0）,A2（3,0）,焦點坐標F］（-賓,0）,F2（713,0）,實軸長是2〃=6,虛軸長是2b—4t作草圖，如圖所示:規(guī)律方扶用雙曲線標準方程研究幾何性質的步驟1?將雙曲線方程化為標準方程形式;判斷焦點的位置；寫岀『與滬的值；寫出雙曲線的幾何性質.1.求雙曲線x2-3y2+12=0的實軸長、虛軸長、焦點坐標、漸近線方程和離心率.)22［解］將方程x2_3y2+12=0化為標準方程為寸一令=1,?方=4,fe2=12,A?=2,0=2誦，?：c二站APP二倔=4,???雙曲線的實軸長2a=4f虛軸長20=4諂，焦點坐標為片(0,一 力-4),F2(0,4),頂點坐標為Ai(O,-2),A2(0,2),漸近線方程為y=±專X?禺心率￡=2?\類型2丿求雙曲線的標準方程—丄 【例2】求適合下列條件的雙曲線的標準方程.兩頂點間的距離為6,漸近線方程為y=±寺；與雙曲線?-2/=2有公共漸近線,且過點M(2,-2).［思路探究］利用待定系數法，當漸近線方程已知時，可利用雙222［解］(1)設以直線y=±jx為漸近線的雙曲線方程為忍H0),LQ當久＞0時，『=4幾?：2a=2pU=6=U=〒a??211ITy84a??211ITy8422(2)設與雙曲線|-/=1有公共漸近線的雙曲線方程為y-y2=竝HO),22將點(2,一2)代入雙曲線方程,得(―2)2=—2.0肄方進0肄方進雙曲線方程的求解方法1.根據雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程時，一般采用待定系數法，首先要根據題目中給岀的條件，確定焦點所在的位置，然后設岀標準方程的形式，找岀a,0,c的關系，列岀方程求值，從而得到雙曲線的標準方程.222.以丁=土令為漸近線的雙曲線方程可設為和—$=皿工0），以此求雙曲線方程可避免分類討論.2.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.13⑴一個焦點為(0,13),且離心率為§；(2)漸近線方程為『=±扣且經過點A(2,-3).［解］(1)依題意可知,雙曲線的焦點在y軸上,且尸13,光=13T,, V2X2?：a=5,b=\fU=12,故其標準方程為名-帀=L⑵法_；???雙曲線的漸近線方程為『=±討TOC\o"1-5"\h\zX2/ A若焦點在X軸上，設所求雙曲線的標準方程為廠產3°'nlb1 ①b>0),臨p49 ①?.?A(2,-3)在雙曲線上，適一產L由①②聯(lián)立，無解.若焦點在y軸上，設所求雙曲線的標準方程為〒一糸=1@>0,fc>0),則得. ③94VA(2,—3)在雙曲線上，?:/—卩=1? ④由③④聯(lián)立,解得『=8,b2=32.22???所求雙曲線的標準方程為令一令二1.-),2=2(2/0).7A(2,—3)在雙曲線上,22 c?：*—(—3)2二舟即2二_&??求雙曲線的離心率及其取值范圍【例3】（1）設Z\ABC是等腰三角形，ZABC=120°,則以A,B為焦點且過點C的雙曲線的離心率為 ?22（2）5知雙曲線*一*=1@>0,0>0）的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60。的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，求雙曲線離心率的取值范圍.［思路探究］⑴根據圖形并由雙曲線的定義確定。與C的關系，求岀離心率；（2）可以通過圖形借助直線與雙曲線的關系，因為過點F且傾斜角為60。的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則必有+^tan60°.]+3(1)2[由題意2c~AB=BCf???AC=2X2cXsin60°=2?c,由雙曲線的定義，有2a=AC~BC=2,\ljc~2c^a=(\l?)~l)c,.c11+億??_廠訶―1_2」(2)［解］因為雙曲線漸近線的斜率為直線的斜率為tan60°=^3,故有誦,所以W=\ =2,a\!a'所以所求禺心率的取值范圍是［2,+°°).規(guī)律方址 雙曲線離心率的求法求雙曲線的離心率就是求0和C的關系，一般可以采用幾何觀察法和代數關系構造法來尋求Q,0,C三者中兩者的關系，進而利用c2=a2+b2進行轉化.求雙曲線離心率的取值范圍，一般可以從以下幾個方面考慮:(1)與已知范圍聯(lián)系，通過求值域或解不等式來完成.(2)通過判別式/>0來構造?(3)利用點在雙曲線內部形成不等關系.(4)利用解析式的特征，如C>Q,或C>0.⑥跟蹤躅22己知片，幾是雙曲線》一尋=1?>0,0>0)的兩個焦點，PQ是經過片且垂直于兀軸的雙曲線的弦，如果ZPF22=90°,求雙曲線的離心率.22［解］設Fi(c,O),將尸c代入雙曲線的方程得》一卜1，那么yb2=±—由”2=曠2,ZW=90°,.?購)弓|-H9儘弓+n3???0^■0巴—3xz—".??0H\—占—飛??(JDcDeHq?.?cCH——..?匚課堂小結二漸近線是雙曲線特有的性質.兩方程聯(lián)系密切，把雙曲線的22標準方程*一令=1@〉0,0〉0)右邊的常數1換為0,就是漸近線方程.反之由漸近線方程ax±by=0變?yōu)椤骸阂籦2y2=^0),再結合其他條件求得幾可得雙曲線方程.準確畫岀幾何圖形是解決解析幾何問題的第一突破口.利用雙曲線的漸近線來畫雙曲線特別方便，而且較為精確，只要作出雙曲線的兩個頂點和兩條漸近線，就能畫岀它的近似圖形.判斷(正確的打“J”，錯誤的打“X”)⑴雙曲線虛軸的兩個端點，不是雙曲線的頂點.(等軸雙曲線的漸近線是y=±x.()雙曲線的實軸長一定大于虛軸長.()［答案］(1)V(2)7⑶X22己知雙曲線冷一寸=1@>0)的離心率為2,則a=(A.2D.1D??寸『+3=2a，?：『+3=4『，?：°2=1,?：a=L]若雙曲線的漸近線方程為y二±3x,它的一個焦點是0),則雙曲線的方程是 ?2X2-^=l[雙曲線的焦點在X軸上，則(?=価,h—=3?又:F+02=c2,解得°2=i,護=9,a?:方程為X2-g-—1.]求適合下列條件的雙曲線的標準方程.焦點在兀軸上，虛軸長為8,離心率為*兩頂點間的距離是6,兩焦點的連線被兩頂點和中心四等分.22［解］⑴設所求雙曲線的標準方程為審-討1,由題意知20=8,CS 5￡=廠3