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新疆烏魯木齊2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)一模試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知四棱錐,底面ABCD是邊長為1的正方形,,平面平面ABCD,當(dāng)點(diǎn)C到平面ABE的距離最大時(shí),該四棱錐的體積為()A. B. C. D.12.下列函數(shù)中,值域?yàn)榈呐己瘮?shù)是()A. B. C. D.3.本次模擬考試結(jié)束后,班級要排一張語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評順序表,若化學(xué)排在生物前面,數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后,則不同的排表方法共有()A.72種 B.144種 C.288種 D.360種4.下列說法正確的是()A.命題“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,滿足,則C.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布(),若,則D.設(shè)是實(shí)數(shù),“”是“”的充分不必要條件5.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為A. B. C.2 D.6.中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余三,問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”,若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為,則記為,例如.現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于().A. B. C. D.7.二項(xiàng)式展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A. B. C. D.8.已知向量,且,則等于()A.4 B.3 C.2 D.19.已知是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知為定義在上的奇函數(shù),且滿足當(dāng)時(shí),,則()A. B. C. D.11.已知是函數(shù)圖象上的一點(diǎn),過作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則的最小值為()A. B. C.0 D.12.已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn),則線段的最小值為()A. B. C. D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知若存在,使得成立的最大正整數(shù)為6,則的取值范圍為________.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線與拋物線相切于點(diǎn),是上一點(diǎn)(不與重合),若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過,則點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離的最小值是__________.15.如圖所示,邊長為1的正三角形中,點(diǎn),分別在線段,上,將沿線段進(jìn)行翻折,得到右圖所示的圖形,翻折后的點(diǎn)在線段上,則線段的最小值為_______.16.命題“”的否定是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在銳角中,,,分別是角,,所對的邊,的面積,且滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.18.(12分)如圖,四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直,,//,.(1)證明://平面BCE.(2)設(shè)平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ,求.19.(12分)已知點(diǎn),且,滿足條件的點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)是否存在過點(diǎn)的直線,直線與曲線相交于兩點(diǎn),直線與軸分別交于兩點(diǎn),使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線(為參數(shù))通過伸縮變換,得到曲線,設(shè)直線(為參數(shù))與曲線相交于不同兩點(diǎn),.(1)若,求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo);(2)設(shè)點(diǎn),若,求直線的斜率.21.(12分)在中,.(1)求的值;(2)點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)重合),設(shè),求的取值范圍.22.(10分)對于正整數(shù),如果個(gè)整數(shù)滿足,且,則稱數(shù)組為的一個(gè)“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對于給定的整數(shù),設(shè)是的一個(gè)“正整數(shù)分拆”,且,求的最大值;(Ⅲ)對所有的正整數(shù),證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個(gè)“正整數(shù)分拆”與,當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí),稱這兩個(gè)“正整數(shù)分拆”是相同的.)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
過點(diǎn)E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因?yàn)槠矫鍭BE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.設(shè),將表示成關(guān)于的函數(shù),再求函數(shù)的最值,即可得答案.【詳解】過點(diǎn)E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,所以平面ABCD,所以.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為1的正方形,,所以.因?yàn)槠矫鍭BE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE,所以點(diǎn)H到平面ABE的距離,即為H到EF的距離.不妨設(shè),則,.因?yàn)?,所以,所以,?dāng)時(shí),等號成立.此時(shí)EH與ED重合,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)到面的距離的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.2、C【解析】試題分析:A中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件;B中,函數(shù)為奇函數(shù),不滿足條件;C中,函數(shù)為偶函數(shù)且,滿足條件;D中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件,故選C.考點(diǎn):1、函數(shù)的奇偶性;2、函數(shù)的值域.3、B【解析】
利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列求解即可【詳解】第一步排語文,英語,化學(xué),生物4種,且化學(xué)排在生物前面,有種排法;第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個(gè)空擋中的2個(gè),有種排法,所以不同的排表方法共有種.選.【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用,不相鄰采用插空法求解,準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題4、D【解析】
由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項(xiàng)A;可能相交,可判斷B選項(xiàng);利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C;或,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.【詳解】命題“,”的否定形式是“,”,故A錯誤;,,則可能相交,故B錯誤;若,則,所以,故,所以C錯誤;由,得或,故“”是“”的充分不必要條件,D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷,涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等,是一道容易題.5、A【解析】由給定的三視圖可知,該幾何體表示一個(gè)底面為一個(gè)直角三角形,且兩直角邊分別為和,所以底面面積為高為的三棱錐,所以三棱錐的體積為,故選A.6、C【解析】從21開始,輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3,滿足條件的是23,故選C.7、D【解析】
寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式,再分析的系數(shù)求解即可.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,得,故項(xiàng)的系數(shù)為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?,且,,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】試題分析:如下圖所示,則,因?yàn)榕c的夾角為,即,所以,設(shè),則,在三角形中,由正弦定理得,所以,所以,故選C.考點(diǎn):1.向量加減法的幾何意義;2.正弦定理;3.正弦函數(shù)性質(zhì).10、C【解析】
由題設(shè)條件,可得函數(shù)的周期是,再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為函數(shù)值,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,則函數(shù)的周期是,所以,,又函數(shù)為上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性,由題設(shè)得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
先畫出函數(shù)圖像和圓,可知,若設(shè),則,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若設(shè)圓的圓心為,則,所以只要取得最小值,若設(shè),則,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為,設(shè),則,設(shè),記,則,令,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以(當(dāng)時(shí)等號成立).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是兩個(gè)向量的數(shù)量積的最小值,利用了導(dǎo)數(shù)求解,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬于難題.12、C【解析】
利用導(dǎo)數(shù)法和兩直線平行性質(zhì),將線段的最小值轉(zhuǎn)化成切點(diǎn)到直線距離.【詳解】已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn),可知拋物線存在某條切線與直線平行,則,設(shè)拋物線的切點(diǎn)為,則由可得,,所以切點(diǎn)為,則切點(diǎn)到直線的距離為線段的最小值,則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意得,分類討論作出函數(shù)圖象,求得最值解不等式組即可.【詳解】原問題等價(jià)于,當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如圖此時(shí),則,解得:;當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如圖此時(shí),則,解得:;當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如圖此時(shí),則,解得:;當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如圖此時(shí),則,解得:;綜上,滿足條件的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì),函數(shù)的最值求解,存在性問題的求解等,考查了分類討論,轉(zhuǎn)化與化歸的思想.14、【解析】
根據(jù)拋物線,不妨設(shè),取,通過求導(dǎo)得,,再根據(jù)以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過,則,得到,兩式聯(lián)立,求得點(diǎn)N的軌跡,再求解最值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€,不妨設(shè),取,所以,即,所以,因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恰好經(jīng)過,所以,所以,所以,由,解得,所以點(diǎn)在直線上,所以當(dāng)時(shí),最小,最小值為.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系直線的交軌問題,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.15、【解析】
設(shè),,在中利用正弦定理得出關(guān)于的函數(shù),從而可得的最小值.【詳解】解:設(shè),,則,,∴,在中,由正弦定理可得,即,∴,∴當(dāng)即時(shí),取得最小值.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形的應(yīng)用,屬中檔題.16、,【解析】
根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得到結(jié)果即可.【詳解】解:因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題,所以,命題,則該命題的否定是:,故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、A【解析】
由正弦定理化簡得,解得,進(jìn)而得到,利用正切的倍角公式求得,根據(jù)三角形的面積公式,求得,進(jìn)而化簡,即可求解.【詳解】由題意,在銳角中,滿足,由正弦定理可得,即,可得,所以,即,所以,所以,則,所以,可得,又由的面積,所以,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,以及三角形的面積公式和正切的倍角公式的綜合應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理,可得DE//BF,然后根據(jù)勾股定理計(jì)算可得BF=DE,最后利用線面平行的判定定理,可得結(jié)果.(2)利用建系的方法,可得平面ABF的一個(gè)法向量為,平面CDF的法向量為,然后利用向量的夾角公式以及平方關(guān)系,可得結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)镈E⊥平面ABCD,所以DEAD,因?yàn)锳D=4,AE=5,DE=3,同理BF=3,又DE⊥平面ABCD,BF⊥平面ABCD,所以DE//BF,又BF=DE,所以平行四邊形BEDF,故DF//BE,因?yàn)锽E平面BCE,DF平面BCE所以DF//平面BCE;(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),F(xiàn)(4,3,﹣3),,設(shè)平面CDF的法向量為,由,令x=3,得,易知平面ABF的一個(gè)法向量為,所以,故.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定以及利用建系方法解決面面角問題,屬基礎(chǔ)題.19、(1)(2)存在,或.【解析】
(1)由得看成到兩定點(diǎn)的和為定值,滿足橢圓定義,用定義可解曲線的方程.(2)先討論斜率不存在情況是否符合題意,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線點(diǎn)斜式方程,由,可得,再直線與橢圓聯(lián)解,利用根的判別式得到關(guān)于的一元二次方程求解.【詳解】解:設(shè),由,,可得,即為,由,可得的軌跡是以為焦點(diǎn),且的橢圓,由,可得,可得曲線的方程為;假設(shè)存在過點(diǎn)的直線l符合題意.當(dāng)直線的斜率不存在,設(shè)方程為,可得為短軸的兩個(gè)端點(diǎn),不成立;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為,由,可得,即,可得,化為,由可得,由在橢圓內(nèi),可得直線與橢圓相交,,則化為,即為,解得,所以存在直線符合題意,且方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查求軌跡方程及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題.(1)定義法求軌跡方程的思路:應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動點(diǎn)的等量關(guān)系式,由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線,再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,用待定系數(shù)法求解;(2)解決是否存在直線的問題時(shí),可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程,聯(lián)立方程消元得出一元二次方程,利用判別式得出是否有解.20、(1);(2).【解析】
(1)由l參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立可得A、B兩點(diǎn)參數(shù)和,再利用M點(diǎn)的參數(shù)為A、B兩點(diǎn)參數(shù)和的一半即可求M的坐標(biāo);(2)利用直線參數(shù)方程的幾何意義得到,再利用計(jì)算即可,但要注意判別式還要大于0.【詳解】(1)由已知,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其普通方程為,當(dāng)時(shí),將(為參數(shù))代入得,設(shè)直線l上A、B兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)為,中點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為,則,所以的坐標(biāo)為;(2)將代入得,則,因?yàn)榧?,所以,故,由得,所?【點(diǎn)睛】本題考查了伸縮變換、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的
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