第09講離散型隨機(jī)變量及其分布列【人教A版2019】·模塊一離散型隨機(jī)變量及其分布列·模塊二兩點(diǎn)分布·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一離散型隨機(jī)變量及其分布列1．隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量(1)隨機(jī)變量

①定義：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間中的每個(gè)樣本點(diǎn)，都有唯一的實(shí)數(shù)X()與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.

②表示：通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值.

③隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系

聯(lián)系：隨機(jī)變量與函數(shù)都是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，樣本點(diǎn)相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，樣本空間相當(dāng)于函數(shù)的定義域.

區(qū)別：樣本空間不一定是數(shù)集，隨機(jī)變量的取值X()隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，而函數(shù)是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的一一對(duì)應(yīng).

(2)離散型隨機(jī)變量

可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.2．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)定義

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為，，，，我們稱X取每一個(gè)值的概率P(X=)=，i=1，2，，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.(2)分布列的表格表示Xx1x2xnPp1p2pn分布列也可以用等式形式表示為P(X=)=，i=1，2，，n，還可以用圖形表示.

(3)離散型隨機(jī)變量分布列具有的兩個(gè)性質(zhì)

①0，i=1，2，，n；

②+++=1.【考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量】【例1.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為（

）①高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X1②一個(gè)沿直線y=2x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離X2③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)X3④某電子元件的壽命X4A．①② B．③④ C．①③ D．②④【解題思路】根據(jù)給定條件，利用離散型隨機(jī)變量的定義分析各命題，再判斷作答.【解答過程】對(duì)于①，半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，故①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿直線y=2x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來，故②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)可以一一列舉出來，故③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，故④不是離散型隨機(jī)變量；故選：C.【例1.2】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）將一顆質(zhì)地均勻的骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是（）A．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和B．兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)C．第一次與第二次擲出的點(diǎn)數(shù)之差D．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)【解題思路】根據(jù)隨機(jī)變量的定義，結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解答過程】A中，將一個(gè)骰子擲兩次，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是一個(gè)變量，且隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，是一個(gè)隨機(jī)變量．B中，兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)是一個(gè)變量，且隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，是一個(gè)隨機(jī)變量．C中，第一次與第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是一個(gè)變量，且隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，之差也都是隨機(jī)變量，D中，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)不是一個(gè)變量，所以不是隨機(jī)變量．故選：D.【變式1.1】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)D．袋中有2個(gè)黑球6個(gè)紅球，任取2個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性【解題思路】根據(jù)離散型隨機(jī)變量定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【解答過程】對(duì)于A，擲硬幣只有正面向上和反面向上兩種結(jié)果，則擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和為5，是常量，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，等出租車的事件是隨機(jī)變量，但無法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)是有限個(gè)或可列舉的無限多個(gè)，是離散型隨機(jī)變量，C正確；對(duì)于D，事件發(fā)生的可能性不是隨機(jī)變量，D錯(cuò)誤.故選：C.【變式1.2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)ξ；②一個(gè)沿直線y＝2x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置η；③某指揮臺(tái)5分鐘內(nèi)接到的雷達(dá)次數(shù)X；④某同學(xué)離開哈爾濱市第三中學(xué)的距離Y；其中是離散型隨機(jī)變量的為（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【解題思路】根據(jù)給定條件，利用離散型隨機(jī)變量的定義分析各命題，再判斷作答.【解答過程】對(duì)于①，半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿直線y＝2x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，5分鐘內(nèi)接到的雷達(dá)次數(shù)可以一一列舉出來，③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某同學(xué)離開哈爾濱市第三中學(xué)的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機(jī)變量，所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③.故選：C.【考點(diǎn)2

求離散型隨機(jī)變量的分布列】【例2.1】（2023下·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記偶數(shù)點(diǎn)朝上的骰子的個(gè)數(shù)為X，則X的分布列為（

）A．X12P11B．X01P11C．

X012P111D．

X012P111【解題思路】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列，即可寫出答案.【解答過程】因?yàn)槊棵恩蛔优紨?shù)點(diǎn)朝上的概率為12，且相互獨(dú)立，XPX=0=12×所以X的分布列為：X012P111故選：C.【例2.2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）下列表中能成為隨機(jī)變量ξ的分布列的是（

）A．ξ－101P0.30.40.4B．ξ123P0.40.7－0.1C．ξ－101P0.30.40.3D．ξ123P0.20.40.3【解題思路】利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)即可.【解答過程】A中，0.3＋0.4＋0.4＝1.1＞1，不符合要求，故A錯(cuò)誤；B中，－0.1＜0，不符合要求，故B錯(cuò)誤；C中，0.3，0.4，0.3均大于0，且0.3＋0.4＋0.3＝1，符合要求，故C正確；D中，0.2＋0.4＋0.3＝0.9＜1，不符合要求，故D錯(cuò)誤.故選：C.【變式2.1】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）全班有40名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)作業(yè)的成績(jī)?nèi)缦拢悍謹(jǐn)?shù)012345人數(shù)01312204現(xiàn)從該班中任選一名學(xué)生，用X表示這名學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)成績(jī)，求隨機(jī)變量X的分布列．【解題思路】根據(jù)古典概率公式求PX=i【解答過程】解：由題意可得PX=0=0PX=2=3PX=4=20因此，隨機(jī)變量X的分布列是X012345P00.0250.0750.30.50.1【變式2.2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01234P0.20.10.10.3m求隨機(jī)變量η=X?1【解題思路】由題意隨機(jī)變量η=X?1的可能取值為0,1,2,3【解答過程】由題可知知m=1?0.2?0.1?0.1?0.3=0.3，列表為：X01234X?110123P0.20.10.10.30.3∴Pη=1PPη=3故η=X?1η0123P0.10.30.30.3【考點(diǎn)3利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題】【例3.1】（2023下·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）若隨機(jī)變量X的分布列為X?2?10123P0.10.20.10.30.10.2則當(dāng)PX<a=0.7時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A．?∞,2 C．1,2 D．1,2【解題思路】可由分布列的性質(zhì)直接求解.【解答過程】由隨機(jī)變量X的分布列知:PX<?1則當(dāng)PX<a=0.7時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：C.【例3.2】（2023下·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=ia(i=1，2，3，4，5)A．13 B．12 C．35【解題思路】由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)即概率和等于1，可求得a的值，又由P2≤X<5【解答過程】根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的分布列為PX=i由分布列的性質(zhì)，則有i=15ia故P2≤X<5=2故選：C.【變式3.1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ?101Pabc其中2b=a+c，則P(ξ=1)等于（A．13 B．C．12 D．【解題思路】利用離散型隨機(jī)變量的分布列中各概率之和為1可求.【解答過程】∵2b=a+c，且a+b+c=1，解得b=1∴P(ξ故選：D.【變式3.2】（2023下·安徽宿州·高二校考階段練習(xí)）若隨機(jī)變量的分布列如表，則P(|X?2|=1)的值為（

）X1234P11a1A．512 B．12 C．712【解題思路】根據(jù)概率分布列的性質(zhì)求出a的值，由P(|X?2|=1)=P(X=1)+P(X=3)求得結(jié)果．【解答過程】根據(jù)題意可得a=1?1所以P(|X?2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=1故選：A.模塊二模塊二兩點(diǎn)分布1．兩點(diǎn)分布(1)兩點(diǎn)分布的定義

對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，表示“失敗”，定義X=

如果P(A)=p，則P()=1p，那么X的分布列如下表所示.X01P1pp我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0—1分布.(2)兩點(diǎn)分布理解

兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能值，且其概率之和為1.可設(shè)任意一個(gè)為0，另一個(gè)相應(yīng)為1.【考點(diǎn)1

兩點(diǎn)分布】【例1.1】（2023下·重慶永川·高二校考期中）隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且PX=1=0.2，令Y=3X?2，則PY=?2A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)分布的性質(zhì)求出PX=0，則P【解答過程】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且PX=1所以PX=0由Y=3X?2，所以PY=?2故選：D.【例1.2】（2023下·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考期中）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，且PX=0=2?5PX=1=a，則A．34 B．12 C．13【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)分布得PX=0【解答過程】因?yàn)閄的分布列服從兩點(diǎn)分布，所以PX=0又PX=0=2?5PX=1所以PX=0=3故選：A.【變式1.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）袋內(nèi)有10個(gè)紅球，5個(gè)白球，從中摸出2個(gè)球，記X=0,兩球全是白球,【解題思路】由X服從兩點(diǎn)分布求解.【解答過程】解：由題設(shè)知X服從兩點(diǎn)分布，且PX=0=C所以X的分布列為X01P219【變式1.2】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中，有1件不合格品，現(xiàn)從中任意抽取2件進(jìn)行檢查，若用隨機(jī)變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求X的概率分布．【解題思路】由題意可得X服從兩點(diǎn)分布，利用古典概型概率公式，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.【解答過程】由題意知，X服從兩點(diǎn)分布，PX=0=C所以隨機(jī)變量X的概率分布為X01P991【考點(diǎn)2兩個(gè)相關(guān)的隨機(jī)變量的分布列問題】【例2.1】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為X01234P0.150.150.150.25m若隨機(jī)變量Y=X?2，則P(Y=2)等于（）A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7【解題思路】由概率和為1求出m可得答案.【解答過程】由0.15＋0.15＋0.15＋0.25＋m＝1，得m＝0.3，所以PY=2故選：A.【例2.2】（2023下·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X0123Pa15a1若離散型隨機(jī)變量Y=2X+1，則PY≥5=（A．712 B．512 C．56【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出a，再根據(jù)隨機(jī)變量之間的函數(shù)關(guān)系即可求解.【解答過程】由分布列的性質(zhì)可知：a+13+5a+由Y=2X+1，Y≥5等價(jià)于X≥2，由表可知PX≥2故選：A.【變式2.1】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）某快餐店的小時(shí)工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1000元，每工作1小時(shí)獲取30元．從該快餐店中任意抽取一名小時(shí)工，設(shè)其月工作時(shí)間為X小時(shí)，獲取的稅前月工資為Y元．(1)當(dāng)X=110時(shí)，求Y的值；(2)寫出X與Y之間的關(guān)系式；(3)若PX≤120=0.6，求【解題思路】（1）根據(jù)底薪1000元，每工作1小時(shí)獲取30元求解；（2）根據(jù)底薪1000元，每工作1小時(shí)獲取30元求解；（3）由（2）得到X≤120?Y≤4600求解.【解答過程】（1）當(dāng)X=110時(shí)，表示工作了110個(gè)小時(shí)，所以Y=110×30+1000=4300．（2）由題意得：Y=30X+1000．（3）因?yàn)閄≤120?30X≤3600?30X+1000≤4600?Y≤4600，所以P(Y≤4600)=P(X≤120)=0.6，從而P(Y>4600)=1?P(Y≤4600)=1?0.6=0.4.【變式2.2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示．X?2?10123P111111(1)求隨機(jī)變量Y=X(2)若PY<x=11【解題思路】（1）先根據(jù)Y=X2及X的所有可能取值得Y的所有可能取值，再根據(jù)X的取值的概率求出Y的取值的概率，從而可得（2）根據(jù)Y的分布列可求出結(jié)果.【解答過程】（1）由隨機(jī)變量X的分布列知，Y的可能取值為0，1，4，9，則PY=0PY=1=P(X=?1或X=1)PY=4=P(X=?2或X=2)PY=9可得隨機(jī)變量Y的分布列如表所示．Y0149P1111（2）因?yàn)?3+1又因?yàn)镻Y<x=11∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是4,9．【考點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量的分布列的綜合應(yīng)用】【例3.1】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）習(xí)近平總書記在2020年新年賀詞中勉勵(lì)大家：“讓我們只爭(zhēng)朝夕，不負(fù)韶華，共同迎接2020年的到來.”其中“只爭(zhēng)朝夕，不負(fù)韶華”旋即成了網(wǎng)絡(luò)熱詞，成了大家互相砥礪前行的錚錚誓言，激勵(lì)著廣大青年朋友奮發(fā)有為，積極進(jìn)取，不負(fù)青春，不負(fù)時(shí)代.“只爭(zhēng)朝夕，不負(fù)韶華”用英文可翻譯為：“Seizethedayandliveittothefull.”(1)求上述英語譯文中，e，i，t，a4個(gè)字母出現(xiàn)的頻率(小數(shù)點(diǎn)后面保留兩位有效數(shù)字)，并比較4個(gè)頻率的大小(用“>”連接)；(2)在上面的句子中隨機(jī)取一個(gè)單詞，用X表示取到的單詞所包含的字母?jìng)€(gè)數(shù)，寫出X的分布列.(3)從上述單詞中任選2個(gè)單詞，求其字母?jìng)€(gè)數(shù)之和為6的概率.【解題思路】（1）數(shù)出英語譯文中字母?jìng)€(gè)數(shù)及e，i，t，a四個(gè)字母出現(xiàn)的次數(shù)，利用頻率的計(jì)算公式即可得到答案；（2）求出X所有可能取值對(duì)應(yīng)概率，即可寫出X的分布列；（3）根據(jù)已知條件，上述單詞中任選兩個(gè)單詞其字母?jìng)€(gè)數(shù)之和為6有兩種情況：一種是it，to中任取一個(gè)，再?gòu)膌ive，full任取一個(gè)；另一種是含3個(gè)字母的4個(gè)單詞t?e,day,and,t?e中取兩個(gè)，從而可求出字母?jìng)€(gè)數(shù)之和為6的基本事件的個(gè)數(shù)，再求出總的基本事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型概率計(jì)算公式，即可得到答案.【解答過程】（1）英語譯文中共有29個(gè)字母，e，i，t，a四個(gè)字母出現(xiàn)的次數(shù)分別為5，3，4，2，所以它們的頻率分別為529≈0.17，329≈0.10，其大小關(guān)系為：e出現(xiàn)的頻率>t出現(xiàn)的頻率>i出現(xiàn)的頻率>a出現(xiàn)的頻率.（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為2,3,4,5，P(X=2)=29，P(X=3)=49，所以X分布列為：X2345P2421（3）滿足字母?jìng)€(gè)數(shù)之和為6的情況分為兩種情況：根據(jù)已知條件，上述單詞中任選兩個(gè)單詞其字母?jìng)€(gè)數(shù)之和為6有兩種情況：一種是it，to中任取一個(gè)，再?gòu)膌ive，full任取一個(gè)；另一種是含3個(gè)字母的4個(gè)單詞t?e,day,and,t?e中取兩個(gè)，從含兩個(gè)字母的兩個(gè)單詞中取一個(gè)，再?gòu)暮?個(gè)字母的兩個(gè)單詞中取一個(gè)，其取法個(gè)數(shù)為C2從含3個(gè)字母的4個(gè)單詞中取兩個(gè)，其取法個(gè)數(shù)為C4故所求的概率為P=C【例3.2】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）小張經(jīng)常在某網(wǎng)上購(gòu)物平臺(tái)消費(fèi)，該平臺(tái)實(shí)行會(huì)員積分制度，每個(gè)月根據(jù)會(huì)員當(dāng)月購(gòu)買實(shí)物商品和虛擬商品(充話費(fèi)等)的金額分別進(jìn)行積分，詳細(xì)積分規(guī)則以及小張每個(gè)月在該平臺(tái)消費(fèi)不同金額的概率如下面的表1和表2所示，并假設(shè)購(gòu)買實(shí)物商品和購(gòu)買虛擬商品相互獨(dú)立．表1購(gòu)買實(shí)物商品(元)(0，100)[100，500)[500，1000)積分246概率111表2購(gòu)買虛擬商品(元)(0，20)[20，50)[50，100)[100，200)積分1234概率1111(1)求小張一個(gè)月購(gòu)買實(shí)物商品和虛擬商品均不低于100元的概率；(2)求小張一個(gè)月積分不低于8分的概率；(3)若某個(gè)月小張購(gòu)買了實(shí)物商品和虛擬商品，消費(fèi)均低于100元，求他這個(gè)月的積分X的分布列．【解題思路】（1）分別計(jì)算實(shí)物概率和虛擬商品概率，相乘得到答案.（2）積分不低于8分考慮兩種情況，分別計(jì)算概率相加得到答案.（3）X的可能取值為3，4，5，分別計(jì)算概率得到分布列.【解答過程】（1）小張一個(gè)月購(gòu)買實(shí)物商品不低于100元的概率為12購(gòu)買虛擬商品不低于100元的概率為16，因此所求概率為3（2）根據(jù)條件，積分不低于8分有兩種情況：①購(gòu)買實(shí)物商品積分為6分，購(gòu)買虛擬商品的積分為2，3，4分；②購(gòu)買實(shí)物商品積分為4分，購(gòu)買虛擬商品的積分為4分，故小張一個(gè)月積分不低于8分的概率為14（3）由條件可知X的可能取值為3，4，5.PX=3=1即X的分布列如下：X345P233【變式3.1】（2023上·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽三個(gè)階段，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才有資格進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為12和23，乙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為23和34，丙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為p和(1)甲、乙、丙三人中，哪個(gè)人進(jìn)入決賽的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)入決賽的概率為1136，求p(3)在（2）的條件下，設(shè)甲、乙、丙三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列．【解題思路】（1）根據(jù)題意，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，求得甲、乙、丙進(jìn)入決賽的概率，比較，即可得到答案；（2）各級(jí)題意，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，列出方程，即可求解；（3）由（2）得到丙進(jìn)入決賽的概率，根據(jù)題意得到隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3，求得相應(yīng)的概率，列出分布列.【解答過程】（1）解：甲進(jìn)入決賽的概率為12×2丙進(jìn)入決賽的概率為p?(4因?yàn)?3<p<2顯然，乙進(jìn)入決賽的概率最大，所以乙進(jìn)入決賽的可能性最大.（2）解：因?yàn)榧?、乙、丙三人中恰有兩?duì)進(jìn)入決賽的概率為1136則13整理得12p2?16p+5=0，解得p=因?yàn)?3<p<2（3）解：由（2）知，丙進(jìn)入決賽的概率為12所以甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽的概率分布為13根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3，可得P(ξ=0)=(1?1P(ξ=2)=1P(ξ=3)=1則P(ξ=1)=1?7所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ0123P731115【變式3.2】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）踢毽子在我國(guó)流傳很廣，有著悠久的歷史，是一項(xiàng)傳統(tǒng)民間體育活動(dòng).某次體育課上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中傳遞，先從甲開始，甲傳給乙、丙、丁的概率均為13；當(dāng)乙接到毽子時(shí)，乙傳給甲、丙、丁的概率分別為13，12，16；當(dāng)丙接到毽子時(shí)，丙傳給甲、乙、丁的概率分別為13，12，16；當(dāng)丁接到毽子時(shí)，丁傳給甲、乙、丙的概率分別為13，16，12.假設(shè)毽子一直沒有掉地上，經(jīng)過n次傳毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分別為(1)記丁在前2次傳毽子中，接到毽子的次數(shù)為X，求X的分布列；(2)證明an?1【解題思路】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算求得X的分布列.（2）利用湊配法證得an?14【解答過程】（1）X的所有可能取值為0，1，PX=0PX=1所以X的分布列為X01P54（2）當(dāng)n≥2時(shí)，an當(dāng)n≥2時(shí)，bn=13a所以bn因?yàn)閍n=1所以3an+1=2因?yàn)閍1=0，a2=1所以an?14是首項(xiàng)為所以an?1所以a150故經(jīng)過150次傳毽子后甲接到毽子的概率大于14模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023下·河南周口·高二統(tǒng)考期中）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)ξ；②一個(gè)沿x軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在x軸上的位置η；③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警次數(shù)X；④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離Y．其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義判斷即可.【解答過程】對(duì)于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿x軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，一天內(nèi)接到的報(bào)警次數(shù)可以一一列舉出來，③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機(jī)變量，所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③．故選：B．2．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合比賽得分規(guī)則，分析甲得3分的情況，即可求解.【解答過程】由題意知，甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，其中甲得3分，有兩種情況：甲贏一局輸兩局，甲得分為3分；甲、乙平局三次，甲得分為3分.所以{ξ＝3}表示甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次.故選：D.3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每次投籃的命中率分別為0.8，0.7，他們各自投籃1次，設(shè)兩人命中總次數(shù)為X，則X的分布列為（

）A．X012P0.080.140.78B．X012P0.060.240.70C．X012P0.060.560.38D．X012P0.060.380.56【解題思路】列出X的可能取值，求出每個(gè)X對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列.【解答過程】易知X的可能取值為0，1，2，PX=0=0.2×0.3=0.06，PX=1故X的分布列為X012P0.060.380.56故選：D.4．（2023下·四川成都·高二校考階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量不服從兩點(diǎn)分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)XB．某射擊手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)XC．從裝有除顏色外其余均相同的5個(gè)紅球，3個(gè)白球的袋中任取1個(gè)球，設(shè)X=D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)X【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)分布的概念結(jié)合題意即可求解.【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A，拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)X的取值范圍為{1，2，3，4，5，6}，所以A中的隨機(jī)變量不服從兩點(diǎn)分布；對(duì)于選項(xiàng)B，射擊手射擊一次，有擊中或者不擊中目標(biāo)兩種可能的結(jié)果，B中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布；對(duì)于選項(xiàng)C，袋中只有紅球和白球，取出1個(gè)球，可能取到紅球或者白球，C中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布；對(duì)于選項(xiàng)D，醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)可能成功，也可能失敗，D中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布.故選A.5．（2023下·上海金山·高二?？计谀┰O(shè)隨機(jī)變量X的分布列P(X=i)=k2i(i=1,2,3)，則A．1 B．37 C．47 【解題思路】由離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)求出k，然后求解PX≥2【解答過程】因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列P(X=i)=k所以k21+PX≥2故選：B.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下表是離散型隨機(jī)變量X的分布列，則常數(shù)a的值是（

）X3459Pa111A．16 B．112 C．19【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)運(yùn)算求解.【解答過程】由題意可得：a2+1故選：C.7．（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P11112則下列各式正確的是（

）A．Pξ<3=2C．P2<ξ<4=25【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【解答過程】Pξ<3=110＋15＋1Pξ>1=15＋P2<ξ<4Pξ<0.5=110＋故選：C.8．（2023下·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且PX=1=0.6.設(shè)Y=3X?2，那么PY=?2A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【解題思路】根據(jù)變量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為PY=?2【解答過程】當(dāng)Y=?2時(shí)，由3X?2=?2?X=0，所以PY=?2故選：D.9．（2023下·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）一袋中裝有4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時(shí)從袋中抽取的白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，則PX≤2=（A．45 B．25 C．15【解題思路】由題意，令X=k表示前k個(gè)球?yàn)榘浊?，第k+1個(gè)球?yàn)榧t球，此時(shí)P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)，再進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答過程】令X=k表示前k個(gè)球?yàn)榘浊?，第k+1個(gè)球?yàn)榧t球，此時(shí)P(X=0)=2則P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1故選：A．10．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測(cè)）泊松分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列為P（X=k)=λkk!e?λk=0,1,2,?，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，A．1e4 B．4e4 C．【解題思路】根據(jù)候車人數(shù)為2和3的概率相等求出參數(shù)，再利用泊松分布的概率分布列即可得出答案.【解答過程】由題意可知PX=2=PX=3，即λ所以PX=k從而PX=1故該線路公交車兩個(gè)站臺(tái)各有1個(gè)乘客候車的概率為P=3故選：D.11．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些是離散型隨機(jī)變量？并說明理由．(1)某機(jī)場(chǎng)一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量；(2)某單位辦公室一天中接到的次數(shù)；(3)一瓶果汁的容量為500±2mL.【解題思路】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義，判斷一個(gè)隨機(jī)變量X是否為離散型隨機(jī)變量的關(guān)鍵是判斷隨機(jī)變量X的所有取值是否可以一一列出，由此進(jìn)行判斷．【解答過程】（1）某機(jī)場(chǎng)一年中每天運(yùn)送乘客的數(shù)量可能為0，1，2，3，…，是隨機(jī)變化的，可以一一列出，因此是隨機(jī)變量，也是離散型隨機(jī)變量．（2）某單位辦公室一天中接到的次數(shù)可能為0，1，2，3，…，是隨機(jī)變化的，可以一一列出，因此是隨機(jī)變量，也是離散型隨機(jī)變量．（3）由于果汁的容量在498mL～502mL之間波動(dòng)，是隨機(jī)變量，但不是離散型隨機(jī)變量．12．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒有獎(jiǎng)品．顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列．【解題思路】先列出隨機(jī)變量的可能值，然后求出隨機(jī)變量可能值隨對(duì)應(yīng)的概率即可.【解答過程】抽獎(jiǎng)一次，只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況，故X的取值只有1和0兩種情況．PX=1則PX=0因此X的分布列為：X01P3213．（2023上·上海寶山·高二校考階段練習(xí)）從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200km，遇到紅燈個(gè)數(shù)的概率如下表所示：遇到紅燈個(gè)數(shù)0123456個(gè)及6個(gè)以上概率0.020.1a0.350.20.10.03(1)求表中字母a的值；(2)求至少遇到4個(gè)紅燈的概率.【解