第五

章

概率

及

概率

分

布樸姬順

一

、概率的定義●在不變的一組條件S

下

，重復(fù)作n次試驗，記m

是

在n

次試驗

中事

件A

發(fā)

生

的

次

數(shù)

。

當試驗的次數(shù)n很大時，如果頻率m/n

穩(wěn)定在

某

一

數(shù)值p

的附近擺動；而且

一

半說來隨著

試驗次數(shù)的增多，這種擺動的幅度越變越小

，則

稱A

為隨機事件，記作●頻率具

頻率的穩(wěn)定值叫做該事件的概率。性的事件叫做隨機事件，p穩(wěn)定(A)=有P例5.1

○盒子中裝有五個球(三個白球、二各黑球)從中

任取

一

個，

問：取到白球的概率是多少?P

(

取到

白球

)

=3/5例5.2盒中裝球如上例，現(xiàn)從中任取兩個，

問兩個球全

是白球的概率是多少?P(全白

)=3/10稱

一

個事件組A?

,A?

,

..

,An

為

等可能完

備事件組，如果它具有下列性質(zhì)：一切可能的結(jié)果是有限的；A?

,A?,

..,An

發(fā)生的機會相等(等可能性)

在任一次試驗中，

至少有一個發(fā)生

(完備性)且至多有

一

個發(fā)生(互不相容性)等可能完備事件組稱為等概基本事件組；其中A;(i=1,2,.,n)

稱為基本事件。二、古典概型●若所有可能結(jié)

果

總數(shù)

為n,隨

機

事

件B

由

m

個基本事件構(gòu)成，

則事件B的概率為P(B)=m/n●

古典概型就是利用P(B)=m/n

來討論的概率模

型。二

、

古

典

概型○設(shè)有一批產(chǎn)品共100件，其中有5件次品，現(xiàn)從中

任

取50

件

，問無次品的概率是多少?例

5.4○

條件組同例5.3,

問：恰有兩件次品的概率是多少

?例

5.3(

一

)

加

法事件的包含與相等

事件的和與積事件的互不相容性概

率

的

加

法

公

式P(A+B)=P(A)+P(B)三、

概率

的加

法與乘法(

二

)

概

率

的

乘

法獨立性乘法公式P(AB)=P(A)P(B)概刑

山如果擲的分幣非均勻，出現(xiàn)

“上”的概率為2/3,

出

現(xiàn)

“下”的概率為1/3,則P(“恰有兩次正面朝上”)=?有兩次正面朝上”=10個(基本事件)獨

立

試

驗

概

型

(

非

等

概

)●

在此算

出P個(

基本正面取n=27接計定理(獨

立試驗序列概型計算公式)設(shè)單次試驗中，試驗A發(fā)生的概率為

p(O<p<1),

則在n

次重復(fù)試驗中●二項分布

離散型變量的概率分布

概率計算特點平均數(shù)與標準差應(yīng)用正態(tài)分布連續(xù)型隨機

變

量的概

率分

布正

態(tài)

曲

線

函數(shù)正態(tài)分布2.14%

13.59%

34.13%

34.13%2.14%13.59%0.13%0.13%0.13%

2.14%

13.59%

34.13%34.13%13.59%214%30

-2σ

-1o

C

1o

2σ0.13%300.13%

2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%

0.13%0.13%

2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%

0.13%-3

-2

-1

0

1

2

3標準正態(tài)分布0.13%

2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%

0.13%-3

-2

-1

012

30.13%

2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%

0.13%-3

-2

-1

01

2

30.13%

2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%

0.13%-3

-2-1

01

2言標

準

正

態(tài)

分

布0.13%

2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%

0.13%-3

-2

-1

012

3標

準

正

態(tài)

分

布乙1.5丙0丁-1.5甲丙-1.5乙0甲1.5正態(tài)分布在測驗記分方面的應(yīng)用●將原始分數(shù)轉(zhuǎn)換成標準分數(shù)●確定錄取分數(shù)線●確定等級評定人數(shù)●品質(zhì)評定數(shù)量化正態(tài)分布在測驗記分方面的應(yīng)用●

成績

，評價的?●有老師對學(xué)生說，你上次數(shù)學(xué)測驗的的成

績是78分，這一次測驗只得了71分，你為什么退步了。如82父母們學(xué)測驗70上●許多旨在測量與評價學(xué)生的身心發(fā)展水平

的教育測驗，按評分記分準則直接得到的

原始分數(shù)，如果沒有提供進

一

步的資料信

息，其意義是不夠明確的。●在教育測量學(xué)中，各次測驗所得的“原始

分數(shù)”是不宜直接比較的，更不能由此得

出孰優(yōu)孰劣的結(jié)論。原始分數(shù)為什么

不能

用

原

始

分

數(shù)

直

接

進

行比

較

?●原始分數(shù)的兩個主要缺陷

：@◎○原始分數(shù)的起點O

是沒有明確意義的學(xué)科知識測驗得0分并不代表該學(xué)生一點知識都不掌握

80

分只能說明他在此次測驗中答對了8

0

內(nèi)容●分數(shù)并不能確切說明

最常用的方法：○測驗分數(shù)單位的大參照測驗的常模資料的價值不同。

對被試的測驗結(jié)果進●

解

行解釋和評價?！褚_的解釋、評價和使用

廁

驗

大

，

必須借

助于某種參照標準才能測驗分數(shù)的含義，從

而作出正確的評價。驗一山

日

五

標準分數(shù)

●標準

分

數(shù)

是以

標

準

差

為

單

位

表

示

測

驗

成

績與

平均分數(shù)之間的距離。

即：●標準分數(shù)是一種以平均數(shù)為參照，

以測驗分

數(shù)的標準差來衡量原分數(shù)在其常模團體中地

位高低的評定方法。其

中

，S甲乙丙丁四人在某次語文考試中的得分為：

72、60、48、90

分

，

全班

的

平

均

成

績

為60分，標準差為12

分。求四人的標準分數(shù)?例

：●

某校高二學(xué)生期末語文、

數(shù)學(xué)、英語成績的平均

數(shù)

是80、70、85

分，

標準

差

分

別

是1

0、

15、12分。某學(xué)生的三科成績分別是85、82、90分，問

該生三科成績哪

一科最好?Z數(shù)

>Z

語>乙英例

：標

準

分

數(shù)Z

的

性質(zhì)

和

特

點任

何一

批原始分數(shù)，

轉(zhuǎn)化為Z

分數(shù)后，這

批Z

分數(shù)的平均值為0,標準差為1。Z>0

表示測驗成績在平均數(shù)之上，

Z<0

表

示測驗成績在平均數(shù)之下，Z=0表示測驗成績與平均數(shù)相等。

標準分數(shù)Z

的取值范圍在-3到+3之間，

Z

分數(shù)的意義可以用正態(tài)分布曲線下的面積比例作出最好的解釋。平均分=60標推差=120.13%

2.14%2413.59%

34.13%

34.13%36

48

平均分602.14%8413.59%720.13%96標

準

分

數(shù)Z

和

百

分

等

級PR之

間

的

關(guān)

系測驗成績服從正態(tài)分布的情況下，其對應(yīng)的百分等級PR與一個以標準分數(shù)Z

為界點的正態(tài)曲線左尾部面積比例數(shù)

相對應(yīng)。這個對應(yīng)關(guān)系可通過查正態(tài)分布表確定。例

：Z=-1

時

，PR=15.87。Z=1

時

，PR=84.13Z=0時

，PR=50。Z=1.75

時

，PR=95.994,Z=1.25

時

，PR=?13.59%

2.14%32.14%

13.59%-3

=234.13%O0.13%34.13%0.13%2.14%

13.59%

34.13%

34.13%

13.59%

2.14%24

36

48

平均分60——72

84

96-3

-2

-1

0+1

+2

+313%Z分數(shù)-4T分數(shù)10CEEB

分數(shù)100離差I(lǐng)Q(SD=15)圖6-5幾種標準分數(shù)關(guān)系圖o90900平均分=60

標準差=1250500100707001302020055606001158080014530300704040085標準分數(shù)在

我國

高考中的試點應(yīng)用●現(xiàn)狀：我國現(xiàn)存兩種分數(shù)制度○原始分數(shù)制度○高考標準分制度●

原

因○高考標準化的重要環(huán)節(jié)○高考中使用原始分數(shù)的局限性●不能反映考試分數(shù)相對于團體的位置信息●不同科目/同科不同次考試之間分數(shù)可比性差●原始分數(shù)制度中，各科分數(shù)標準差的大小對

各個科目分數(shù)在錄取中的比重也有一定的影響

。。根據(jù)教育統(tǒng)計、教育測量、教育評價等科學(xué)原理，按照

一

定規(guī)則把原始分數(shù)轉(zhuǎn)化為具有相同意義、相同單位和共同

參照點并能刻畫考試分數(shù)在總體中位置的分數(shù)制度。由常模量表分數(shù)(包括全國常模和省常模)、

等值量表分數(shù)

組成。

由于高考是全國統(tǒng)

一

考試，分省錄取，故標準分數(shù)

轉(zhuǎn)換有兩種情況。能準確刻畫考生成績在總體中的位置，使不同學(xué)科的成績

能夠進行比較

表6-6

高考成績通知單學(xué)科語文數(shù)學(xué)外語物

理化學(xué)綜合分標準分591732662681581694百分等級81.998.894.796.579.197.4高考標準分制度：高考標準分轉(zhuǎn)換方法：在現(xiàn)行試點使用的高考標準分轉(zhuǎn)換方案中

，

一律采

用正態(tài)化轉(zhuǎn)換方案。具體轉(zhuǎn)換步驟如下：(1)將同類考生的學(xué)科原始分數(shù)從大到小進行排序。(2)計算每一個分數(shù)X;以下的考生占考生總數(shù)的百分比P;或百分等級PR;。(3)由每個原始分數(shù)對應(yīng)的百分比P;或百分等級PR;,

利用正態(tài)分布表，經(jīng)過簡單計算，即可確定所對應(yīng)的正態(tài)分數(shù)Z;,從而得到每一個原始分數(shù)所對應(yīng)的標準分。(4)進行線性變換，我們確定的量表平均分為5

0

0

,

標

準差為

100,

線性變換公式為：D=500+100Z;從而得到常模量表分數(shù)。確定錄取分數(shù)線例：

某區(qū)擬對參加是學(xué)競賽的2000名人中前

500

人予以獎勵，考試的平均分數(shù)為75分

，

標準差為9,

問授獎的分數(shù)線是多少?確定等級評定

的人數(shù)例：500名學(xué)生的邏輯思維能力呈正態(tài)分布，擬

將

之

分

成A、B、C、

D、E五個

等

距

的

等級

，問

各

等

級乙值分界點是多少?各等級應(yīng)

當有多少人?等級各位

教

師

評定的人

數(shù)教

師

甲教

師

乙教師丙優(yōu)

良

中

差102055O41012104O12208O總和404040被評學(xué)

生評定者田門乙丙AB優(yōu)

良良

優(yōu)中

中品質(zhì)評定數(shù)量化極差等級評定者教師甲教師乙教師丙N比率本組

1/2至

一下面

積之和中位數(shù)N比率本組1/2至一下面積之和中位數(shù)N比率本組1/2至

一下面

積之和中位數(shù)優(yōu)

良

中

差10205500.250.50.130.1300.8750.50.18750.062501.1500.000一0.887-1.5340.000410121040