高二人教A版《數(shù)學(xué)》必修5系列教案：2.4等比數(shù)列

《等比數(shù)列》教學(xué)設(shè)計(jì)

【教學(xué)內(nèi)容及內(nèi)容分析】

等比數(shù)列是高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（必修5）第二章第四節(jié)的

內(nèi)容.

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一,它不僅有著廣泛的應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分

期付款的有關(guān)計(jì)算會(huì)用到等比數(shù)列前n項(xiàng)和的一些知識(shí),而且起著承前

啟后的作用一一數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與前面學(xué)到的函數(shù)思想密不

可分,另外也為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備.

在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最重要的數(shù)列模型,并

且等差數(shù)列與等比數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括定義、性質(zhì)、通項(xiàng)

公式、前n項(xiàng)和的公式、兩個(gè)數(shù)的等差（比）中項(xiàng)、兩種數(shù)列在函數(shù)角

度下的解釋等，因此在教學(xué)時(shí)可用對(duì)比方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)

系與區(qū)別.

【學(xué)情分析】教學(xué)對(duì)象是進(jìn)入高中不久的學(xué)生，他們具有一定的分

析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原

因，思維盡管活躍，敏捷，但缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn).

從學(xué)生的思維特點(diǎn)看,很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列的學(xué)習(xí)過程作

對(duì)比,這是一種積極因素,應(yīng)充分利用.但相比等差數(shù)列,等比數(shù)列中要

注意的地方更多，比如說：等比數(shù)列的公比不能為零，等比數(shù)列的各項(xiàng)

都不能為零等,這些細(xì)節(jié)學(xué)生容易忽略,通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生思

維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

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【教學(xué)方法及設(shè)計(jì)意圖】《新課程改革綱要》提出：〃要改變課程

實(shí)施過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)，死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參

與、樂于探究、勤于動(dòng)手,培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知

識(shí)的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力”.針對(duì)這一

目標(biāo),這節(jié)課做了如下設(shè)計(jì)：

(1)通過一個(gè)〃折紙游戲”讓學(xué)生從感性上認(rèn)識(shí)等比數(shù)列，借助豐富

的實(shí)例，使得學(xué)生加深對(duì)等比數(shù)列的認(rèn)識(shí).最終,通過學(xué)生的觀察、分析、

探討得出等比數(shù)列的概念.并且借助這一過程使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于

生活,經(jīng)歷觀察現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)歸納這一過程，促使學(xué)生形成善于

觀察,善于思考的好習(xí)慣.

(2)學(xué)生相互探討,積極思考，以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)為參照

物,探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;通過與指數(shù)函數(shù)的圖像類比，探索等比數(shù)

列的通項(xiàng)公式的圖像特征及指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系.通過這一過程鍛煉學(xué)

生的類比能力.

(3)讓學(xué)生通過具體練習(xí)進(jìn)一步體會(huì)從實(shí)際問題中抽象出等比數(shù)列

模型,提高學(xué)生解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力.

本節(jié)課還滲透了一些數(shù)學(xué)思想方法，比如類比思想、歸納思想、一

般到特殊的思想等.

【三維教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能：通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念;掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)

公式、等比中項(xiàng)、圖像

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特點(diǎn),能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,提高數(shù)學(xué)建摸能

力.

過程與方法：通過現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的數(shù)列模型，讓學(xué)生充分感

受到數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生

活的模型,體會(huì)數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥乏味的,達(dá)到提高學(xué)生

學(xué)習(xí)興趣的目的.

情感、態(tài)度、價(jià)值觀：通過對(duì)等比數(shù)列概念的歸納，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)

生嚴(yán)密的思維習(xí)慣，以及

實(shí)事求是的精神,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.體會(huì)探究過程中的主體作用及探

究問題的方法,經(jīng)歷解決問題的全過程.

【教學(xué)重點(diǎn)】等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式.

【教學(xué)難點(diǎn)】等比數(shù)列和指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系.

【教具】多媒體

【教學(xué)過程】

一、導(dǎo)入新課

情境一：做折紙游戲

首先教師提出問題：一張普通的A4紙,有人說至多只能折九次，你

信嗎?學(xué)生準(zhǔn)備一張紙,動(dòng)手實(shí)踐,結(jié)果發(fā)現(xiàn)折不到九次就折不動(dòng)了.這

時(shí),教師鼓勵(lì)學(xué)生說明原因.學(xué)生討論,教師作補(bǔ)充,共同分析厚度的變

化,得出一個(gè)數(shù)列.教師提問：如果你能夠?qū)φ?0次,猜它的高度將是

多少?學(xué)生紛紛猜測(cè).最后揭示答案：可以在地球和月球之間建一座橋!

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師生結(jié)合剛才的數(shù)列得出高度為2h,并且發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律為：后項(xiàng)是前

項(xiàng)的2倍.

【設(shè)計(jì)意圖】以小游戲開頭,且此結(jié)果出乎預(yù)料,提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

情境二：閱讀書本上給出的四個(gè)實(shí)際情景下的數(shù)列.

教師引入：很有規(guī)律的數(shù)列!生活中，還有這樣的數(shù)列嗎？

布置學(xué)生閱讀課本,提煉模型.

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生重視教材的習(xí)慣,提高學(xué)生的閱讀能力,體會(huì)

數(shù)學(xué)源于生活的實(shí)際.體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維模式.

預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘

二、推進(jìn)新課

(一)歸納上述幾個(gè)數(shù)列共同的特點(diǎn),類比等差數(shù)列給出等比數(shù)列的

定義.

問題一：觀察上述數(shù)列，你能發(fā)現(xiàn)它們存在什么共同的特征嗎?能用

語(yǔ)言來(lái)描述它嗎？學(xué)生相互討論,必要時(shí)教師啟發(fā)學(xué)生類比等差數(shù)列概

括出等比數(shù)列的定義和公比的定義.教師板書定義,共同討論并修正學(xué)

生給出定義中的不足.

【設(shè)計(jì)意圖】由幾個(gè)具體數(shù)列提煉出定義，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能

力,類比等差數(shù)列下定義，增強(qiáng)學(xué)生的類比能力,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)

系.讓學(xué)生發(fā)表自己的見解,強(qiáng)化學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)

能力.

課件展示：下列數(shù)列是否為等比數(shù)列，如果不是,請(qǐng)說明原因：

(3)3,3,3,3,(2)2,0,2,0,(1)2,4,8,24,72,

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學(xué)生互相討論,教師提問學(xué)生回答（1）（2）,結(jié)合學(xué)生回答,在定義的

相應(yīng)部位用彩筆標(biāo)注需要注意的地方：（1）比為同一個(gè)常數(shù)；（2）項(xiàng)不為

零;公比不為零..........

提問學(xué)生回答（3）,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)（3）這個(gè)常數(shù)數(shù)列，既是等比數(shù)列，

也是等差數(shù)列.教師追問：任意一個(gè)常數(shù)數(shù)列既是等比數(shù)列，也是等差

數(shù)列嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合練習(xí)找到定義中的需注意的點(diǎn),講練結(jié)合,使學(xué)生

更好的掌握知識(shí).預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘

（二）類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

問題二：根據(jù)定義，如果我們知道首項(xiàng)和公比，可以寫出第二項(xiàng)、第

三項(xiàng),,,,,如果我們想得到第100項(xiàng)，雖然能得到，但是會(huì)費(fèi)很大的功夫.

這樣就促使我們來(lái)研究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.那同學(xué)們能不能類比等差

數(shù)列的通項(xiàng)公式的研究過程,來(lái)推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？

預(yù)計(jì)：學(xué)生可能想到的方法有三種：不完全歸納法，累乘法,迭代法.提

問學(xué)生,展現(xiàn)學(xué)生風(fēng)采.教師板書通項(xiàng)公式.

師生共同利用通項(xiàng)公式研究開頭折紙問題.50

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板書：通項(xiàng)公式

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生自己解決問題的能力，變〃要我學(xué)"為“我要

學(xué)”.研究折紙問題，呼應(yīng)開頭,并實(shí)現(xiàn)對(duì)通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，加深印

象.

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，求它的首項(xiàng)；93課件展示：例1、一個(gè)等比數(shù)列的第5項(xiàng)是41,

公比是

例2、一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18,求它的第一

項(xiàng)和第二項(xiàng).

預(yù)計(jì)：學(xué)生可能想到的例2的解法,一是利用方程的思想,二是利用

等比數(shù)列的定義,三是等比中項(xiàng)的思想來(lái)做題，但現(xiàn)在還不知道等比中

項(xiàng)的概念）

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟悉等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,并能靈活應(yīng)用之.結(jié)

合例2,鍛煉學(xué)生思維的靈活性,并為引入等比中項(xiàng)的概念做鋪墊，使知

識(shí)點(diǎn)過渡自然.

預(yù)計(jì)用時(shí)：12分鐘

（三）比照等差中項(xiàng)的定義,請(qǐng)學(xué)生自己總結(jié)出等比中項(xiàng)的概念.

2項(xiàng)呢？1項(xiàng)、第n問題三：通過剛才的例2,我們發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列

的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)也是成等比的，那第5項(xiàng)、第6項(xiàng)、第7項(xiàng)

呢?第n項(xiàng)、第n

學(xué)生簡(jiǎn)單考慮,就能回答出來(lái).教師引導(dǎo)學(xué)生給出證明.

教師追問：這和以前我們學(xué)到的哪部分知識(shí)點(diǎn)有些相似呢？（生回答:

等差中項(xiàng)）你能類等差中項(xiàng)的概念，自己給出等比中項(xiàng)的概念嗎？

學(xué)生作答,教師補(bǔ)充并板書定義.

【設(shè)計(jì)意圖】類比舊知識(shí),探究新定義,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

課件展示：

練習(xí)：1、判斷：任意兩個(gè)數(shù)都有等比中項(xiàng).

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追問：任意兩個(gè)非零的數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？

學(xué)生討論作答,教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)有等比中項(xiàng)的兩個(gè)數(shù)符號(hào)必須一

致.

2、填數(shù)，使下列幾個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列：

(1)1.(),16(2)1,2,(),8,16

學(xué)生討論作答,教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，等比數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)一致，

偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)一致.

【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)定義中需注意的地方,加深對(duì)概

念的理解.預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘

(四)學(xué)以致甩例題分析

例3、一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10,第3項(xiàng)是20,求它的首項(xiàng)和第4

項(xiàng).

例4：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的這種

物質(zhì)是原來(lái)的84%,這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)(精確到1年)？

【設(shè)計(jì)意圖】例3加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解,能夠靈活運(yùn)用公式;例4

增強(qiáng)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際的能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí).

預(yù)計(jì)用時(shí)：6分鐘

(五)探索等比數(shù)列通項(xiàng)公式的圖像特征

問題四：《數(shù)學(xué)1》中也有〃半衰期”的問題，還有〃細(xì)胞分裂”、〃

復(fù)利計(jì)算”的練習(xí)，當(dāng)時(shí)是用什么方法解決的?它和數(shù)列之間有什么樣

的聯(lián)系？

帶著問題布置學(xué)生做書上的〃探究”(2),(3).

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高二人教A版《數(shù)學(xué)》必修5系列教案：2.4等比數(shù)列

啟發(fā)學(xué)生將等比數(shù)列和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系起來(lái),讓學(xué)生描點(diǎn)作圖畫出

上述兩組圖像，然后交流、討論、歸納出來(lái)兩者的關(guān)系.復(fù)習(xí)等差數(shù)列

通項(xiàng)公式的圖像特征，作對(duì)比加深印象.

【設(shè)計(jì)意圖】通過用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)解決類似的數(shù)學(xué)問題,揭示數(shù)

學(xué)知識(shí)是相互關(guān)聯(lián)的.啟發(fā)學(xué)生從不同角度去看問題.

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預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘

三、課后探究(數(shù)學(xué)興趣小組課下活動(dòng))

課件顯示：探究一：1、利用推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

的方法，由下列數(shù)列的遞推公式求出通項(xiàng)公式：

n;1an1,an(l)al

1Inan1,ann.(2)al

探究二做課后練習(xí)1,3,4,結(jié)合練習(xí)，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，自主研

究等比數(shù)列的性質(zhì).

［設(shè)計(jì)意圖】課后探究給學(xué)有余力的學(xué)生創(chuàng)造更廣闊的數(shù)學(xué)空間.

預(yù)計(jì)用時(shí)：1分

四、小結(jié).

【設(shè)計(jì)意圖】預(yù)計(jì)用時(shí)：1分鐘

五、作業(yè)

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