專題17代幾綜合壓軸

一.解答題(共26小題)

1.(2023?墾利區(qū)一模)如圖，一次函數(shù)y=-gx+2分別交y軸、X軸于X、8兩點，拋物線y=-/+?r+c過/、

B兩點.

(1)求這個拋物線的解析式；

(2)作垂直X軸的直線X=/,在第一象限交直線48于M,交這個拋物線于N.求當(dāng)f取何值時，MN有最大值？

最大值是多少？

(3)在(2)的情況下，以/、M、N、。為頂點作平行四邊形，求第四個頂點。的坐標(biāo).

2.(2023?臨清市一模)拋物線y=0χ2+bx+4("Hθ)與X軸交于Z,8兩點，與N軸交于點C,點8的坐標(biāo)為(4,0),

拋物線的對稱軸為x=l,直線ZO交拋物線于點0(2,/n).

(1)求拋物線和直線工。的解析式；

(2)如圖1,點0是線段48上一動點，過點。作0E//4。，交BD于同E,連接。。，若點0的坐標(biāo)為(機(jī),0),

求A0Eo的面積S與機(jī)的函數(shù)表達(dá)式，并寫出S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值，并直接寫出此時點E

的坐標(biāo)；

(3)如圖2,直線/。交N軸于點尸，點M為拋物線對稱軸上的動點，點N在X軸上，當(dāng)四邊形CAWP周長取最

小值時，求出滿足條件的點M和點N的坐標(biāo).

圖1圖2

3.(2023?利津縣一模)綜合與實踐

如圖，拋物線y=2χ2-4x-6與X軸交于N,B兩點,且點N在點8的左側(cè)，與y軸交于點C,點。是拋物線上的

一動點.

(1)求力,B,C三點的坐標(biāo)；

(2)如圖2,當(dāng)點。在第四象限時，連接80,CZ)利8C,得到ΔSCZ),當(dāng)Δ5CΓ>的面積最大時，求點。的坐標(biāo);

(3)點E在X軸上運(yùn)動，以點B,C,D,E為頂點的四邊形是平行四邊形，請借助圖1探究，直接寫出點E的

4.(2023?寧陽縣校級一模)如圖，拋物線y=αχ2+6x+c過/(-4,0),5(6,0),C(0,8)三點；點尸是第一象限內(nèi)拋

物線上的動點，點尸的橫坐標(biāo)是加，且l<m<6.

(1)試求拋物線的表達(dá)式；直接寫出拋物線對稱軸和直線BC的表達(dá)式；

?

(2)過點尸作PN//j,軸并BC交于點N,作PM//冗軸并交拋物線的對稱軸于點M,若PM={N,求點P的坐

標(biāo)；

(3)當(dāng)點P運(yùn)動到使NP∕8=LN/BC時，請簡要求出用的值.

2

5.(2023?東阿縣一模)如圖，拋物線y=α√+bχ-4("W0).與X軸交于4(4,0)和5(-1,0)兩點，與y軸交于點C,

點P是直線AC下方的拋物線上一動點.

(1)求拋物線的解析式：

(2)過點P作尸OLx軸于點。，交直線4C于點￡,求線段PE的最大值及此時點尸的坐標(biāo)；

(3)取(2)中PE最大值時的尸點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點。，使得以點Z、C、P、。為頂點的四邊形為平

行四邊形？若存在，直接寫出點。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

6.(2023?博山區(qū)一模)如圖，二次函數(shù)y=αχ2+?r+c的圖象與X軸交于0(。為坐標(biāo)原點)，/兩點，且二次函數(shù)

的最小值為-1,點”(1,⑼是其對稱軸上一點，V軸上一點8(0,1).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點尸，連結(jié)PZ,PB,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為f,ΔΛ45的面積為S,求S與f

的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點N,使得以“、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出

所有符合條件的點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

7.(2023?天橋區(qū)一模)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系XQF中，已知拋物線y=-；Y+bx+c經(jīng)過4-2,0),5(0,4)兩

(2)正比例函數(shù)y=?r的圖象分別與線段ZB,直線x=3交于點。，E,當(dāng)ΔfiZ)O與AoCE相似時，求線段0。的

長度；

(3)如圖2,尸是拋物線上位于第一象限的一個動點，在線段OC和直線x=3上是否分別存在點尸，G,使B,F,

G,P為頂點的四邊形是以8尸為一邊的矩形？若存在，求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

8.(2023?梁山縣一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線夕="2+版+。(。<0)與》軸交于4-2,0)、8(4,0)兩

點，與y軸交于點C,且OC=20/.

(1)試求拋物線的解析式；

(2)直線y=Ax+l(A>0)與y軸交于點。，與拋物線交于點P,與直線BC交于點記m=含，試求機(jī)的最

大值及此時點尸的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，加取最大值時，點。是X軸上的一個動點，點N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，是否存在這樣的點

。、N,使得以「、D、。、N四點組成的四邊形是矩形？如果存在，請求出點N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明

理由.

V,

9.(2023?新泰市一模)拋物線y=^+foc+c與坐標(biāo)軸分別交于4,B,C三點/(-2,0),6(3,0),C(0,4),點尸

是第一象限內(nèi)拋物線上的一點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)連接/P,CP,AC,若SW=LSA女，求點P的坐標(biāo);

4JU*I<V20/1VZV

(3)連接/P,BC,是否存在點尸，使得2NPAB=N4BC,若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

Sl圖2

10.(2023?惠民縣一模)如圖，拋物線y=0χ2+2χ+c的對稱軸是直線X=1,與X軸交于點N,8(3,0),與y軸交

于點C,連接ZC.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)已知點。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點。作。M_Lx軸，垂足為點M,ZMZ交直線BC于點N,

是否存在這樣的點N,使得以/,C,N為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出點N的坐標(biāo)，若不存在,

請說明理由；

(3)已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點尸，使以點8、C、E、尸為頂點的四邊形為矩

形，若存在，請直接寫出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(備用圖)

11.(2023?鄲城縣一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線N=-X-5與X軸交于點與y軸交于點8.拋物線

y=αr2+4αt+c經(jīng)過點/、點8.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出頂點的坐標(biāo)；

(2)若在第三象限的拋物線上有一動點M,當(dāng)點M到直線NB的距離最大時，求點用的坐標(biāo);

(3)點C,。分別為線段ZO,線段48上的點，且BO=VLfC,連接CO.將線段CO繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90度,

點C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為點E,連接。E.當(dāng)線段OE的長最小時，請直接寫出直線DE的函數(shù)表達(dá)式.

12.(2023?長清區(qū)一模)已知拋物線y=α√+bx+3經(jīng)過點力(1,0)和點8(-3,0),與y軸交于點C,點尸為第二象限

內(nèi)拋物線上的動點.

(1)拋物線的解析式為一，拋物線的頂點坐標(biāo)為—；

(2)如圖1,是否存在點P,使四邊形3。C尸的面積為8?若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,連接。尸交BC于點。，當(dāng)SACTO：5潮。=1：2時，請求出點。的坐標(biāo)；

(4)如圖3,點E的坐標(biāo)為(0,-1),點G為X軸負(fù)半軸上的一點，NoGE=I5°,連接PE,若NPEG=2NOGE,

請求出點P的坐標(biāo).

13.(2023?成武縣校級一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y="?√+6x+3(αwθ)與X軸交于點/(-1,0)、8(3,0),

與y軸交于點C,點尸是第一象限內(nèi)拋物線上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接BC與。尸，交于點D,求當(dāng)空的值最大時點P的坐標(biāo)；

OD

(3)點尸與點C關(guān)于拋物線的對稱軸成軸對稱，當(dāng)點P的縱坐標(biāo)為2時，過點尸作直線尸。/∕x軸，點M為直線

上的一個動點，過點〃作MNJ.X軸于點N,在線段ON上任取一點K,當(dāng)有且只有一個點K滿足NFKM=135。時,

14.(2023嘯澤一模)己知，如圖，拋物線y=αχ2+?r-8與X軸交于/、B兩點,與y軸交于點C,OA=6,05=1,

點尸為X軸下方的拋物線上一點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接NP、CP,求四邊形NOC尸面積的最大值；

(3)是否存在這樣的點尸，使得點尸到N8和AC兩邊的距離相等，若存在，請求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

備用圖

15.(2023?滕州市一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線^="2+隊+0伍<0)與刀軸交于4(_2,0),8(4,0)兩

點，與了軸交于點C,且OC=20/.

(1)試求拋物線的解析式；

(2)直線y=h+l(A>0)與N軸交于點。，與拋物線在第一象限交于點P,與直線8C交于點M,記加=也皿，

SACDM

試求〃？的最大值及此時點P的坐標(biāo)：

(3)在(2)的條件下，加取最大值時，是否存在X軸上的點。及坐標(biāo)平面內(nèi)的點N,使得尸，D,Q,N四點

組成的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的。點和N點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

16.(2023?東平縣一模)拋物線y=g∕+bx+c與X軸交于點4-2,0)和8(4,0),與y軸交于點C,連接8C.點P

是線段BC下方拋物線上的一個動點(不與點8,C重合)，過點P作N軸的平行線交BC于M,交X軸于N,設(shè)

點P的橫坐標(biāo)為

(1)求該拋物線的解析式；

(2)用關(guān)于f的代數(shù)式表示線段尸M,求PM的最大值及此時點M的坐標(biāo);

(3)過點C作CHLPN于點H,StiBMN=9SeCHM，

①求點P的坐標(biāo)；

②連接C尸，在y軸上是否存在點0,使得A。。為直角三角形，若存在，求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

?.

17.(2023?東明縣一模)已知拋物線y=-√+6χ+c經(jīng)過/(7,0),5(3,0)

(1)求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；

(2)當(dāng)ft.χ.3時，直接寫出J?小值=---，J?大值=----；

(3)點P是拋物線上第一象限內(nèi)的一點，若也“=3,求點尸的坐標(biāo).

18?(2023?河口區(qū)校級一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=χ2+bx+c的圖象與X軸交于Z、B兩點、,

N點在原點的左側(cè)，8點的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于C(0,-3)點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)點尸運(yùn)動到什么位置時，Δ5PC的面積最大？求出此時2點的坐標(biāo)和MPC的最大面積；

(3)連接PO、PC,并把APOC沿Co翻折，得到四邊形PO[C,那么是否存在點尸，使四邊形尸OqC為菱形？

若存在，直接寫出此時點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

19.(2023?東平縣校級一模)拋物線y="2+6χ+c的頂點坐標(biāo)為(1,4),與X軸交于點/,8(3,0)兩點，與y軸交

于點C,點M是拋物線上的動點.

(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)如圖1,若點M在直線8C上方拋物線上，連接交8C于點E,求蟠的最大值及此時點M的坐標(biāo);

AE

(3)如圖2,已知點。(0,1),是否存在點M,使得tanNA/5。=；?若存在，求出點Λ/的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

直線y=r+5與X軸、夕軸分別交于8、C兩點，經(jīng)過B、C兩點的拋物線與X

軸的另一交點坐標(biāo)為4-1,0).

(1)求8、C兩點的坐標(biāo)及該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)P在線段BC上的一個動點(與8、C不重合)，過點尸作直線α∕∕y軸，交拋物線于點E,交X軸于點F,

設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為機(jī).

①若點P的橫坐標(biāo)為機(jī)，請用m表示線段尸E的長度并寫出m的取值范圍；

②有人認(rèn)為：當(dāng)直線α與拋物線的對稱軸重合時，線段尸E的值最大，你同意他的觀點嗎？請說明理由；

③過點P作直線6∕∕x軸(圖2),交ZC于點。，那么在X軸上是否存在點R,使得ΔPQ?與Δ50C相似？若存在,

請求出點R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

21.(2023?歷下區(qū)一模)如圖，拋物線y=0√+bχ+4與X軸交于N(-2,0),8(3,0)兩點，交y軸于點C,

尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一點且橫坐標(biāo)為，”.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1,連接NP,交線段8C于點。，若竺=」，求W的值；

DA5

(3)如圖2,已知拋物線的對稱軸交X軸于點H,與直線/P,8尸分別交于E、尸兩點.試問EH+FH是否為定

值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

22.(2023?泰山區(qū)校級一模)如圖,對稱軸為直線X=1的拋物線^=》2-云+。與工軸交于4、B兩點,與y軸交

于。點，且OB=OC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線頂點為。，直線8。交y軸于E點；

①設(shè)點P為線段8。上一點(點尸不與8、。兩點重合)，過點尸作X軸的垂線與拋物線交于點尸，求ASDF面積

的最大值：

②在線段8。上是否存在點。，使得NBOC=NQCE?若存在，求出點0的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

23.(2023?岱岳區(qū)校級一模)如圖，拋物線y=αχ2+fex+c與X軸交于點/(_],o),點8(3,0),與夕軸交于點C,且

過點。(2,-3).點P、。是拋物線y=0χ2+?r+c上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點尸在直線。。下方時，求ΔPO。面積的最大值.

(3)直線。。與線段BC相交于點E,當(dāng)A08E與Δ∕1BC相似時，求點。的坐標(biāo).

圖1圖2

24.(2023?泰山區(qū)校級一模)已知拋物線y=αχ2+6χ+c(qwθ)經(jīng)過/(4,0)、8(-1,0)、2(0,4)三點.

(2)如圖1,點D是在直線ZC上方的拋物線的一點，DNLAC于前N,切必/∕y軸交/C于點M,求ΔP"N周

長的最大值及此時點D的坐標(biāo);

(3)如圖2,點P為第一象限內(nèi)的拋物線上的一個動點，連接。尸，OP與/C相交于點0,求生絲的最大值.

SMoQ

25.(2023?東營區(qū)校級一模)如圖，拋物線y=-Jχ2+6χ+c與X軸交于4、ιg兩點，與y軸交于點C,直線

y=-L+2過8、C兩點，連接4C.

2

(1)求拋物線的解析式;

(2)求證：?AOC^?ACB；

(3)點M(3,2)是拋物線上的一點，點。為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點。作。EJ_X軸交直線BC于點

E,點尸為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)線段。E的長度最大時，求PD+PM的最小值.

7

26.(2023?泰山區(qū)校級一模)已知二次函數(shù)y=ax?+5x+c(αH0)的圖象與y軸交于點N(0,4),與X軸交于點B、C,

點C坐標(biāo)為(8,0),連接/8、AC.

(1)求出二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)判斷A43C的形狀，并說明理由；

(3)若點N在X軸上運(yùn)動，當(dāng)以點工、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，求出此時點N的坐標(biāo)，并說明理

由；

(4)如圖2,若點N在線段BC上運(yùn)動(不與點8、C重合)，過點N作NM//NC,交/8于點M,當(dāng)A4MN面

積最大時，求此時點N的坐標(biāo).

Sl圖2

專題17代幾綜合壓軸

一.解答題(共26小題)

1.(2023?墾利區(qū)一模)如圖，一次函數(shù)y=-gx+2分別交y軸、X軸于4、8兩點，拋物線y=-/+?r+c過/、

B兩點.

(1)求這個拋物線的解析式；

(2)作垂直X軸的直線x=f,在第一象限交直線于M,交這個拋物線于N.求當(dāng)f取何值時，MN有最大值？

最大值是多少？

(3)在(2)的情況下，以/、M、N、。為頂點作平行四邊形，求第四個頂點。的坐標(biāo).

備用圖

【分析】(1)首先求得N、8點的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;

(2)本問要點是求得線段MN的表達(dá)式，這個表達(dá)式是關(guān)于f的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的極值求線段MN的最大

值;

(3)本問要點是明確。點的可能位置有三種情形，如答圖2所示，不要遺漏.其中2、2在V軸上，利用線段數(shù)

量關(guān)系容易求得坐標(biāo)；2點在第一象限，是直線AN和AM的交點，利用直線解析式求得交點坐標(biāo).

【詳解】解：(1)；y=-；x+2分別交V軸、X軸于4、8兩點，

:.A.8點的坐標(biāo)為：A(0,2),8(4,0),

將X=0,y-2代入y--x2+?x+c得c=2,

7

將x=4,y=0代入y=—f+區(qū)+c得O=—16+46+2,解得6=,,

2

.?.拋物線解析式為：y=-χ+lχ+2;

(2)如答圖I,設(shè)MN交X軸于點E,

貝∣jE(f,0),則Λ1億2-卜)，

7

又N點在拋物線上，且∕=f,.?.χv=-*+^f+2,

71

22

.?.MN=yfj-yM=-t+-t+2-(2--t)=-t+4t,

二當(dāng)f=2時，WN有最大值4；

(3)由(2)可知,/(0,2),Λ∕(2,l),N(2,5).

以力、M,N、。為頂點作平行四邊形，。點的可能位置有三種情形，如答圖2所示.

⑴當(dāng)。在y軸上時，設(shè)。的坐標(biāo)為(0,α)

由力。=MN,得Ia—2I=4,解得a∣=6,a2=—2)

從而。為(0,6)或。(0,-2),

(萬)當(dāng)。不在y軸上時，由圖可知2為AN與2"的交點,

17

易得AN的方程為y=-]x+6,D2M的方程為y=?∣x-2,

由兩方程聯(lián)立解得力為(4,4)

故所求的。點坐標(biāo)為(0,6),(0,-2)或(4,4).

2.(2023?臨清市一模)拋物線y=aχ2+bx+4(aHθ)與X軸交于/,B兩點、,與夕軸交于點C,點8的坐標(biāo)為(4,0),

拋物線的對稱軸為x=l,直線/力交拋物線于點D(2,m).

(1)求拋物線和直線工。的解析式；

(2)如圖1,點0是線段48上一動點，過點。作。E//4O,交BD于點E,連接。0,若點。的坐標(biāo)為?！?0),

求AQEO的面積S與m的函數(shù)表達(dá)式，并寫出S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值，并直接寫出此時點E

的坐標(biāo)；

(3)如圖2,直線40交N軸于點尸，點M為拋物線對稱軸上的動點，點N在X軸上，當(dāng)四邊形CMN/周長取最

小值時，求出滿足條件的點M和點N的坐標(biāo).

圖1圖2

2

【分析】(1)由待定系數(shù)法得到拋物線的解析式為：y=-lχ+χ+4i直線4。的解析式為y=x+2;

2

(2)作EGj_x軸，設(shè)0(%O),根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EG=Y"，?<↑?SΛQDE=SSBDQ-S^BEQ=-?(m-1)+3,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)點尸的坐標(biāo)為尸(0,2),過點尸作關(guān)于X軸的對稱點尸，即尸(0,-2),連接。廣交對稱軸于M,X軸于N,

由條件可知點C,O是關(guān)于對稱軸x=l對稱，則四邊形CWVN的周長最小，可求出直線。尸的解析式，則可得出

答案.

'16?+46+4=0

【詳解】解：(1)根據(jù)題意得，,解得：la=~2,

2α-11.6=1

二.拋物線的解析式為夕=-；/+》+4；

?.?5(4,θ))對稱軸為x=l,

.?.A(-2,0),

D(2,m)在拋物線的解析式y(tǒng)=-jx2+x+4±,

D(2,4),

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+by,

-2k+hy=O

2左+4=4

k=?

解得

4=2

???直線力。的解析式為y=x+2;

(2)如圖1,作EG_Lx軸，設(shè)0(%0),

圖1

圖2

-QE//AD,

:.ABE。SABDA,

BQEG

/.——=-----,

BA4

即j=空，

64

解得：EG=*3,

3

C1/4、8—2加

:?s2EQ=y×(4-w)×-?-

1,?A?/4、8—2〃？12281,1\2々

,,SczQDE=ScMDQ-SMcEQ=-×(λ4-W)×4--(4-∕77)×--=--W-+-∕π+-=--(w-1)-+3,

乙乙JJ。。。

.?.A0E。面積的最大值是3,

此時E點坐標(biāo)是(3,2)；

(3)如圖2,由(1)可知直線4。的解析式為：y=x+2,

當(dāng)X=O時，y=2,

：.點、F的坐標(biāo)為F(0,2),

過點尸作關(guān)于X軸的對稱點尸'，即廣(0,-2),連接。/交對稱軸于Λ7,X軸于N,

由條件可知，點C,。是關(guān)于對稱軸x=l對稱，則四邊形CFMW的周長最小，

此時直線。尸的解析式為：y=3x-2,

?

當(dāng)y=0時，3x-2=0,即X=§，

2

:.Nq,0),

當(dāng)X=I時，y=3-2=l,

.?.Λ∕(1,1).

.?.存在點N的坐標(biāo)為N(∣?,0),點M的坐標(biāo)為"(1,1).

3.(2023?利津縣一模)綜合與實踐

如圖，拋物線y=2∕-4x-6與X軸交于力，8兩點，且點4在點B的左側(cè)，與y軸交于點C,點。是拋物線上的

一動點.

(1)求/,B,C三點的坐標(biāo)；

(2)如圖2,當(dāng)點。在第四象限時，連接8。，C。和8C,得到MCA,當(dāng)MC。的面積最大時，求點。的坐標(biāo);

(3)點E在X軸上運(yùn)動，以點8,C,D,E為頂點的四邊形是平行四邊形，請借助圖1探究，直接寫出點E的

【分析】(1)求出當(dāng)V=O時?χ的值即可求出4、8的坐標(biāo)，求出當(dāng)x=0時y的值即可求出點C的坐標(biāo)；

(2)如圖，過點。作Z)HLX軸于點4,作。G_Ly軸于點G,連接。。.根據(jù)邑SCo=SAOCD-SMWC推出

2

SABCD=-3(w-∣)+y,據(jù)此求解即可；

(3)分圖3-1,3-2,3-3,3-4四種情況利用平行四邊形的性質(zhì)討論求解即可.

【詳解】解：(1)把y=0代入y=2χ2一4l-6中，

得2X2-4X-6=0,

解得:x1=—1?X2=3>

.?.點A的坐標(biāo)是(-1,0),點B的坐標(biāo)是(3,0),

把X=O代入歹=2J?—4x-6中，得y=—6,

點。的坐標(biāo)是(0,-6)；

(2)設(shè)點。的坐標(biāo)是(加,2蘇-4加-6),

如圖，過點。作X軸于點作。軸于點G,連接。。，

圖2

.?.DG=m,DH=-2m2÷4m+6，

,??點3的坐標(biāo)是(3,0),點C的坐標(biāo)是(0,-6),

；,OB=3,OC=6,

=SAOCD+SAoBD~SNOBC

OCDGOBDHOCOB_6m3(-2w2+4m+6)6×3

MD=-2—+—22MCD=E+2F

化簡，得SmCD=-3(陽--∣)2+?■，

*/-3<O,

.??當(dāng)〃2=士?時，MC。的面積最大為?7幺，

24

?3,3915

/.2〃T-4〃？-6=2X(-)-4×——6=2×——6-6=-----，

2242

點。的坐標(biāo)是(|,-￡)；

（3）如圖3-1所示，當(dāng)四邊形COBE是平行四邊形時,

則CD//BE,CD=BE,

.?.點。的縱坐標(biāo)為-6,

令y=2X2-4x-6=-6,

解得：X=2或X=O(舍去),

.,?/)(2,-6),

.?.BE=CD=2,

??.E(LO);

圖3-1

如圖3-2所示，當(dāng)四邊形CDEB是平行四邊形時，可得E(5,0);

圖3-2

如圖3-3所示，當(dāng)四邊形CBOE是平行四邊形時,

設(shè)點D的坐標(biāo)是(m,2m2-4加一6),點E的坐標(biāo)為(n,0),

2m2-Am—6=6,

解得，"=ι+近或加=ι-√7(舍去)，

?.?點B的坐標(biāo)是(3,0),點C的坐標(biāo)是(0,-6),

.?.BC=-JOB2+oc2=3√5,

?.?OD=BC=3亞,

:.OD=√(W-W)2+62=3√5,

解得n=V7-2,

.?.f(√7-2,0):

D

可求E(-"-2,0)；

綜上所述，點E的坐標(biāo)為(1,0)或(5,0)或(近-2,0)或(-√7-2,0).

4.(2023?寧陽縣校級一模)如圖，拋物線y=α√+bx+c過/(-4,0),8(6,0),C(0,8)三點；點尸是第一象限內(nèi)拋

物線上的動點，點尸的橫坐標(biāo)是"I,且l<w<6?

(1)試求拋物線的表達(dá)式；直接寫出拋物線對稱軸和直線BC的表達(dá)式;

(2)過點P作尸N∕∕y軸并8C交于點N,作尸M∕∕x軸并交拋物線的對稱軸于點M,若PM=]PN,求點P的坐

標(biāo);

當(dāng)點尸運(yùn)動到使NP∕8=1N∕8C時.，請簡要求出機(jī)的值.

(3)

?

2+-X+8,即知對稱軸為直線X=1,由8(6,0),C(0,8)

3

可得直線BC表達(dá)式為y=-gx+8;

1?O?1

(2)設(shè)%2+§"?+8),由PA/=§/W,可得W-I=](-§機(jī)2+2m),解方程并根據(jù)1＜?。?,即得戶的坐

標(biāo)為(3,7)；

(3)作N/8C的平分線交y軸與。，過。作。EJ.8C于E,設(shè)Z尸交V軸于尸，知。。=OE,NOBD=；N4BC,

OD=DE=t,根據(jù)^^=SinNBC。=,有一--=—,可解得Oz)=3,ZλTfutanZ.OBD==?=?,而

CDBC108-Z5OB62

NPAB=NoBD,可得子=；,F(0,2),由4(-4,0),F(0,2)可得直線力尸的函數(shù)表達(dá)式為y=∣?x+2,再聯(lián)立解

析式可解得答案.

【詳解】解：(1)把Z(-4,0),8(6,0),C(0,8)代入7="+bx+c得:

16a-4h+c=O

?36。+6b+c=0，

c=8

?

解得?b=-,

3

c=8

.?.拋物線的表達(dá)式為y=-；/+gx+8,

12。I「225

Vy=——X2+—x+8=——z(X-I)+——，

3333

.?.拋物線N=-gV+∣χ+8的對稱軸為直線χ=ι,

由8(6,0),C(0,8)可得直線BC表達(dá)式為y=-了+8；

12174

(2)設(shè)尸(加，一3加2+§M+8),P1∣JM(?,--tn2+?-/??+8),N(m,--m+8),

1241

.?.PM=m-[PN=——m2+—w+8-(——/w+8)=——m2+2m，

f3333

PM=-PN，

3

212C、

.?.加一1二§(z一5加+2m),

解得〃?=3或加=——，

2

??1<w<6,

二.加=3,

.?.P的坐標(biāo)為(3,7)；

(3)作N48C的平分線交y軸與過。作。E_LBe于E,設(shè)力尸交y軸于尸，如圖:

?.?83平分NZ8C,DElBC,DOLOB,

:.OD=DE,ZOBD=-AABC,

2

設(shè)OD=OE=/,貝IJC。=。C-。。=8-7,

V5(6,0),C(0,8),

.?.BC=SB2+oc?=ιo,

DE.?八OB6

----=sin4BCO------=—,

CDBC10

即，=3,

8-/5

解得/=3,

/.OD-3，

:.tanZOBD=-=~=-

OB62

???NPAB=LNABC,

2

.?.ZPAB=/OBD,

/.tan/PAB=tan/OBD=—,

2

OF1hπOF1

OA242

.?.OF=2,

.?.∕7(0,2),

由/!(-4,0),F(0,2)可得直線AF的函數(shù)表達(dá)式為y=gx+2,

.?.點P的橫坐標(biāo)朋的值為2.

2

5.(2023?東阿縣一模)如圖，拋物線y=αχ2+bx-4(。WO).與X軸交于Z(4,0)和8(-1,0)兩點，與y軸交于點C,

點P是直線AC下方的拋物線上一動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點尸作尸X軸于點。，交直線/C于點E,求線段尸E的最大值及此時點尸的坐標(biāo)；

(3)取(2)中PE最大值時的尸點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點。，使得以點/、C、P、。為頂點的四邊形為平

行四邊形？若存在，直接寫出點。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

〉V,

備用圖

【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法把點/、8的坐標(biāo)代入y=0√+6x-4,解方程組即可求得答案；

(2)利用待定系數(shù)法先求出直線4C的解析式為N=X-4,設(shè)P(f,∕-3—4),則EQ,-4),可得

PE=f-4-(∕-3f-4)=—『+4/=-。-2)2+4,運(yùn)用二次函數(shù)最值即可求得答案；

(3)分三種情況討論：當(dāng)/C、尸。為平行四邊形的對角線時；當(dāng)AP、C。為平行四邊形的對角線時；當(dāng)CP

為平行四邊形的對角線時；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分建立方程求解即可得出答案.

【詳解】解:(1)?.?拋物線》=加+瓜_4(°父0)經(jīng)過4(4,0)和B(To)兩點,

∫16^+4?-4=0

[α-/>-4=0

解得：[：=[,

[b=-3

該拋物線的解析式為y=V-3x-4；

(2)當(dāng)X=O時，y=-4,

.?.C(0,-4),

(λb?π_n

設(shè)直線4C的解析式為N=丘+〃，則，

=-4

解得：[=1,

[n=-4

直線AC的解析式為y=x-4f

設(shè)尸(f,∕-3f-4),則E(f,f-4),

.?.PE=Z-4-(Z2-3Z-4)=-∕2+4Z=-(Z-2)2+4,

?.?-ι<o，

，當(dāng)，=2時，線段PE的最大值為4,此時點P的坐標(biāo)為(2,-6)；

(3)存在.

設(shè)003又。(4,0)、C(0,-4),P(2,-6),

當(dāng)AC、尸0為平行四邊形的對角線時,/C與尸0的中點重合,

x+2=4+0

?-6=0-4

解得:憶,

???。(2,2)；

當(dāng)/P、C0為平行四邊形的對角線時,4尸與C0的中點重合,

卜+0=0+2

??—4=0-6

X=2

解得:

y=~2

O(2,-2);

當(dāng)40、C尸為平行四邊形的對角線時,40與C尸的中點重合,

∫x+4=0+2

1y+0=-4-6

解得：F=-2

Iy=TO

2(-2,-10)；

綜上所述，點0的坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2)或(-2,-10).

6.(2023?博山區(qū)一模)如圖，二次函數(shù)y=α√+?r+c的圖象與X軸交于0(。為坐標(biāo)原點)，Z兩點，且二次函數(shù)

的最小值為-1,點M(1,M是其對稱軸上一點，V軸上一點8(0,1).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點尸，連結(jié)尸N,PB,設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為f,ΔPNB的面積為S,求S與f

的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點N,使得以4、B、M.N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出

所有符合條件的點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)題意知，二次函數(shù)頂點為(1,-1),設(shè)二次函數(shù)解析式為歹=。(》-1)2-1,將點8(0,0)代入得，。-1=0,

即可得出答案；

(2)連接。尸，根據(jù)題意得點力的坐標(biāo)，則S=Sgg+SMAP-SMBF,代入化簡即可；

(3)設(shè)N(〃,〃2-2〃)，分Z8或ZN或/〃分別為對角線，利用平行四邊形的性質(zhì)和中點坐標(biāo)公式，分別求出〃=的

值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：(1)???二次函數(shù)的最小值為-1,點"(1,M是其對稱軸上一點，

，二次函數(shù)頂點為(1,-1),

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=“(X-1)?-1,

將點O(0,0)代入得，?-1=0,

:.a=↑>

:.=(x-1)2-1=x2-2x；

(2)連接。尸，

當(dāng)y=0時?，X2-2x=0,

.,.工=0或2,

.?.4(2,0),

???點P在拋物線y=χ2-2χ±,

.?.點尸的縱坐標(biāo)為“一2，

??S=SMOB+SNOAP_SM)BP

=L2xl+1χ2(-Γi+2∕)-L

222

23

=T+—，+1;

2

(3)設(shè)NS,/-2"),

當(dāng)48為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，2+0=1+",

.'.77—1?

??.N(LT),

當(dāng)ZM為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，2+l="+0,

.?n=3,

.?.N(3,3),

當(dāng)/N為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，2+〃=0+1,

.?.M=-I,

/.7√(-l,3),

綜上:N(L-I)或(3,3)或(-1,3).

7.(2023?天橋區(qū)一模)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知拋物線y=-；》?+?x+c經(jīng)過Z(-2,0),5(0,4)兩

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)正比例函數(shù)y=h的圖象分別與線段,直線x=3交于點￡>,E,當(dāng)Δ5。。與AoCE相似時，求線段。。的

長度；

(3)如圖2,P是拋物線上位于第一象限的一個動點，在線段OC和直線x=3上是否分別存在點F,G,使8,F,

G,尸為頂點的四邊形是以8尸為一邊的矩形？若存在，求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)把小-2,0),8(0,4)兩點代入拋物線表達(dá)式列方程組解出即可；

(2)由題意得，當(dāng)ABDO與AoCE相似時?，只有/8。。=90。，即可求解；

(3)分兩種情況：作輔助線構(gòu)建相似三角形，證明三角形相似或利用等角的三角函數(shù)列等式可解答.

【詳解】解：(D把4-2,0),8(0,4)兩點代入拋物線表達(dá)式得：

一』x4-26+c=0

?2，

c=4

解得：?=1.

[c=4

則拋物線的表達(dá)式為：y=~x2+x+4;

(2)由題意得，當(dāng)A8。。與AOCE相似時?，只有/800=90。,

在RtAADO中，tanZDAO=—=-=2,

OA2

貝IJsinZ.DAO=4=,

AB√42+22√5

則DO=OAsinNDAO=2×-?=—；

√55

(3)存在，

B,F,G,P為頂點的四邊形是以8F為一邊的矩形有兩種情況:

設(shè)尸(f,-g/+∕+4),

①如圖1,過點尸作P”_Ly軸于/7,

???四邊形BPGp是矩形,

/.BP=FG,ZPBF=ZBFG=9。。，

:.ACFG+ABFO=ΔBFO+ZOBF=NCFG+ΔCGF=NoBF+APBH=90°,

ZPBH=ZOFB=ZCGF,

???/PHB=/FCG=90。,

,APHB"FCG(AAS),

:.PH=CF,

：.CF=PH=t,OF=3-t,

???ZPBH=ZOFB,

翁需即4

--t2+r÷4-43-

2

解得：4=0（舍），G=L

尸(2,0)；

②如圖2,過點G作GNLy軸于N,過點尸作PM，1軸于〃，

圖2

同①可得：NG=FM=3,OF=t—3,

???/OFB=ZFPM,

.,.tan/.OFB=tanZ.FPM，

...史=也，即-=—?一,

OFPM-3一h+t+4

2

解得：f=ι+阿或I-廊(舍)，

44

^√2θT-llQ

???F(——--(0)；

綜上，點廠的坐標(biāo)為(2,0)或(正正??,0).

4

8.(2023?梁山縣一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線歹=加2+樂+9<0)與工軸交于4-2,0)、8(4,0)兩

點，與y軸交于點C,且OC=20/.

(1)試求拋物線的解析式；

(2)直線y=h+16>0)與y軸交于點。，與拋物線交于點尸，與直線BC交于點"，記"?=黑，試求機(jī)的最

大值及此時點P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，加取最大值時