6.2.4向量的數(shù)量積（1）人教A版（2019）必修第二冊教學目標1.了解平面向量數(shù)量積的物理背景,理解數(shù)量積的

含義及其物理意義;2.體會平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系,理解并掌握向量數(shù)量積的性質(zhì),并能運用性質(zhì)進行相關(guān)的判斷和運算;3.體會類比的數(shù)學思想和方法,進一步培養(yǎng)抽象概括、推理論證的能力.溫故知新特點：共起點，連終點，方向指向被減向量1.向量加法三角形法則:特點:首尾相接，連首尾特點:同一起點,對角線O2.向量加法平行四邊形法則:3.向量減法三角形法則:BA溫故知新4.向量的數(shù)乘運算：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。向量的線性運算的結(jié)果仍為向量。新課引入問題：向量能否相乘呢？如果能，那么向量

的乘法該如何定義？

在物理課中我們學過功的概念：如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如右圖），那么力F所做的功

由初中物理知識可知，功是一個標量，它是由力和位移兩個向量來確定，這給我們一種啟示，能否把“功”看作兩個向量“相乘”的結(jié)果呢？由此啟發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。新課引入功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積與

是兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積

力做功的計算公式中涉及力與位移的夾角，所以我們先要定義向量的夾角。新課講解1.向量的夾角：已知兩個非零向量、，如圖，O是平面上的任意一點，作OA=，OB=，則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量與的夾角.

BAo兩個向量的起點相同記作：〈

，

〉

例如，在ΔABC中，∠BAC不是CA與AB的夾角，∠BAD才是CA與AB的夾

角.其中AD是CA平移所得.

思考：2.向量的數(shù)量積：

已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(也叫內(nèi)積)，記作，即

【規(guī)定】零向量與任一向量的數(shù)量積為0（1）在書寫數(shù)量積時，與之間用實心圓點“·”連接，不能寫成“×”,更不能不寫.

（2）向量的線性運算的結(jié)果是向量，但兩個向量的數(shù)量積卻是一個數(shù)量，而不是向量，其

大小與兩個向量的長度以及夾角都有關(guān)，符號由夾角的余弦值決定.1.兩個非零向量的數(shù)量積符號和這兩個向量夾角的取值范圍有關(guān)系嗎？2.在三角形ABC中，AB?AC<0,則三角形ABC是什么三角形？鈍角三角形思考：3.我們規(guī)定了與任意向量的數(shù)量積為0，但由=0，不能推出或

一定是零向量，這是因為兩個向量垂直時，其夾角為90°，此時，

故也有=0

.

4.要注意=0，但0

例題講解3.向量的投影向量：

如圖①，設(shè)和是兩個非零向量，AB=，CD=，我們考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1、B1，得到A1B1，我們稱上述變換為向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量

上的投影向量.

如圖②，我們可以在平面內(nèi)任取一點O，作OM=，ON=.過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向量在向量上的投影向量.

從上面的討論可知，對于任意的

，都有OM1=

探究：4.向量數(shù)量積的性質(zhì)：可以用來求向量的模，實現(xiàn)實數(shù)運算往向量運算的轉(zhuǎn)化可用來求兩個向量的夾角，夾角的取值與兩個向量有關(guān)例題講解

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