第12講排列組合本講義整體上難度中等偏上，題目有一定的分層，題量略大！1排列概念從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2階乘n!表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，規(guī)定0!=1．3排列數(shù)從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號Anm表示A或A4組合概念一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.5組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)．用符號CnC規(guī)定Cn6組合數(shù)的性質(zhì)①Cnm=Cnn-m；②【題型1】排列和組合的概念【知識點(diǎn)解讀】1排列概念從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.【例】若從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少種不同的三位數(shù)？解利用樹狀圖易得共24種可能.個(gè)位1234十位234134124123百位342423341413241412321312題目的要求是取出3個(gè)數(shù)字按照“個(gè)位”、“十位”、“百位”的順序依次排成一列，其中元素“123”和“132”不是同一元素,因?yàn)樗鼈兊拇涡虿灰粯?故排列講究的是“順序”！2組合概念一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.解釋(1)組合的舉例：從高二(1)班50個(gè)學(xué)生中選5個(gè)學(xué)生組個(gè)籃球隊(duì)；從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人參加一項(xiàng)活動(dòng).(2)排列與組合的區(qū)別排列是講“順序”，而組合不講“順序”，比如①一個(gè)班有50個(gè)學(xué)生，選兩個(gè)班長有多少種選法？②一個(gè)班有50個(gè)學(xué)生，選正副班長各1人有多少種選法？①是組合問題，②是排列問題，“選正副班長”就意味著：選出的班長還要講“順序”.又比如①從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中選2個(gè)數(shù)字作加法，得數(shù)有多少種結(jié)果？②從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中選2個(gè)數(shù)字作減法，得數(shù)有多少種結(jié)果？①是組合問題，②是排列問題，“兩個(gè)數(shù)字作減法”就意味著：誰是減數(shù)誰是被減數(shù)，結(jié)果不一樣，即講究“順序”.【典題1】判斷下列問題是排列問題還是組合問題．(1)把當(dāng)日動(dòng)物園的4張門票分給5個(gè)人，每人至多分一張，而且票必須分完，有多少種分配方法？(2)從2，3，(3)從9名學(xué)生中選出4名參加一個(gè)聯(lián)歡會(huì)，有多少種不同選法？解析(1)是組合問題．由于4張票是相同的(都是當(dāng)日動(dòng)物園的門票)，不同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人，這和順序無關(guān)．(2)是排列問題，選出的2個(gè)數(shù)有角色差異(作分子與作分母)．(3)是組合問題，選出的4人無角色差異，不需要排列他們的順序．【鞏固練習(xí)】1.(★)下列問題屬于排列問題的是()①從10個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個(gè)人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；④從數(shù)字5，A．①④ B．①② C．④ D．①③④答案A解析①選出的2人有不同的勞動(dòng)內(nèi)容，相當(dāng)于有順序，故屬于排列，②選出的2人勞動(dòng)內(nèi)容相同，無順序，故不屬于排列，③5人一組無順序，故不屬于排列，④選出的兩個(gè)數(shù)作為底數(shù)或指數(shù)，其結(jié)果不同，有順序，故屬于排列，綜上所述，屬于排列的為①④．故選：A．2.(★)下列問題是排列問題的為(填序號)．①選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；②選2個(gè)小組分別去種菜；③從1，④10個(gè)車站，站與站間的車票．答案①③④解析對于①，選2個(gè)小組安排不同的工作，要求有順序，是排列問題，對于②，選2個(gè)小組分別去種菜，沒有順序，是組合問題，對于③，從1，對于④，車票使用時(shí)有起點(diǎn)與終點(diǎn)之分，故車票的使用是有順序的，是排列問題．故答案為：①③④．【題型2】排列數(shù)和組合數(shù)【知識點(diǎn)解讀】1排列數(shù)從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號Anm表示A或A解釋①為什么Anm等于舉例說明下，從5，4,3,2,1這5個(gè)數(shù)字中選3個(gè)數(shù)字排成三位數(shù)字，用排列數(shù)表示即是A53種可能第一步，選擇個(gè)位數(shù)有5種選法；第二步，選擇十位數(shù)只能在剩下的4個(gè)數(shù)字選，有4種選法；第三步，選擇百位數(shù)只能在剩下的3個(gè)數(shù)字選，有3種選法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×4×3種可能;即A5②Anm=nn-1n-2?n-m+1這排列公式的結(jié)構(gòu)相當(dāng)于“在數(shù)字n到1從大到小依次選m個(gè)數(shù)字連乘”，比如A53=5×4×3=60(從5,4,3,2,1③特別地，把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列.即An④A=A2階乘n!表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，規(guī)定0!=1．【例】3！=3×2×1=63組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)．用符號CnC規(guī)定Cn解釋①從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列(排列數(shù)An可以理解為分為兩步：第一步從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組合，得到組合數(shù)Cn第二步再對m個(gè)元素進(jìn)行排列，得到排列數(shù)AmA②Cnm=n-1n-2?(n-m+1)m!這組合公式的結(jié)構(gòu)相當(dāng)于“在數(shù)字n到1從大到小，選m個(gè)大數(shù)連乘除以m個(gè)小數(shù)連乘”，比如C53=5×4×33×2×1=10(從5,4,3,2,1中“3個(gè)大數(shù)連乘5×4×34組合數(shù)的性質(zhì)①C(比如C108=C102，從10個(gè)抽出8②C(從n+1個(gè)中抽出m個(gè)Cn+1m=抽不到元素A的組合數(shù)Cnm③r(rCnrPS若能理解每個(gè)公式是怎么推導(dǎo)的，有助于靈活運(yùn)用它們！【典題1】若An3=12CA．8 B．4 C．5或6 D．3或4解析由An3=12Cn2，可得：n(n-1)(n-2)=12×n(n-1)2，【鞏固練習(xí)】1.(★★)下列式子錯(cuò)誤的是()A．C72=C7C．A53=C答案D解析直接利用組合數(shù)的性質(zhì)即可判斷A，B是正確的，由組合數(shù)公式C53=A54=5×4×3×2=120，4故選：D．2.(★★)若A2n3=10A．1 B．8 C．9 D．10答案B解析∵A化為：4n-2=5n故選：B．3.(★★)C10A．45B．55C．65D．以上都不對答案B解析由Cmn=Cm4.(★★★)若3An3-6AA．5 B．8 C．7 D．6答案A解析∵3A即3(n-1)(n-2)-6(n-1)=2n故選：A．【題型3】排列問題【典題1】一場晚會(huì)有5個(gè)唱歌節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單(1)前4個(gè)節(jié)目中要有舞蹈，有多少種排法？(2)3個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少種排法？(3)3個(gè)舞蹈節(jié)目彼此要隔開，有多少種排法？解析(1)∵8個(gè)節(jié)目全排列有A8若前4個(gè)節(jié)目中要有舞蹈的否定是前四個(gè)節(jié)目全是唱歌有A5∴前4(2)∵3個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起，∴可以把三個(gè)舞蹈節(jié)目看作一個(gè)元素和另外5個(gè)元素進(jìn)行全排列，三個(gè)舞蹈節(jié)目本身也有一個(gè)排列有A6(3)3個(gè)舞蹈節(jié)目彼此要隔開，可以用插空法來解，先把5個(gè)唱歌節(jié)目排列，形成6個(gè)位置，選三個(gè)把舞蹈節(jié)目排列，有A5【鞏固練習(xí)】1.(★)5本不同的課外讀物分給5位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法有()A．20種 B．60種 C．120種 D．100種答案C解析5本不同的課外讀物分給5位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法為A54=5×4×3×2=1202.(★)有四位司機(jī)、四個(gè)售票員組成四個(gè)小組，每組有一位司機(jī)和一位售票員，則不同的分組方案共有()A．A88種 B．A84種 C．A44答案D解析本題可以看作把四個(gè)司機(jī)看成四個(gè)位置，使得四個(gè)售票員在四個(gè)位置進(jìn)行全排列，故有A44種結(jié)果，故選：3.(★★)世界華商大會(huì)的某分會(huì)場有A，B，C，將甲，乙，丙，丁共4名“雙語”A．12種 B．10種 C．8種 D．6種答案D解析∵甲、乙兩人被分配到同一展臺，∴甲與乙捆在一起，看成一個(gè)人，然后將3個(gè)人分到3個(gè)展臺上的全排列，即有A3∴甲、乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數(shù)A3故選：D．4.(★★)用1，2A．64 B．60 C．24 D．256答案A解析一位的自然數(shù)共有4個(gè)，二位的自然數(shù)共有A4三位的自然數(shù)共有A43=24∴組成數(shù)字不重復(fù)的自然數(shù)的個(gè)數(shù)為4+12+24+24=64，故選：A．5.(★★)一圓形餐桌依次有A，B，C，D，EA．6 B．12 C．72 D．144答案C解析一圓形餐桌依次有A，B，C，D，E，故選：C．6.(★★★)若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”．現(xiàn)從1，2，3，4，5，6A．120個(gè)B．80個(gè)C．40個(gè)D．20個(gè)答案C解析①當(dāng)十位是3時(shí)，個(gè)位與百位從1，2中選有A22種選法；②當(dāng)十位是4時(shí)，個(gè)位與百位有A32種選法；③當(dāng)十位是5時(shí)，個(gè)位與百位有A42種選法；④當(dāng)十位是6時(shí)，個(gè)位與百位有7.(★★★★)用0，1(1)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(2)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？(3)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比1325大的四位數(shù)？答案(1)156；(2)216；(3)270.解析(1)符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：第一類：0在個(gè)位時(shí)有A5第二類：2在個(gè)位時(shí)，首位從1，3，4，5中選定1個(gè)(有A41種)第三類：4在個(gè)位時(shí)，與第二類同理，也有A4由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有四位偶數(shù)：A5(2)五位數(shù)中5的倍數(shù)的數(shù)可分為兩類：個(gè)位上的數(shù)字是0的五位數(shù)有A54個(gè)；個(gè)位上的數(shù)字是5的五位數(shù)有A故滿足條件的五位數(shù)共有A5(3)比1325大的四位數(shù)可分為三類：第一類：形如2□□□，3□□□，第二類：形如14□□，15□□，共有第三類：形如134□，135□，共有由分類加法計(jì)數(shù)原理知，比1325大的四位數(shù)共有：A4【題型4】組合問題【典題1】現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師去外地學(xué)習(xí)的選法有多少種？(3)現(xiàn)要從中選出男、女老師各2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？路分析：首先確定是否是組合問題，再確定完成事情是分步，還是分類．解析(1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即C10(2)可把問題分兩類：第1類，選出的2名是男教師有C62種方法；第2類，選出的2名是女教師有C4(3)從6名男教師中選2名的選法有C62種，從4名女教師中選2名的選法有C42【典題2】課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊(duì)長，現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)只有1名女生當(dāng)選；(2)兩名隊(duì)長當(dāng)選；(3)至少有1名隊(duì)長當(dāng)選；(4)至多有2名女生當(dāng)選；(5)既要有隊(duì)長，又要有女生當(dāng)選．解析(1)只有1名女生當(dāng)選，有C5(2)兩名隊(duì)長當(dāng)選，有C11(3)至少有1名隊(duì)長當(dāng)選，有C13(4)至多有2名女生當(dāng)選，有C8(5)男隊(duì)長當(dāng)選，有1名男生，4名女生，有C5有2名男生，3有名女生，有C7有3名男生，2名女生，有C7有4名男生，1名女生，有C7共計(jì)5+70+210+175=460種男隊(duì)長不當(dāng)選，則女隊(duì)長當(dāng)選，有5名女生，有C4有1名男生，4名女生，有C7有2名男生，3有名女生，有C7有3名男生，2名女生，有C7有4名男生，1名女生，有C7共計(jì)1+28+126+140+35=330種，既要有隊(duì)長，又要有女生當(dāng)選，則有460+330=790種選法【鞏固練習(xí)】1.(★★)4位同學(xué)每人從甲、乙、丙3門課程中選修2門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有()A．12種B．24種C．30種D．36種答案B解析從4人中選取2人的組合數(shù)有C42=6種選法選修甲課程，則這2人在從乙丙中選一門各有2種選法依據(jù)乘法原理，故有6×2×2=242.(★★)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學(xué)參加上海世博會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加.甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙丁戌都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是()A．152B.126C.90D.54答案B解析分類討論：若有2人從事司機(jī)工作，則方案有C32A33=18；若有1人從事司機(jī)工作，則方案有3.(★★)某高中的4名高三學(xué)生計(jì)劃在高考結(jié)束后到西藏、新疆、香港等3個(gè)地區(qū)去旅游，要求每個(gè)地區(qū)都要有學(xué)生去，每個(gè)學(xué)生只去一個(gè)地區(qū)旅游，且學(xué)生甲不到香港，則不同的出行安排有()A．36種B．28種C．24種D．22種答案C解析學(xué)生甲不到香港，則甲可以到在西藏、新疆，有A2另外三個(gè)同學(xué)可以在三個(gè)位置排列A3也可以從三個(gè)中選兩個(gè)為一組，在其余的2個(gè)地方排列C3不同的分配方案有A2故選：C．4.(★★)某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為()A．360B．520C．600D．720答案C解析分兩類：第一類，甲、乙中只有一人參加，則有C2第二類，甲、乙都參加時(shí)，則有C5∴共有480+120=600種選法．5.(★★★)2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是()A．72 B．60 C．36 D．24答案A解析根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①、把3位女生分為2組，有C3②，將2位男生全排列，有A2③，2位男生全排列后形成的3個(gè)空位，在其中任選2個(gè)，安排2個(gè)女生組，需要考慮2個(gè)女生組兩人之間的順序，有A3故有3×2×12=72種不同排法，故選：A．6.(★★★★)從包括A，B兩人的7個(gè)人中選出(1)若任意選5人，有多少種不同的排法？(2)若A，(3)若A，B兩人都在內(nèi)且(4)若排頭和排尾不允許站A，正中間(第三位)不允許站B，有多少種不同的排法？答案(1)2520；(2)1200；(3)720；(4)1560.解析(1)從7人中任選5人來排隊(duì)共有A7(2)先從A，B兩人中任選1人有再從剩余的5人中任選4人有C54種不同的方法，再將選出的共有C2(3)因A，B都在內(nèi)，所以只需從余下5人中選3人有C5使用插空法共有C5(4)第一類：所選5人無A、B，有第二類：所選5人有A無B，有第三類：所選5人無A有B，有第四類：所選5人有A、B，若A排中間時(shí)，有C11?C5綜上，共有種1560不同排法．1.(★)已知An2=132A．11 B．12 C．13 D．14答案B解析∵A整理，得n2解得n=12，或n=-11(不合題意，舍去故選：B．2.(★)3張不同的電影票全部分給10個(gè)人，每人至多一張，則有不同分法的種數(shù)是()A．1260B．120C．240D．720答案D解析由題意知有A103=10×9×8=7203.(★★)2010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有()♀源€網(wǎng)A.36種B.12種C.18種D.48種答案A解析方法一：從后兩項(xiàng)工作出發(fā)，采取位置分析法.A方法二：分兩類：若小張或小趙入選，則有選法C2選法A22A324.(★★★)由1，2，3，4，5A．72B．96C．108D．144答案C解析第一步，先將2，4，6全排，有Aeq\o\al(3,3)種排法．第二步，將1，3，5分別插入2，4，6排列產(chǎn)生的前3個(gè)空中，若1，3相鄰且不與55.(★★★)只用1，2，3A．6個(gè) B．9個(gè)C．18個(gè) D．36個(gè)答案C解析注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個(gè)數(shù)字共有C31=3(種)選法，即1231，1232，1233，而每種選擇有A22C36.(★)某年全國足球聯(lián)賽共有12個(gè)隊(duì)參加，每隊(duì)都要與其他各隊(duì)在主客場分別比賽一次，則共進(jìn)行比賽__________場．答案132解析將參加比賽的12個(gè)隊(duì)看作12個(gè)元素，每一場比賽即為從12個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的一個(gè)排列(設(shè)排在前面的隊(duì)為主場比賽)．總共比賽