二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)的概念及解析式1.一般地,形如

(a,b,c為常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做二次函數(shù).

2.三種表達(dá)形式一般式:

(a,b,c為常數(shù),a≠0);

頂點(diǎn)式:

(a,h,k為常數(shù),a≠0);

交點(diǎn)式:

(a,x1,x2為常數(shù),a≠0).

y=ax2+bx+cy=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(?？键c(diǎn))1.二次函數(shù)的圖象是一條

.

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)拋物線(xiàn)aa>0a<0圖象開(kāi)口向上向下小大增大減小減小增大3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與a,b,c的關(guān)系向上向下越小越大y軸左側(cè)右側(cè)c決定拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)的位置c=0,拋物線(xiàn)過(guò)

;

c>0,拋物線(xiàn)與y軸交于正半軸;c<0,拋物線(xiàn)與y軸交于負(fù)半軸原點(diǎn)

二次函數(shù)圖象的平移平移規(guī)律:左

右

,上

下

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加減加減二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)[例1](2023成都外國(guó)語(yǔ)一模)已知點(diǎn)A(a-3,-3)與點(diǎn)B(2,b+1)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則下列關(guān)于拋物線(xiàn)y=ax2+bx+1的說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.拋物線(xiàn)開(kāi)口向上B.a=1,b=-4C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,-3)D.當(dāng)x<2時(shí),y隨x的減小而增大C根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),逐項(xiàng)進(jìn)行判斷.[變式1](2023成都模擬)下列關(guān)于拋物線(xiàn)y=x2+4x-5的說(shuō)法正確的是(

)①開(kāi)口方向向上;②對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-4;③當(dāng)x<-2時(shí),y隨x的增大而減小;④當(dāng)x<-5或x>1時(shí),y>0.A.①③

B.①④C.①③④

D.①②③④C

二次函數(shù)圖象的平移[例2](2023瀘縣一模)把拋物線(xiàn)y=x2+1向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到拋物線(xiàn)(

)A.y=(x+3)2-1 B.y=(x+3)2+3C.y=(x-3)2-1 D.y=(x-3)2+3C二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律:平移前移動(dòng)方向平移后口訣y=a(x-h)2+k向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度y=a(x-h+m)2+k左加向右平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度y=a(x-h-m)2+k右減向上平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度y=a(x-h)2+k+m上加向下平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度y=a(x-h)2+k-m下減[變式2](2023達(dá)州一模)拋物線(xiàn)y=x2+bx+c的圖象先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象的函數(shù)解析式為y=(x-1)2-4,則b,c的值為(

)A.b=2,c=-6 B.b=2,c=0C.b=-6,c=8 D.b=-6,c=2B[變式3](2023雙流區(qū)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,如果拋物線(xiàn)y=-x2+2x-1經(jīng)過(guò)平移可以與拋物線(xiàn)y=-x2互相重合,那么這個(gè)平移是(

)A.向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B.向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與a,b,c的關(guān)系[例3](2023涼山)已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.abc<0 B.4a-2b+c<0C.3a+c=0 D.am2+bm+a≤0(m為實(shí)數(shù))C由拋物線(xiàn)確定a,b,c的符號(hào)(1)由開(kāi)口方向確定a的符號(hào).(2)由對(duì)稱(chēng)軸位置和a的符號(hào)確定b的符號(hào).(3)由拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)位置確定c的符號(hào).(4)由對(duì)稱(chēng)軸位置確定2a+b(或2a-b)的符號(hào).(5)由當(dāng)x=1,x=-1時(shí)點(diǎn)的位置確定a+b+c,a-b+c的符號(hào).BA.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè) D.4個(gè)確定二次函數(shù)的解析式[例4]如圖所示,開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn).(1)求該拋物線(xiàn)的解析式;(1)根據(jù)已知條件選擇交點(diǎn)式求拋物線(xiàn)的解析式;解:(1)設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x+1)(x-2).將C(0,4)代入,得4=-2a,解得a=-2.∴該拋物線(xiàn)的解析式為y=-2(x+1)(x-2)=-2x2+2x+4.(2)設(shè)四邊形CABP的面積為S,求S的最大值.(2)連接OP,將四邊形分成三個(gè)三角形來(lái)計(jì)算面積.通過(guò)求二次函數(shù)的最大值得到最大面積.確定二次函數(shù)的解析式(1)已知拋物線(xiàn)上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)一般式;(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸可設(shè)頂點(diǎn)式;(3)已知拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)交點(diǎn)式.[變式5](2023瀘縣五中一模)如圖所示,拋物線(xiàn)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(2,-3),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D.(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)當(dāng)0<x<4時(shí),y的取值范圍是

;

(3)拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P,使△PBC的面積是△BCD面積的4倍,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(2)-4≤y<5D2.(2023南充)若點(diǎn)P(m,n)在拋物線(xiàn)y=ax2(a≠0)上,則下列各點(diǎn)在拋物線(xiàn)y=a(x+1)2上的是()A.(m,n+1) B.(m+1,n)C.(m,n-1) D.(m-1,nDB4.(2023瀘州)已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+3(其中x是自變量),當(dāng)0<x<3時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y均為正數(shù),則a的取值范圍為()A.0<a<1 B.a<-1或a>3C.-3<a<0或0<a<3D.-1<a<0或0<a<3DC6.(2023廣安)如圖所示,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-3,0),B(1,0).有下列結(jié)論:①abc>0;②若點(diǎn)(-2,y1)和(-0.5,y2)均在拋物線(xiàn)上,則y1<y2;③5a-b+c=0;④4a+c>0.其中正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)C7.(2022綿陽(yáng))如圖所示,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng),與x軸交于A(yíng)(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn).若-2<x1<-1,則下列四個(gè)結(jié)論:①3<x2<4;②3a+2b>0;③b2>a+c+4ac;④a>c>b.其中正確的結(jié)論有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)B8.(2022涼山)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(0,3),頂點(diǎn)為C,點(diǎn)D在其對(duì)稱(chēng)軸上,且位于點(diǎn)C下方,將線(xiàn)段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,點(diǎn)C落在拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P處.(1)求拋物線(xiàn)的解析式.(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo).解:(2)拋物線(xiàn)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1,其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,4),如圖所示,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,a)(a<4).則CD=4-a.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得∠CDP=90°,PD=CD=4-a.∴P(1+4-a,a),即P(5-a,a).將P(5-a,a)代入y=-(x-1)2+4,得-(5-a-1)2+4=a,解得a1=3,a2=4(舍去).當(dāng)a=3時(shí),5-a=5-3=2.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3).(3)將拋物線(xiàn)平移,使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O,這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置,在y軸上是否存在點(diǎn)M,使得MP+ME的值最小?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(3)存在.拋物線(xiàn)y=-x2+2x+3頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,4),則將其先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移4