人教版高中數(shù)學必修二第2章點、直線、平面之間的位置關系

2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

2.2.2平面與平面平行的判定學案

【學習目標】

1.理解直線與平面平行，平面與平面平行的判定定理.（重點）

2.會用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述這兩個判定定理，并知道

其地位和作用.（易混點）

3.能夠應用兩個判定定理證明直線與平面平行和平面與平面平行（難點）

【要點梳理夯實基礎】

知識點1直線與平面平行的判定定理

閱讀教材P54?PJ'例1''以上的內(nèi)容，完成下列問題.

語言敘述符號表示圖-形-表示a

平面外一條直線與此平

aCa,bua,且

面內(nèi)的一條直線平行,則a//h=^a//a

該直線與此平面平行L/

［思考辨析學練結合］

1.若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線和這個平面平行

嗎？

［答案］根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知該結論錯誤.

2.能保證直線。與平面a平行的條件是（）

A.bua,a//b

B.bua,c//a,a//b,a//c

C.bua,A、BGa,C、DGb,且

D.aCa,bua,a//b

［解析］A錯誤，若bua,a//b,則a〃a或aua;B錯誤，若bua,c//a,

a//b,a//c,則a〃a或aua;C錯誤，若滿足此條件，則或aua或a

與a相交；D正確.

［答案］D

知識點2平面與平面平行的判定定理

閱讀教材P56?P57''例2”以上的內(nèi)容，完成下列問題.

一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩

語言敘述

個平面平行

符號表示au/J,bu0,尸，alla、b〃儀?〃a

圖形表示

//

［思考辨析學練結合］

1.如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這條直線與另一個平

面也平行嗎？

［答案］不一定.這條直線與另一個平面平行或在另一個平面內(nèi).

2.判斷(正確的打“4”，錯誤的打“x”)

(1)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平

行.()

(2)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異

面.()

(3)平行于同一平面的兩條直線平行.()

(4)若a〃夕，且直線a〃a,則直線)

［解析］(1)錯誤.當這兩條直線為相交直線時，才能保證這兩個平面平行.

(2)正確.如果兩個平面平行，則在這兩個平面內(nèi)的直線沒有公共點，則它

們平行或異面.

(3)錯誤.兩條直線平行或相交或異面.

(4)錯誤.直線a〃夕或直線au￡.

「答案】(l)x(2)4(3)x(4)x

【合作探究析疑解難】

考點1直線與平面平行的判定

［典例1］已知公共邊為AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面

內(nèi)，P,Q分別是對角線AE,8。上的點，且AP=0Q（如圖2-2-1）.求證：PQ//

平面CBE.

［點撥］在平面CBE中找一條直線與PQ平行，從而證明PQ〃平面CBE.

［解答］作〃48交BE于點M,作QN〃AB丈BC于點、N,連接MN,

如圖，

則PM〃QN,存=麗，融=蓋.,:EA=BD,AP=DQ,

：.EP=BQ.

文AB=CD,：.PM^QN,

：.四邊形PMNQ是平行四邊形，

E

J.PQ//MN.

又PQC平面CBE,MNu平面CBE,\c

二PQ〃平面CBE.fl*M

［方法總結］

1.利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行，關鍵是尋找

平面內(nèi)與已知直線平行的直線.

2.證線線平行的方法常用三角形中位線定理、平行四邊形性質(zhì)、

平行線分線段成比例定理、平行公理等.

昆艮蹤練習］

1.如圖2-2-2,四邊形ABC。是平行四邊形，S是平面A8C。外一點，M為

SC的中點,求證：SA〃平面MDB.

【證明】連接AC交3。于點O,連接OM.

為SC的中點，。為AC的中點，J.OM//SA,

?.?OMu平面MOB,SAU平面MDB,

〃平面MDB.

s

4°B

考點2平面與平面平行的判定

［典例2］如圖2-2-3,在正方體中，加、E、F、N分別是A四、

BCCD.DA的中點.

圖223

求證：(1)E、F、B、。四點共面;

(2)平面肪AN〃平面EFDB.

［點撥］(1)欲證E、F、B、。四點共面，需證5。〃石產(chǎn)即可.

(2)要證平面MAN〃平面EFDB,只需證〃平面EFDB,4N〃平面BDFE

即可.

［解答］(1)連接紇。|,

VE,口分別是邊嗎G、G。］的中點，

：.EF//BXDV

布BD〃B［D］,C.BD//EF.

:.E、F、B、。四點共面.

(2)易知MN〃干Bp、〃BD,C.MN//BD.

又MNB平面EFDB,BDu平面EFDB.

〃平面EFDB.

連接尸分別是A向、￡0的中點,

：.MF//A}DX,MF=A{DV

：.MF//AD,MF=AD.

二四邊形力。FM是平行四邊形，J.AM//DF.

又AMU平面BDFE,DFu平面BDFE,

...AM〃平面BDFE.

又?.?AMnMV=M

，平面MAN//平面EFDB.

［方法總結］

1.要證明面面平行，關鍵是要在其中一個平面中找到兩條相交

直線和另一個平面平行，而要證明線面平行，還要通過證明線線平行，

注意這三種平行之間的轉化.

2.解決此類問題有時還需添加適當?shù)妮o助線（或輔助面）使問題

能夠順利轉化.

跟蹤練習］

2.如圖2-2-4所示，已知四棱錐P-4BCO的底面A8C0為矩形，E,F,H

分別為A6,CD,PO的中點.

圖224

求證：平面AEH〃平面PCE.

［證明］因為￡”分別為CO,的中點，所以"7〃PC,

因為PCu平面PCE,FHG平面PCE,所以我"〃平面PCE.

又由已知得AE〃。/且AE=CF,

所以四邊形AECF為平行四邊形，

所以AF〃CE,而CEu平面PCE,AFC平面PCE,

所以AF〃平面PCE.

又FHu平面AFH,AR=平面AFH,FHHAF=F,所以平面AF”〃平面PCE.

考點3平面與平面平行的判定

探究1如圖2-2-5,在正方體A8CO-A［8］C］￡＞］中，S是與口的中點，E,F,

G分別是8C,DC,SC的中點.你能證明直線EG〃平面8。。盧］嗎？

4.

A

圖225

［提示］如圖，連接SB,

'：E,G分別是5C,SC的中點,

:.EG〃SB,

又〈SBu平面BDD］Bi，EGU平面BDD［B］.

二直線EG〃平面BDD［B］.

探究2上述問題中，條件不變，請證明平面EFG〃平面8。。盧|.

［提示］連接G分別是。C,SC的中點，

：.FG//SD.

又?.?SDu平面盧］,FG9平面BDD/i，

.?.FG〃平面BDD{BV

又EG〃平面BDD&

且EGu平面EFG,FGu平面E/G,EGCFG=G,

二平面EFG〃平面BDD{BV

［典例3］已知底面是平行四邊形的四棱錐P-A8C。,點E在PD上，且PE：ED

=2：1,在棱PC上是否存在一點f使5F〃平面AEC?證明你的結論，并說

出點尸的位置.

［點撥］解答本題應抓住8尸〃平面AEC先找BF所在的平面平行于平面

AEC,再確定F的位置.

［解答］如圖，連接8。交4c于。點，連接。瓦過8點作0E的平行線交

于點G,過點G作GF〃CE,交PC于點、F,連接8F.

VBG//OE,BGC平面AEC,OEu平面AEC,

.?.6G〃平面AEC.

同理，G/7〃平面AEC,又8GnGb=G.

平面BGF//平面AEC.：.BF//平面AEC.

\'BG//OE,O是6。中點，是GO中點.

又YPE：皮>=2：1,，G是PE中點.

和GF〃CE,為PC中點.

綜上，當點尸是PC中點時，〃平面AEC

「方法總結］

解決線線平行與面面平行的綜合問題的策略

1.立體幾何中常見的平行關系是線線平行、線面平行和面面平行，

這三種平行關系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉化的.

判定判定

2.|線線平行］--->|線面平行|------面面平行

所以平行關系的綜合問題的解決必須靈活運用三種平行關系的判定

定理.

［跟蹤檢測］

3.如圖，在四棱錐。-A5C0中，底面是邊長為1的菱形，〃為。4的

中點，N為8c的中點.

證明：直線MN〃平面OCD.

［證明］如圖，取。8中點瓦連接ME,NE,則

0

又‘：AB"CD,

J.ME//CD.

又平面OCO,CDu平面OC￡),

...ME〃平面OCD.

又,：NE//OC,且NEC平面OCO,OCu平面。C￡),

.?.NE〃平面OCD.

義?：MECNE=E,且ME,NEu平面MNE,

平面MNE〃平面OCD.

MNu平面MNE,：.MN〃平面OCD.

【學習檢測鞏固提高】

題型一直線與平面平行的判定定理的應用

1.如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的

中占

I八、、?

求證：(1)EH〃平面BCD：

(2)BD〃平面EFGH.

［證明］(1)：EH為△ABD的中位線,

，EH〃BD.

'.'EHC平面BCD,BDu平面BCD,

，EH〃平面BCD.

(2)YBD〃EH,BDC平面EFGH,

EHu平面EFGH,

，BD〃平面EFGH.

2.在四面體A-BCD中，M,N分別是△ABD和△BCD的重心.

求證：MN〃平面ADC.

［證明］如圖所示，連接BM,BN并延長，分別交AD,DC于P,Q兩點，連

接PQ.

因為M,N分別是△ABD和^BCD的

所以BM：MP=BN：NQ=2：1.

所以MN〃PQ.

又因為MNC平面ADC,PQu平面ADC,

所以MN〃平面ADC.

［反思與感悟］

1.利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行，關鍵是尋找平

面內(nèi)與已知直線平行的直線.

2.證線線平行的方法常用三角形中位線定理、平行四邊形性質(zhì)、

平行線分線段成比例定理、平行公理等.

題型二面面平行判定定理的應用

2.如圖所示，在三棱柱ABC-A|B］C］中，點D,E分別是BC與B￡的中點.

求證：平面A］EB〃平面ADC「

［證明］由棱柱性質(zhì)知,

B1C1/7BC,B1C1=BC,

又D,E分別為BC,B1C1的中點,

所以CIE^DB,則四邊形C1DBE為平行四邊形,

因此EB/7C1D,

又CIDu平面ADC1,

EBC平面ADC1,

所以EB〃平面ADC1.

連接DE,同理，EB1統(tǒng).BD,

所以四邊形EDBB1為平行四邊形，則ED幺夾B1B.

因為B1B〃A1A,B1B=A1A（棱柱的性質(zhì)）,

所以ED觸A1A,則四邊形EDAA1為平行四邊形，

所以A1E〃AD,又A1EC平面ADC1,ADu平面ADC1,

所以A1E〃平面ADC1.

由A1E〃平面ADC1,EB〃平面ADC1,

AlEu平面A1EB,EBu平面A1EB,

且A1EC1EB=E,所以平面A1EB〃平面ADC1.

2.已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1

平面A1GH〃平面BED1F.

［反思與感悟］

1.要證要兩平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找到兩條相交直線

平行于另一個平面.

2.判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應遵循先找后作的原

貝I,即先在一個面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不

到再作輔助線.

題型三線面平行、面面平行判定定理的綜合應用

3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，0為底面ABCD的中心，P是DD1的中

點，設Q是CC1上的點.問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ〃平面PAO?

請說明理由.

［解］當Q為CC1的中點時，平面D1BQ〃平面PAO.理由如下:

連接PQ.TQ為CC1的中點，P為DD1的中點,

，PQ〃DC〃AB,PQ=DC=AB,

四邊形ABQP是平行四邊形，，QB〃PA.

又丁。為DB的中點，，D1B〃PO.

又?.?POnPA=P,DlBnQB=B,

二平面D1BQ〃平面PAO.

3如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面為正三角形，側棱A1A_L底面ABC,E,

F分別是棱CC1,BB1上的點，EC=2FB.M是線段AC上的動點，當點M在

何位置時，BM〃平面AEF?請說明理由.

［解］當M為AC中點時，BM〃平面AEF.理由如下:

方法一如圖1,取AE的中點0,連接

VO,M分別是AE,AC的中點，

?.?又?.?BF〃CE,EC=2FB,

.?.0M〃BF,0M=BF,

四邊形OMBF為平行四邊形，

，BM〃OF.

又「OFu面AEF,BMC面AEF,圖1

；.BM〃平面AEF.

OM〃EC,OM=1EC.

2

方法二如圖2,取EC的中點P,連接PM,PB.

VPM是^ACE的中位線，

，PM〃AE.

VEC=2FB=2PE,CC1〃BB1,

，PE=BF,PE〃BF,

四邊形BPEF是平行四邊形，，PB〃EF.

又YPMC平面AEF,PBC平面AEF,

PM〃平面AEF,PB〃平面AEF.

又?.,PMnPB=P,...平面PBM〃平面AEF.圖2

又〈BMu面PBM,，BM〃平面AEF.

［反思與感悟］

要證明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面內(nèi)尋找

兩條相交且與另一平面平行的直線.要證明線面平行，又需根據(jù)線面

平行的判定定理，在平面內(nèi)找與已知直線平行的直線，即：

“4一I金面平行g47n『面面平行**二，二

產(chǎn)書F白勺判凌怦麗靠勺判一定削斗

題型四面面平行的判定

4已知在正方體ABCD—A，B，CD，中，M,N分別是ATT,AB，的中點，在該正

方體中是否存在過頂點且與平面AMN平行的平面？若存在，試作出該平面，

并證明你的結論；若不存在，請說明理由.

［分析］根據(jù)題意畫出正方體，根據(jù)平面AMN的特點，試著在正方體中找出幾

條平行于該平面的直線，然后作出判斷，并證明.

［解］如圖，與平面AMN平行的平面有以下三種情況:

①②③

下面以圖①為例進行證明.

如圖①，取BC，的中點E,連接BD,BE,DE,ME,BD,

可知四邊形ABEM是平行四邊形，所以BE〃AM.

又因為BEu平面BDE,AMC平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

因為MN是△ABTT的中位線，所以MN〃BDL

因為四邊形BDD'B'是平行四邊形，所以BD〃B'D'.

所以MN〃:BD.

又因為BDu平面BDE,MNC平面BDE,

所以MN〃平面BDE.

又因為AMu平面AMN,MNu平面AMN,且AMCMN=M,

所以由平面與平面平行的判定定理可得，平面AMN〃平面BDE.

［點評］本題是一道開放型的題目，答案不惟一，但依據(jù)都是平面與平面平行的判

定定理.對于開放性問題，要仔細觀察題目本身的特點，結合相應的定理，大

膽地進行猜想，然后給予證明.

人教版高中數(shù)學必修二第2章點、直線、平面之間的位置關系

2.2.1直線與平面平行的判定

2.2.2平面與平面平行的判定課時檢測

一、選擇題

1.以下說法（其中。，〃表示直線，a表示平面）

①若a〃〃，bua,則a〃a；

②若a〃a,b//a,則?！?；

③若a〃〃，b//a,則a〃a；

④若a〃a,bua,則?！ā?

其中正確說法的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

［解析］①aua也可能成立；②a,b還有可能相交或異面；③aua也可能成立；

④a,b還有可能異面.

［答案］A

2.已知a,b是兩條相交直線，a//a,則8與a的位置關系是（）

A.b//aQ.b與a相交

C.buaD.b〃a或〃與a相交

［答案］C

1.過直線1外兩點，作與1平行的平面，則這樣的平面（）

A.不可能作出B.只能作出一個

C.能作出無數(shù)個D.上述三種情況都存在

［解析］設直線外兩點為A、B,若直線AB〃1,則過A、B可作無數(shù)個平面與1

平行；

若直線AB與1異面，則只能作一個平面與1平行；

若直線AB與1相交，則過A、B沒有平面與1平行.

［答案］D

3.如果平面a外有兩點A、B,它們到平面a的距離都是a,則直線A8和平面

a的位置關系一定是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.ABua

［答案］A

4.在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB和5c上的點，若力上：EB=CF：FB

=1：3,則對角線AC和平面OE/的位置關系是（）

A.平行B.相交

C.在內(nèi)D.不能確定

「答案］A

5.過直線/外兩點，作與/平行的平面，則這樣的平面（）

A.不可能作出B.只能作出一個

C.能作出無數(shù)個D.上述三種情況都存在

［解析］設直線外兩點為A、B,若直線43〃/,則過A、8可作無數(shù)個平面與/

平行；若直線A3與/異面，則只能作一個平面與/平行；若直線A8與/相交，

則過A、B沒有平面與/平行.

【答案】D

6.過直線/外兩點，作與/平行的平面，則這樣的平面（）

A.不存在B.只能作出一個

C.能作出無數(shù)個D.以上都有可能

［答案］D

7.經(jīng)過平面a外兩點，作與a平行的平面，則這樣的平面可以作（）

A.1個或2個B.0個或1個

C.1個D.0個

［解析］①當經(jīng)過兩點的直線與平面a平行時，可作出一個平面0使B〃a.

②當經(jīng)過兩點的直線與平面a相交時，由于作出的平面又至少有一個公共點，

故經(jīng)過兩點的平面都與平面a相交，不能作出與平面a平行的平面.

故滿足條件的平面有。個或1個.

【答案】B

8.過平行六面體ABC。-451Gq任意兩條棱的中點作直線，其中與平面

平行的直線共有（）

A.4條B.6條C.8條D.12條

［解析］如圖所示，與BD平行的有4條，與BB1平行的有4條，四邊形GHFE

的對角線與面BB|D|D平行，同等位置有4條，總共12條，故選O.

［答案］D

9.在正方體中,M是棱C。上的動點,則直線MJ與平面A4盧盧

的位置關系是（）

A.相交B.平行

C.異面D.相交或平行

［解析］如圖，/Qu平面。qC|C,而平面441與8〃平面。故

平面44盧盧.

D,G

c

AB

［答案］B

10.若線段AB,BC,CD不共面，M,N,P分別為線段AB,BC,CD的中點,

則直線BD與平面MNP的位置關系是（）

A.平行B.直線在平面內(nèi)

C相交D.以上均有可能

［解析］連接NP,因為N、P分別是BC、CD的中點，M是AB的中點，AB、

BC、CD不共面，所以直線BD不在平面MNP上.

二直線BD與平面MNP平行.

［答案］A

11.在正方體EFGH—E1F1G1H1中,下列四對截面彼此平行的一對是（）

A.平面E1FG1與平面EGH1

B.平面FHG1與平面F1H1G

C.平面F1H1H與平面FHE1

D.平面E1HG1與平面EH1G

［解析］如圖，VEG^EIGI,

EGC平面E1FG1,

ElGlu平面E1FG1,

...EG〃平面E1FG1,

又G1F〃H1E,

同理可證HIE〃平面E1FG1,

又H1EDEG=E,

平面E1FG1〃平面EGH1.

［答案］A

12.給出下列結論，正確的有（）

①平行于同一條直線的兩個平面平行;

②平行于同一平面的兩個平面平行；

③過平面外兩點，不能作一個平面與已知平面平行；

④若a,b為異面直線，則過a與b平行的平面只有一個.

A.1個B.2個C.3個D.4個

［答案］B

13.若不在同一直線上的三點A、B、C到平面a的距離相等，且A0/6a,則（）

A.a〃平面A3C

B.△ABC中至少有一邊平行于a

C.△ABC中至多有兩邊平行于a

D.△ABC中只可能有一邊與a相交

［答案］B

14.正方體EFGH—ElFlGiH［中，下列四對截面中，彼此平行的一對截面是（）

A.平面與平面EGq

B.平面777Gl與平面皆招G

C.平面與平面口”與

D.平面與平面

［答案］A

15.兩個平面平行的條件是（）

A.一個平面內(nèi)一條直線平行于另一個平面

B.一個平面內(nèi)兩條直線平行于另一個平面

C.一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面

D.兩個平面都平行于同一條直線

［答案］C

二'填空題

16.經(jīng)過直線外一點有個平面與已知直線平行.

［答案］無數(shù)

17.如圖，在長方體A8C￡>—A］B［C|D］的面中：

(1)與直線A8平行的平面是；

(2)與直線AA,平行的平面是;

(3)與直線AD平行的平面是.

［答案］(1)平面AR】和平面DC1(2)平面BC］和平面DC［(3)平面BQ和平

面A￡

18.在正方體ABCD-A］8［C］￡>i中，E為DC\的中點，則BQ與過點A,E,C

的平面的位置關系是.

［解析］設BD的中點為F,則EF〃BD「

［答案］平行

19.a、b、c為三條不重合的直線，a、。、y為三個不重合的平面，現(xiàn)給出六個

命題.

a//c］a//y］_a//c］a//yl

①b〃卜〃②③〃/cba〃八④沙卜〃八

⑤。a/力/c\，〃/⑥a//y\

其中正確的命題是______■_(填序號

［解析］①是平行公理，正確；②中a,。還可能異面或相交；③中a、夕還可能

相交：④是平面平行的傳遞性，正確；⑤還有可能aua;⑥也是忽略了aua

的情形.

［答案］①④

20.梯形A8C0中，AB//CD,A5u平面a,CQC平面a,則直線CD與平面a

的位置關系是.

f解析］因為4B〃CZ),A8u平面a,COC平面a,由線面平行的判定定理可得

CD//a.

［答案］CD//a

21.梯形ABCD中，AB〃CD,ABu平面a,CDC平面a,則直線CD與平面a

的位置關系是.

［解析］設因為AB〃CD,ABu平面a,CDC平面a,由線面平行的判定定理可

得CD〃a.

［答案］CD〃a

22.下列四個正方體圖形中，A、8為正方體的兩個頂點，M,N、尸分別為其所

在棱的中點，能得出A6〃面"NP的圖形的序號是.（寫出所有符合

要求的圖形序號）

［答案1①③

23.已知直線a、b,平面a、4，且a//a,a//P，則直線匕與平面夕的位

置關系為.

［答案］b〃|3或bu0

24.有下列幾個命題：

①平面a內(nèi)有無數(shù)個點到平面用的距離相等，則a〃夕；

?aC\y=a,ad￡=b,且a//b（a,fJ,y分別表示平面，a,b表示直線），則y〃夕;

③平面a內(nèi)一個三角形三邊分別平行于平面夕內(nèi)的一個三角形的三條邊，則

a〃川；

④平面a內(nèi)的一個平行四邊形的兩邊與平面夕內(nèi)的一個平行四邊形的兩邊對

應平行，

則a〃從其中正確的有.（填序號）

［解析］①不正確，當兩平面相交時，在一個平面兩側分別有無數(shù)點滿足條件；

②不正確，當平面p與丫相交時也可滿足條件；③正確，滿足平面平行的判定

定理；④不正確，當兩平面相交時，也可滿足條件.

［答案］③

25.如圖所示，在正方體ABCOf四中，E、F、G、H分別是棱CCp。四、

的中點，N是5c的中點，點〃在四邊形EFG”及其內(nèi)部運動，則

M滿足時,有MN//平面B]BDD「

[解析]VHN/7BD,HF〃DD1,

HNDHF=H,BDCDD]=D,

，平面NHF〃平面B]BDD],

故線段FH上任意點M與N連接，

有MN〃平面B]BDD「

[答案]③MG線段FH

三'解答題

26.如圖，三棱錐中，E,F,G分別是AB,AC,AP的中點證明：平

面GEE〃平面PCB.

[證明]因為E,F,G分別是45,AC,AP的中點，所以GF//CP.

因為EF,GFC平面PCB,BC,CPu面PCB.

所以EF//平面PCB,GF//平面PCB.

又EFCGF=F,所以平面GEE〃平面PCB.

27.如圖所示，在正方體ABCD—AiBiCiDiE、F分別是棱BC、G2的中

點.

求證：EF〃平面80。向.

證明取D|B]的中點0,

連接OF,0B.

VOF^BjCpBE^：B[C],

:.OF然BE.

，四邊形OFEB是平行四邊形,

，EF〃BO.

「EFC平面BDD]B],

BOu平面BDD[B],

...EF〃平面BDD]B「

28.如圖所示，。是"ABC。所在平面外一點，￡、尸分別在外、8。上，且PE：EA

=BF：FD.

求證：E/〃平面P8C.

證明連接AF延長交BC于G,連接PG.

在。ABCD中，

易證△BFG^ADFA.

.GFBFPE

?，F(xiàn)A=FD=EA,

:.EF〃PG.

而EFC平面PBC,

PGu平面PBC,

；.EF〃平面PBC.

29.正方形ABC。與正方形ABE/所在平面相交于A8,在AE,5。上各有一點

P,Q,且AP=0Q.求證PQ〃平面BCE.（用兩種方法證明）

證明方法一如圖（1）所示，作PM〃AB交BE于M,作QN〃AB交BC

于N,連接MN.

?.?正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB,

.\AE=BD.

又,；AP=DQ,PE=QB.