第31練正弦定理、余弦定理[基礎(chǔ)保分練]1.在△ABC中，已知a＝2，b＝eq\r(2)，A＝45°，則B＝________.2.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2＋b2＝c2－ab，則C＝________.3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，B＝60°，a＝4，其面積S＝20eq\r(3)，則c＝________.4.(2018·揚(yáng)州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，A＝eq\f(π,3)，b＝2，S△ABC＝3eq\r(3)，則eq\f(a＋b－2c,sinA＋sinB－2sinC)＝________.5.(2018·淮安調(diào)研)在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosA＋acosB＝c2，a＝b＝2，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.6.在△ABC中，已知tanA＝eq\f(1,2)，cosB＝eq\f(3\r(10),10)，若△ABC最長(zhǎng)邊的邊長(zhǎng)為eq\r(10)，則最短邊的長(zhǎng)為_(kāi)_______.7.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，則△ABC的形狀是________________.8.△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足a＝4，asinB＝eq\r(3)bcosA，則△ABC面積的最大值是________.9.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若asinA＝bsinB＋(c－b)sinC，則角A的值為_(kāi)_______.10.銳角△ABC中，AB＝4，AC＝3，△ABC的面積為3eq\r(3)，則BC＝________.[能力提升練]1.在銳角△ABC中，A＝2B，則eq\f(AB,AC)的取值范圍是________.2.若△ABC的內(nèi)角滿(mǎn)足sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，則cosC的最小值是________.3.若滿(mǎn)足∠ABC＝eq\f(π,3)，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一個(gè)，那么k的取值范圍是________.4.在銳角三角形ABC中，b2cosAcosC＝accos2B，則B的取值范圍是________.5.如圖，一座建筑物AB的高為(30－10eq\r(3))m，在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔CD.在它們之間的地面上點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線(xiàn))處測(cè)得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為_(kāi)_______m.6.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積”公式為S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))2))).若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為_(kāi)_______.答案精析基礎(chǔ)保分練1.30°2.120°3.204.eq\f(4\r(21),3)解析由三角形面積公式可得eq\f(1,2)bcsinA＝3eq\r(3)，即eq\f(1,2)×2×c×sineq\f(π,3)＝3eq\r(3)，解得c＝6，結(jié)合余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋62－2×2×6×coseq\f(π,3)＝28，則a＝2eq\r(7).由正弦定理有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R＝eq\f(2\r(7),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(21),3)，結(jié)合合分比定理可得eq\f(a＋b－2c,sinA＋sinB－2sinC)＝eq\f(4\r(21),3).5.56.eq\r(2)解析由tanA＝eq\f(1,2)>0，得cosA＝eq\f(2,\r(5))，sinA＝eq\f(1,\r(5)).由cosB＝eq\f(3\r(10),10)>0，得sinB＝eq\f(1,\r(10)).于是cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－eq\f(1,\r(2))<0，即C為最大角，故有c＝eq\r(10)，最短邊為b，又sinC＝eq\f(\r(2),2)，于是由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，求得b＝eq\r(2).7.等腰直角三角形8.4eq\r(3)解析由題意可知asinB＝eq\r(3)bcosA，由正弦定理得sinAsinB＝eq\r(3)sinBcosA，又由在△ABC中，sinB>0，即sinA＝eq\r(3)cosA，即tanA＝eq\r(3)，因?yàn)?<A<π，所以A＝eq\f(π,3)，在△ABC中，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝4，即16＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,3)＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，等號(hào)成立，即bc≤16，所以△ABC的最大面積為S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×16sineq\f(π,3)＝4eq\r(3).9.eq\f(π,3)10.eq\r(13)能力提升練1.(1,2)2.eq\f(\r(6)－\r(2),4)解析設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，則由正弦定理得a＋eq\r(2)b＝2c.故cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(2)b,2)))2,2ab)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(1,2)b2－\f(\r(2),2)ab,2ab)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(1,2)b2,2ab)－eq\f(\r(2),4)≥eq\f(2\r(\f(3,4)a2·\f(1,2)b2),2ab)－eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，當(dāng)且僅當(dāng)3a2＝2b2，即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),\r(3))時(shí)等號(hào)成立.3.(0,12]∪{8eq\r(3)}解析由正弦定理得，eq\f(12,sin\f(π,3))＝eq\f(k,sinA)，即k＝8eq\r(3)sinA，A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，因?yàn)闈M(mǎn)足∠ABC＝eq\f(π,3)，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一個(gè)，所以A∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))和A＝eq\f(π,2)，故有k∈(0,12]∪{8eq\r(3)}.4.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))解析在銳角△ABC中，b2cosAcosC＝accos2B，根據(jù)正弦定理可得sin2BcosAcosC＝sinAsinCcos2B，即eq\f(sin2B,cos2B)＝eq\f(sinAsinC,cosAcosC)，即tan2B＝tanAtanC，所以tanA，tanB，tanC構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則tanA＝eq\f(tanB,q)，tanC＝qtanB，又由tanB＝－tan(A＋C)＝－eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)＝－eq\f(tanB\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q＋\f(1,q))),1－tan2B)，所以tan2B＝1＋q＋eq