專題Ol導數(shù)的運算

?.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

基本初等函數(shù)導函數(shù)

4X)=C(C為常數(shù))/(X)=O

./U)=Xa(α∈Q,α≠0)f(x)-axa1

火X)=SinXf(X)-COSX

fix)=COSX/(X)=-SinX

fix)=a?a>0?cι≠i)/(%)=α'lna

Λ-r)=et/W=ev

,穴X)=Iog(K(α>0且存1),，⑴-xlna

/(x)=:

T(X)=InX

2.導數(shù)的運算法則

若了(X)，g'(χ)存在，則有[cKx)Y=c7(x);[∕U)±g(χ)]'=Λχ)±g'(χ);[Aχ)g(χ)]'=F(X)g(χ)+火χ)g'(χ);[爆]'

3.復合函數(shù)的定義及其導數(shù)

(1)一般地，對于兩個函數(shù)y=Λ")和“=g(x),如果通過中間變量小y可以表示成X的函數(shù)，那么稱這

個函數(shù)為函數(shù))=火〃)與"=g(χ)的復合函數(shù)，記作y=7(g(χ)).

(2)復合函數(shù)y=Wg(x))的導數(shù)和函數(shù)>=.*〃)，M=g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為y'χ-y',,?u'x,即y對X的導數(shù)等

于y對“的導數(shù)與"對X的導數(shù)的乘積.

【方法總結(jié)】

導數(shù)運算的原則和方法

基本原則：先化簡、再求導；

具體方法：

(1)連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導；

(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導；

(3)對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導；

(4)根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)幕的形式，再求導；

(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導；

(6)復合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導.

【例題選講】

［例1］求下列函數(shù)的導數(shù)：

(l)y=x2sinx；

COSx

(2)y=';

(3)y=xsin(2x+5cos(2x+。

(4)y=ln(2χ-5).

解析(l)y'=(%2)'sinx+x2(sinx),=2xsinx+x2cosx.

,(COS斗(CoSr)'σv-cosMe")'SinX+cosX

-2v

(2)y-(e-vJ(e?)-e

(3)Vj=xsin^2x÷^cos^2Λ÷^=?^xsin(4x+π)=—^xsin4x,

?'?yr=一；Sin4χ-^x?4cos4x=—；Sin4χ-2xcos4x.

122

(4)令u=2x-5,y=lnu.貝Uy'=(lnu),u,-?_?2???即y'=__

L?Λ,JN?人J乙XtJ

e'e

[例2]⑴(2020?全國ΠI)設函數(shù)段)=3.若/(1)=不貝IJa=.

答案1解析/(X)=Kh)T=e'(”；1),則/(D=芳^=今整理可得“2-2α+ι=o,解得

J(X十〃)~(X十a(chǎn))，J3+D4

Q=L

(2)已知函數(shù)兀0的導函數(shù)為/(x),ΛΛ)-2X2-3√(1)+1ΠX,則式1)=.

答案T解析'：^=2x2-??(1)+InX,.?√(Λ)=4χ-3/(1)+?將x=l代入，得了⑴=4一"(1)

+1.得/(I)=*.?Ax)=2χ2-澤+lnx,.?J(1)=2—竽=-；.

,

(3)已知力(X)=SinX+cosX,∕j+ι(x)是從工)的導函數(shù)，即及(X)=∕i'(x),力(X)=及3，…，fn+↑(x)=fn(x)9n

∈N*,則我022。)等于()

A.-sinχ-cosxB.SinX-cosxC.—sinx+cosxD.SinX+cosX

答案C解析:力(X)=Sinx÷cosx,，力(X)=力'(x)=COS九一sinx,fi(x)=fι,(x)=~sinχ-cosx,力(x)

=力'(%)=-cosx+sinx,f5(x)=J4,(x)=sinx+cosx,.\/；Ja)的解析式以4為周期重復出現(xiàn)，V2022=4×505

÷2,，及022(X)=&(X)=CoSX—sinX,故選C.

(4)(多選)給出定義：若函數(shù)40在。上可導，即/(%)存在，且導函數(shù)/(x)在。上也可導，則稱兀0在。

上存在二階導函數(shù)，記/(X)=(Ax))',若廣(x)V0在。上恒成立，則稱1x)在。上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)

在(0,習上是凸函數(shù)的是()

A.y(x)=sinx÷cosxB.J(x)=lnx~2xC.J(x)=xi+2χ-1D.j(x)=xex

β,

答案AB解析對于A:/(x)=COSX—sinX,?(?)=—sin?-cosx9?"∈(θ,..∕(x)<0,應x)在

(0,圖上是凸函數(shù)，故A正確.對于B:7(X)=；—2,/M(X)=一9<0,故犬尤)在(0,3上是凸函數(shù)，故B正

確；對于C:/(X)=3X2+2,/，(X)=6X>0,故KX)在(0,勻上不是凸函數(shù)，故C錯誤；對于D:/(x)=(x+l)et,

∕,(Λ)=(Λ+2)e'>0,故y(x)在(0,§上不是凸函數(shù)，故D錯誤.故選AB.

(5)已知y(x)的導函數(shù)為了(X),若滿足4(χ)-yu)=χ2+χ,且大1)21,則y(x)的解析式可能是()

A.x2~x?nx+xB.x2-xlnx-xC.x2+x↑nx+xD.x2÷2xlnx÷x

答案C解析由選項知兀V)的定義域為(O,+oo),由題意得的專?=1+；,即［華｝=1+：,故號

=X+lnx+c(c為待定常數(shù)),即√(X)=Λ2+(InX+c)x.又41巨1,則它0,故選C.

【對點訓練】

1.下列求導運算正確的是()

A.(x+5=l+9B.(log”)'=孤

C.(5Ay=5vlog5XD.(x2cosx)f=-2xsinx

I.答案B解析(log2%)'=g5,故B正確.

2.函數(shù)y=xcosx-SinX的導數(shù)為()

A.xsinXB.—xsinxC.XCOSXD.-χcosx

2.答案B解析y=√cos?+?(eosx)r-(sinx)z=cosχ-xsinχ-cosx=_xsinx.

3.(多選)下列求導運算正確的是()

A.(Sina)'=cosa(α為常數(shù))B.(sin2x),=2cos2x

D.(eχ-lnx+2r2),=ev-∣+4x

3.答案BCD解析?.%為常數(shù)，.?.sinα為常數(shù)，.?.(sinαy=O,故A錯誤.由導數(shù)公式及運算法則

知B,C,D正確，故選BCD.

?i∏Y\

4.己知函數(shù)於)="5+⑶，則/U)=

12缶刀士(sin?/eosx-sinx?(cosx)zcos2x+sin2x12

4.答案解析/3=----------------------------------+(X2片+(—2)X3=的不一尹

5.已知函數(shù)7U)的導函數(shù)為，(%),記力α)=∕(x),啟x)=∕ι(X),…，fn+↑(x)=fn(x)(n∈N*),若y(x)=xsinx,

則及(M9(x)+及021(x)=()

A.-2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sinx

5.答案D解析由題意，y(x)=xsinxff↑(?)=f(x)=sinx+xcosxf力(元)=/I(X)=COS%+COSX—尢SinX=

-3(

2cosX—xsinx,fi,(x)=AW=3sinχ-χcosx,力(犬)=/工)=-4CoSx+xsinxf/(X)=∕4(x)=5sinΛ÷ΛCOS

X,據(jù)此可知力oi9(x)=-2019Sin九一xcosjv,及02i(x)=2021SinX+xcosx,所以尬19(x)+及02i(x)=2Sin

X,故選D.

6.Xx)=x(2021+Inx),若/(w)=2022,則均等于()

A.e2B.1C.In2D.e

6.答案B解析了(犬)=2021+111%+公：=2022+山.又，(向)=2022,得2022+111*0=2022,則111刀0

=0,解得XO=1.

7.已知函數(shù)/U)=+e"cosx,若/(0)=-1,貝IJa=

―⑷一］)'

7.答案2解析f(x)=excosχ-evsinx=~τ~^+excosχ-σvsinx,.,./(O)=—α+1=—1,

(αv-1)2(aχ-?y

則a=2.

8.已知函數(shù)於)=ln(2χ-3)+Ote),若/(2)=1,貝IJa=.

12

8.答案e2解析f(x)=T~~:(2x—3y+aex+ax?(exy=τ~^~^+ae~x-cυcex,.?f(2)=2+ae2-2ae2

=2-ae~2=1,則^=e2.

9.己知函數(shù)的導函數(shù)為/(x),且滿足關(guān)系式段)=∕+34(2)+lnx,則/(2)的值等于()

99

A.-2B.2C.-WD.1

9.答案C解析因為段)=Λ2+3叭2)+lnx,所以八x)=2v+4(2)+5，所以/(2)=2x2+3?f(2)+g,解

9

得/(2)=F

io.己知yu)=N+2√(i),則/(0)=.

10.答案一4解析?.7(x)=2x+2∕(l),Λ∕(1)=2+2T(1),Λ∕(l)=-2,Λ∕(0)=2T(l)=2×(-2)=-4.

11.設函數(shù)7U)在(0,+8)內(nèi)可導，其導函數(shù)為/(x),且y∏nx)=x+lnΛ:,則/⑴=.

11.答案1+e解析因為y(lnx)=κ+lnx,所以犬冗)=九+e?,所以/(x)=l+ej,所以/(1)=1+e∣=1+

e.

12.已知了⑴是函數(shù)加)的導數(shù)，加)=/(1)2葉］2,則-2)=()

12-8ln224

l-21n2l-21n2Jl-21n2乙

2

12.答案C解析因為∕α)=∕(l)21n2+2x,所以/(l)=f(l)?21n2+2,解得/(])=1而萬，所以/U)

224

=1-21n2'2ηn2+〃，所以/(2)=i-21n2^1"2+2><2=1-2ln2'

13.(多選)若函數(shù)人X)的導函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則火X)的解析式可能為()

A.y(x)=3cosxB.∕Λ)=Λ3+XC.X%)=x+^D.Xx)=ex÷x

13.答案BC解析對于A,y(x)=3cosx,其導數(shù)/(幻=-3Sinx,其導函數(shù)為奇函數(shù)，圖象不關(guān)于y

軸對稱，不符合題意；對于B,yU)=R+x,其導數(shù)/(x)=3∕+l,其導函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸

對稱，符合題意；對于C,Kx)=x+；,其導數(shù)/(X)=I一白，其導函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，

符合題意；對于D,√(x)=e'+x,其導數(shù)/(χ)=e'+l,其導函數(shù)不是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對稱，不

符合題意.

3

14.於)=嬴ιγ+R,其導函數(shù)為/(χ),貝∣J./(2020)+7(-2020)+/(2019)-/(一2019)的值為()

A.1B.2C.3D.4

14.答案C解析/(x)=m^l+3/,/(—X)=日玲+3/,所以/(x)為偶函數(shù)，/(2019)-/(-2019)

3333ex

=0,因為7U)+