立體幾何一、填空題1．已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為_(kāi)_______． 解析利用圓柱的側(cè)面積公式求解，該圓柱的側(cè)面積為2π×1×2＝4π，一個(gè)底面圓的面積是π，所以該圓柱的表面積為4π＋2π＝6π. 答案6π2.(2015·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)如圖所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AC，PC的中點(diǎn)，PA＝2，AB＝1，求三棱錐CPED的體積為_(kāi)_______． 解析∵PA⊥平面ABCD， ∴PA是三棱錐PCED的高，PA＝2. ∵ABCD是正方形，E是AC的中點(diǎn)， ∴△CED是等腰直角三角形． AB＝1，故CE＝ED＝eq\f(\r(2),2)， S△CED＝eq\f(1,2)CE·ED＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(2),2)·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4). 故VC-PED＝VP-CED＝eq\f(1,3)·S△CED·PA＝eq\f(1,3)·eq\f(1,4)·2＝eq\f(1,6). 答案eq\f(1,6)3．(2015·山東卷改編)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為_(kāi)_______． 解析如圖，由題意，得BC＝2，AD＝AB＝1.繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐的組合體． 所求體積V＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5,3)π. 答案eq\f(5π,3)4．(2015·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)設(shè)α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，l是直線，給出下列四個(gè)命題： ①若α⊥β，l⊥β，則l∥α；②若l⊥α，l∥β，則α⊥β； ③若l上有兩點(diǎn)到α的距離相等，則l∥α；④若α⊥β，α∥γ，則γ⊥β. 其中正確命題的序號(hào)是________． 解析由線線、線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理逐個(gè)判斷，真命題為②④. 答案②④5．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于________． 解析∵EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD， 平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC， 又∵E是AD的中點(diǎn)， ∴F是CD的中點(diǎn)，即EF是△ACD的中位線， ∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\r(2). 答案eq\r(2)6．(2015·全國(guó)Ⅰ卷改編)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有________斛(取整數(shù))． 解析由題意知：米堆的底面半徑為eq\f(16,3)(尺)，體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)πR2·h＝eq\f(320,9)(立方尺)．所以堆放的米大約為eq\f(320,9×1.62)≈22(斛)． 答案227．(2015·南通模擬)已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面．給出以下說(shuō)法： ①若m∥α，n∥α，則m∥n； ②若m⊥α，n?α，則m⊥n； ③若m⊥α，m⊥n，則n∥α； ④若m∥α，m⊥n，則n⊥α； 則上述說(shuō)法錯(cuò)誤的是________(填序號(hào))． 解析法一若m∥α，n∥α，則m，n可能平行、相交或異面，①錯(cuò)； 若m⊥α，n?α，則m⊥n，因?yàn)橹本€與平面垂直時(shí)，它垂直于平面內(nèi)任一直線，②正確； 若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，③錯(cuò)； 若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，可能平行，也可能n?α，④錯(cuò)． 法二如圖，在正方體ABCDA′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.①中，若m為A′B′，n為B′C′，滿足m∥α，n∥α，但m與n是相交直線，故①錯(cuò)．②中，m⊥α，n?α，滿足m⊥n，這是線面垂直的性質(zhì)，故②正確，③中，若m為AA′，n為AB，滿足m⊥α，m⊥n，但n?α，故③錯(cuò)．④中，若m為A′B′，n為B′C′，滿足m∥α，m⊥n，但n∥α，故④錯(cuò)． 答案①③④8.(2015·南師附中模擬)在正三棱錐P-ABC中，M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，若截面AMN⊥平面PBC，則此棱錐中側(cè)面積與底面積的比為_(kāi)_______． 解析如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，且PD與MN的交點(diǎn)為E，連接AE.因?yàn)锳M＝AN，E為MN的中點(diǎn)，所以AE⊥MN，又截面AMN⊥平面PBC，所以AE⊥平面PBC，則AE⊥PD，又E點(diǎn)是PD的中點(diǎn)，所以PA＝AD.設(shè)正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為a，則側(cè)棱長(zhǎng)為eq\f(\r(3),2)a，斜高為eq\f(\r(2),2)a，則此棱錐中側(cè)面積與底面積的比為eq\f(3×\f(1,2)a×\f(\r(2),2)a,\f(\r(3),4)a2)＝eq\r(6). 答案eq\r(6)二、解答題9.(2012·江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直線A1F∥平面ADE. 證明(1)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因?yàn)锳D⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1，又AD?平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1F⊥B1C1. 因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因?yàn)镃C1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD?平面ADE，A1F?平面ADE， 所以A1F∥平面ADE.10．(2015·蘇北四市調(diào)研)如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 證明(1)因?yàn)槠矫鍼AD∩平面ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD. 所以PA⊥底面ABCD. (2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED為平行四邊形． 所以BE∥AD. 又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因?yàn)锳B⊥AD， 且四邊形ABED為平行四邊形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD， 所以PA⊥CD.又因?yàn)镻A∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD， 且CD?平面PCD， 又E，F(xiàn)分別是CD和CP的中點(diǎn)， 所以EF∥PD，故CD⊥EF. 由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.11．(2014·常州監(jiān)測(cè))如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥BC，E，F(xiàn)分別是A1B，AC1的中點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面ABC； (2)求證：平面AEF⊥平面AA1B1B； (3)若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱錐F-ABC的體積． (1)證明如圖連接A1C. ∵直三棱柱A1B1C1-ABC中，AA1C1C是矩形． ∴點(diǎn)F在A1C上，且為A1C的中點(diǎn)． 在△A1BC中，∵E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，∴EF∥BC. 又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)證明∵直三棱柱A1B1C1-ABC中，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥BC. 又∵EF∥BC，AB⊥BC，