押中考數(shù)學(xué)第4-5題(方程、概率統(tǒng)計(jì))

專題詮釋：方程和概率統(tǒng)計(jì)為歷年中考選擇題的高頻考點(diǎn)，雖然知識點(diǎn)難度不大，

但是錯(cuò)誤率較高，做對需要細(xì)心和耐心，要對知識點(diǎn)有精準(zhǔn)的掌握，區(qū)分不

同的定義，掌握不同題型對應(yīng)的算法，保證全對！

目錄

知識點(diǎn)一：方程................................................................................1

模塊一K真題回顧』.........................................................................1

解方程.......................................................................................1

分式方程特殊解..............................................................................3

一元二次方程綜合............................................................................6

方程的實(shí)際應(yīng)用..............................................................................8

模塊二K押題沖關(guān)力.......................................................................11

模塊三K考前預(yù)測』.......................................................................15

知識點(diǎn)二：統(tǒng)計(jì)概率...........................................................................21

模塊一K真題回顧』.......................................................................21

模塊二K押題沖關(guān)』.......................................................................26

模塊三K考前預(yù)測』.......................................................................31

知識點(diǎn)一：方程

模塊一K4t-ft-WΛ∑

斛方程

1.(2022?貴州黔西?統(tǒng)考中考真題)小明解方程等-1=辭的步驟如下：

解：方程兩邊同乘6,得3(x+1)-1=2(x-2)①

去括號，得3尤+3-l=2x-2(2)

移項(xiàng)，得3%一2Λ：=—2-3+l③

合并同類項(xiàng)，得X=-4④

以上解題步驟中，開始出錯(cuò)的一步是()

A.①B.②C.③D.④

【答案】A

【分析】按照解一元一次方程的一般步驟進(jìn)行檢查，即可得出答案.

【詳解】解：方程兩邊同乘6,得3（x+1）-6=2（x-2）①

回開始出錯(cuò)的一步是①，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟以及注意事項(xiàng)是

解決問題的關(guān)鍵.

2.（2022?湖南株洲?統(tǒng)考中考真題）對于二元一次方程組（y=X-1?,將①式代入②式，

消去y可以得到（）

A.%÷2x—1=7B.%+2x-2=7

C.x+x-1=7D.%+2x÷2=7

【答案】B

【分析】將①式代入②式消去去括號即可求得結(jié)果.

【詳解】解：將①式代入②式得，

X+2（x-1）=X+2x—2=7,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了代入消元法求解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）一元二次方程X2=2x的根是（）

=石=

A.X=0B.X=2C.X1=0,%2-2D.0,X2=2

【答案】D

【分析】首先移項(xiàng)，將方程右邊2x移到左邊，再提取公因式X,可得x（x-2）=0,再根據(jù)"兩

式相乘值為0,這兩式中至少有一式值為0",即可求得方程的解.

【詳解】解：X2=2x,

移項(xiàng)得：χ2-2x=0,

因式分解得：x（x-2）=0,

0x—0或X—2=0,

解得：故正確.

x1=0,X2=2,D

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，解題關(guān)鍵在于要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合

適的方法，本題運(yùn)用的是因式分解法.

4.（2022?遼寧營口?統(tǒng)考中考真題）分式方程三==-的解是（）

XX-Z

A.X=2B.%=-6C.X=6D.X=-2

【答案】C

【分析】先去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得出答案，最后檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：三=三，

Xx-2

去分母，得3（x-2）=2x,

去括號，得3x-6=2x,

移項(xiàng)，得3x-2x=6,

所以X=6.

經(jīng)檢驗(yàn)，X=6是原方程的解.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考中考真題）方程三=三的解為（）

x-3X

A.%=3B.X=-9C.%=9D.%=-3

【答案】C

【分析】把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得

到分式方程的解.

【詳解】解：W=三

x-3X

去分母得：2x=3（x-3）,

去括號得：2x=3x-9,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：-x=-9,

解得：×=9,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=9是原分式方程的解，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程,利用了轉(zhuǎn)化的思想,解題的關(guān)鍵是解分式方程注意要檢驗(yàn)，

避免出現(xiàn)增根.

6.（2022?四川德陽?統(tǒng)考中考真題）如果關(guān)于X的方程W=I的解是正數(shù)，那么小的取值

X-I

范圍是（）

A.m>—1B.m>—1且m≠0

C.m<—1D.m<—1且n?≠—2

【答案】D

【分析】根據(jù)—=1得出X=-m-l,為正數(shù)，即-m-l>0,從而得出m的取值范圍.再

X-I

根據(jù)x-l≠O,推出m≠-2.

【詳解】解：≡=1

2x÷m=X—1

解得：X=-m-1

方程與P=I的解是正數(shù),

X-I

：,X=-m—1>O

???m<-1

VX-1≠O即X≠1

-m—1≠1

???m≠—2

?m<—1且m≠—2

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟是解此題的關(guān)鍵.

7.(2022?黑龍江牡丹江,統(tǒng)考中考真題)若關(guān)于X的方程安=3無解，則機(jī)的值為()

X-I

A.1B.1或3C.1或2D.2或3

【答案】B

【分析】先將分式方程化成整式方程(m-3)x=-2,再分①整式方程(m-3)x=-2無解，

②關(guān)于X的方程嘿=3有增根兩種情況，分別求解即可得.

【詳解】解：將方程嘿=3化成整式方程為mx-l=3x-3,即(m-3)x=-2,

因?yàn)殛P(guān)于X的方程岑=3無解，

X-I

所以分以下兩種情況：

①整式方程(m-3)x=-2無解，

則m—3=0,解得m=3：

②關(guān)于X的方程嘿=3有增根，

則X—1=0,即X=1,

將X=1代入(m-3)x=-2得：m-3=-2,解得m=1；

綜上，m的值為1或3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

8.(2021?四川巴中?統(tǒng)考中考真題)關(guān)于X的分式方程歲-3=0有解，則實(shí)數(shù)相應(yīng)滿足的

2-X

條件是()

A.In=-2B.m≠-2C.m=2D.m≠2

【答案】B

【分析】解分式方程得:m+x=6-3x即4x=m-6,由題意可知X≠2,即可得到6-m≠8.

【詳解】解：尸-3=0

2-X

方程兩邊同時(shí)乘以2-X得：m+x-6+3x=0,

04x=m—6,

團(tuán)分式方程有解,

02—X≠0,

團(tuán)X≠2,

06—m≠8,

0m≠—2,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解分式方程有意義的

條件是解題的關(guān)鍵.

9.(2021?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題)若關(guān)于X的分式方程-?-3=T有增根，則根的值是

x-2x-2

()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【分析】先把分式方程化為整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解.

【詳解】解：?-???,

x-2X-2

去分母得：X-3(x-2)=m,

團(tuán)關(guān)于X的分式方程卷-3=義有增根，增根為：×=2,

X-2x-2

02—3(2—2)=m,即:m=2,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化為整式方程是解題的

關(guān)鍵.

10.(2022?重慶?統(tǒng)考中考真題)關(guān)于X的分式方程詈+言=1的解為正數(shù)，且關(guān)于y的

(y+9≤2(y+2)

不等式組2y-α的解集為y≥5,則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是()

(3

A.13B.15C.18D.20

【答案】A

【分析】先通過分式方程求出a的一個(gè)取值范圍，再通過不等式組的解集求出a的另一個(gè)取

值范圍，兩個(gè)范圍結(jié)合起來就得到a的有限個(gè)整數(shù)解.

【詳解】由分式方程的解為整數(shù)可得：3x-a-x-l=x-3

解得：X=a-2

又題意得：a-2>0且a—2≠3

團(tuán)a>2且a≠5,

由y+9≤2(y+2)得：y≥5

由第>1得：y>等

El解集為y≥5

a<5

2

解得：a<7

綜上可知a的整數(shù)解有：3,4,6

它們的和為：13

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的分式方程和含參數(shù)的不等數(shù)組，掌握由解集倒推參數(shù)范圍是本題

關(guān)鍵.

一無二次方程候會(huì)

11.(2022?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題)若關(guān)于X的方程/-X一爪=O有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)相

的取值的范圍是()

A.zπ<-B.zu≤—C.zu≥—D.πι≥—

4444

【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根Q△≥0,列不等式求解即可.

【詳解】解析：???關(guān)于X的方程χ2-X-m=。有實(shí)數(shù)根，

.?.Δ=(-1)2-4(-m)=1+4m≥0,

解得m≥-J

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個(gè)數(shù)與判別式之

間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

12.(2022?內(nèi)蒙古?中考真題)對于實(shí)數(shù)0,%定義運(yùn)算"軟'為α⑤b=加一時(shí)，例如302=

22-3X2=-2,則關(guān)于X的方程(k-3)0X=/c-1的根的情況,下列說法正確的是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.無實(shí)數(shù)根D.無法確定

【答案】A

【分析】先根據(jù)新定義得到關(guān)于X的方程為χ2-(k-3)x+1-k=0,再利用一元二次方程

根的判別式求解即可.

【詳解】解：0(k-3)<8>x=k-l,

0x2—(k—3)x=k—1,

0x2-(k-3)x+l-k=O,

0Δ=b2—4ac=(k-3)2—4(1—k)=k2—6k+9—4+4k=(k—l)2+4>0,

回方程χ2-(k—3)x+1—k=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確得到關(guān)于X

的方程為χ2-（k-3）x+1-k=O是解題的關(guān)鍵.

13.（2022?西藏?統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于X的一元二次方程（W-I）f+2χ-3=0有實(shí)數(shù)根，

則，”的取值范圍是（）

2222

A.m≥-B.m<-C.，〃>-且7〃#1D.m2-且mH1

3333

【答案】D

【分析】方程為一元二次方程，二次項(xiàng)系數(shù)不能為0,方程有實(shí)根，0≥O,綜合以上兩方面

進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解回關(guān)于X的一元二次方程（m-l）x2+2χ-3=0有實(shí)數(shù)根，

2

r5∣f?=2—4（m—1）×（—3）≥0

（m—1≠0

解得：m≥∣且m≠l?

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)的取值范圍.注意不要忽略一元二次方

程的系數(shù)不為。這一條件.

14.（2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考中考真題）已知修,犯是方程/-x-2022=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)

根，則代數(shù)式婢-2022x1+好的值是（）

A.4045B.4044C.2022D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【詳解】解：解：0x1,X2是方程x2—x—2022=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

2

0x1—2022=x1>x1x2=-2022,x1+x2=1

22222

Xi—2022x1+xf=x1（x1—2022）+xz=x1+x2=（x1+X2）—2x1x2=1-2×

（-2022）=4045

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，掌握一元二次

方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

15.（2022?貴州安順?統(tǒng)考中考真題）定義新運(yùn)算α*b,對于任意實(shí)數(shù)a,b滿足α*b=

（α+b）（α-h）-l,其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如4*3=（4+3）（4-

3）-1=7-1=6,若x*k=x（k為實(shí)數(shù)）是關(guān)于X的方程，則它的根的情況是（）

A.有一個(gè)實(shí)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

根D.沒有實(shí)數(shù)根

【答案】B

【分析】將X*k按照題中的新運(yùn)算方法展開，可得X*k=(x+k)(x-k)-1,所以x*k=x

可得(X+k)(x—k)—1=X,化簡得：X2-X—k2—1=O,Δ=(―I)2—4×1?(―k2—1)=

4k2+5,可得A>0,即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)新運(yùn)算法則可得：X*k=(x+k)(x-k)-1=X2-k2-1,

則X*k=X即為χ2-k2-1=X,

整理得：x2-x-k2-l=0,

則a=1,b=—1,c=-k2—1,

可得：A=(-1)2-4×1?(-k2-1)=4k2+5

?.?kz≥0,

：.4k2+5>5；

.?.Δ>0?

二方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

故答案選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算以及一元二次方程根的判別式.注意觀察題干中新定義運(yùn)算的

計(jì)算方法，不能出錯(cuò)；在求一元二次方程根的判別式時(shí)，含有參數(shù)的一元二次方程要尤其注

意各項(xiàng)系數(shù)的符號.

方程的實(shí)舔念用

16.(2022?湖北十堰?統(tǒng)考中考真題)我國古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有清酒

一斗直粟十斗，酷酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，問清、酷酒各幾何？”意思是：

現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醋酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，

問清、惜酒各幾斗，設(shè)清灑有X斗，那么可列方程為()

A.IOx+3(5—x)=30B.3x+10(5—x)=30

X,30-X_-X,30-X

rC.-----5InD.-H-----5c

103310

【答案】A

【分析】設(shè)清灑有X斗，則酷酒有(5-X)斗，然后根據(jù)一共有30斗谷子列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)清灑有X斗，

由題意得，IOx+3(5—x)=30,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵.

17.(2022?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題)《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作，奠定了中

國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.其中《盈不足》卷記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題："今有共買物，人

出八，贏三；人出七，不足四.問人數(shù)、物價(jià)各幾何？"譯文："今有人合伙購物，每人出8

錢，會(huì)多出3錢；每人出7錢，又差4錢,問人數(shù)、物價(jià)各多少？〃設(shè)人數(shù)為X人，物價(jià)為

y錢，根據(jù)題意，下面所列方程組正確的是()

數(shù)

今

物

有

價(jià)

共

各

買

幾

物

何

人

出

八

贏

;

人

出

七

不

足

四

問

人

(8x+3=y(8x—3=y(8x+3=y(8x—3=y

,(7x-4=y，(7x+4=y,(7x÷4=y(7%—4=y

【答案】B

【分析】設(shè)人數(shù)為X人，物價(jià)為y錢，根據(jù)每人出8錢，會(huì)多出3錢可得方程8x-3=y,

根據(jù)每人出7錢，又差4錢可得方程7x+4=y,據(jù)此列出方程組即可.

【詳解】解：設(shè)人數(shù)為X人，物價(jià)為y錢，

由題意得，伊二：=y,

(7x+4=y

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程組，正確理解題意找到等量關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

18.(2022?寧夏?中考真題)受國際油價(jià)影響，今年我國汽油價(jià)格總體呈上升趨勢.某地92號

汽油價(jià)格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.設(shè)該地92號汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的

增長率為X,根據(jù)題意列出方程，正確的是()

A.6.2(1+x)2=8.9B.8.9(1+x)2=6.2

C.6.2(1+X2)=8.9D.6.2(1+x)+6.2(1+x)z=8.9

【答案】A

【分析】設(shè)該地92號汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長率為X,根據(jù)三月底和五月底92號

汽油價(jià)格，得出關(guān)于X的一元二次方程即可.

【詳解】解：依題意，得6.2(l+x)2=8.9.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程解決實(shí)際問題的知識，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，正確列出一元

二次方程式解題關(guān)鍵.

19?(2022?山東淄博?統(tǒng)考中考真題)為扎實(shí)推進(jìn)“五育"并舉工作，加強(qiáng)勞動(dòng)教育，某校投入

2萬元購進(jìn)了一批勞動(dòng)工具.開展課后服務(wù)后，學(xué)生的勞動(dòng)實(shí)踐需求明顯增強(qiáng)，需再次采購

一批相同的勞動(dòng)工具，已知采購數(shù)量與第一次相同，但采購單價(jià)比第一次降低10元，總費(fèi)

用降低了15%.設(shè)第二次采購單價(jià)為尤元，則下列方程中正確的是()

A20000_20000x(1-15%)

*XX-IO

20000__20000×(l-15%)

D.---------=---------------------------

X-IOX

C20000_20000x(1-15%)

?XX+10

20000_20000x(1-15%)

U?——

χ+10X

【答案】D

【分析】設(shè)第二次采購單價(jià)為X元，則第一次采購單價(jià)為(x+10)元，根據(jù)單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量,

結(jié)合總費(fèi)用降低了15%,采購數(shù)量與第一次相同，即可得出關(guān)于X的分式方程.

【詳解】解：設(shè)第二次采購單價(jià)為X元，則第一次采購單價(jià)為(x+10)元，

依題意得：遜=2。。。。X(I-15%),

X+10X

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是

解決問題的關(guān)鍵.

20.(2022?山東濰坊?中考真題)觀察我國原油進(jìn)口月度走勢圖，2022年4月原油進(jìn)口量比

2021年4月增加267萬噸，當(dāng)月增速為6.6%(計(jì)算方法：—×100%≈6.6%).2022年3

月當(dāng)月增速為-14.0%,設(shè)2021年3月原油進(jìn)口量為X萬噸，下列算法正確的是()

原油進(jìn)口月度走勢

4月1-2月

匚口當(dāng)月進(jìn)口量(萬噸)-當(dāng)月增速(%)

A.^V?-4^77X1loo%=-14.0%B.?4.2?71-—?r×100%=-14.0%

42714271

C.三r—4衛(wèi)271iX100%=—14.0%D.4絲271上TXlOO%=-14.0%

【答案】D

【分析】根據(jù)題意列式即可.

【詳解】解：設(shè)2021年3月原油進(jìn)口量為X萬噸,

則2022年3月原油進(jìn)口量比2021年3月增加（4271-x）萬噸,

依題意得：絲乃X100%=-14.0%,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程，關(guān)鍵是找出題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系.

饃塊二R押獗片某D

1.（2022?陜西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若方程3%-12=0的解，是一個(gè)一次函數(shù)的函數(shù)值為5時(shí),

對應(yīng)的自變量的值，則這個(gè)一次函數(shù)可以是（）

A.y=3久—7B.y=-3%+12C.y=3x—12D.y=—3%+7

【答案】A

【分析】由3x-12=0得X=4,再分別求出各選項(xiàng)在X=4時(shí)的函數(shù)值，即可得到答案.

【詳解】由3x-12=0得X=4,

當(dāng)X=4時(shí),

y=3x—7=3x4-7=5,故A符合題；

y=-3x+12=—3×4+12=0,故B不符合題意；

y=3x-12=3×4-13=3×4-12=0,故C不符合題意；

y=-3x+7=-3x4+7=-5,故D不符合題意；

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)題意得出X=4是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?貴州遵義?統(tǒng)考一模）將4個(gè)全等的小長方形按如圖所示的方式擺放拼成一個(gè)大長

方形4BCD,且AB=12cm.設(shè)小長方形的寬為XCm,長為ycm,依題意列二元一次方程組

正確的是（）

∕∣--------------IC

X+y=12X-y=12X+y=12

.y=3x.y=3x.X=3y

【答案】A

【分析】根據(jù)圖可得等量關(guān)系：①1個(gè)長+1個(gè)寬=12cm,②3個(gè)寬=1個(gè)長，根據(jù)等量關(guān)系

可得方程組.

【詳解】解回根據(jù)題意，得Ftf二J2.

故選ElA.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題

目中的等量關(guān)系.

3.(2022?廣東汕頭?統(tǒng)考二模)一元二次方程/一(α-2)x+α-I=O(α為實(shí)數(shù))的實(shí)數(shù)

根的情況是()

A.有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定

【答案】D

【詳解】先計(jì)算出A=I-(a—2)產(chǎn)—4xlX(a—1)的值，判斷出△的符號，進(jìn)而可得出結(jié)

論.

【解答】解：0Δ=[-(a-2)產(chǎn)-4×1×(a-1)=a2-8a+8=(a-4)2-8,

El方程根的情況不能確定.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax?+bx+c=0(a聲0)的根的判別式A=b2-4ac,正確

記憶當(dāng)A>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0,

方程沒有實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵.

4.(2022?湖南婁底??？寄M預(yù)測)一個(gè)等腰的底邊為4,腰是方程/一5x+6=0的一個(gè)

根.則這個(gè)等腰三角形的周長可能是()

A.8B.10C.8或10D.9

【答案】B

【分析】求出方程的解，得出三角形的三邊長，即可得出答案.

【詳解】Hx2-5x+6=0,

0(x-2)(x-3)=0,

ElX-2=0或X-3=0,

0x1—2或X2—3,

當(dāng)三邊是2,2,4時(shí)，

02+2=4,

回此時(shí)不符合三角形三邊關(guān)系定理，舍去：

當(dāng)三邊是3,3,4時(shí)，此時(shí)符合三角形三邊關(guān)系定理，三角形的周長是3+3+4=10.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理，解一元二次方程的應(yīng)用，

解題的關(guān)鍵是能求出方程的解.

5.(2022?河北邢臺?二模)解分式方程-J+二T=卷分以下四步,其中錯(cuò)誤的一步是()

x+1x-1Xz-I

A.方程兩邊分式的最簡公分母是(X-I)(X+1)

B.方程兩邊都乘以(X-I)(X+1),得整式方程2(x-1)+3(尤+1)=6

C.解這個(gè)整式方程，得X=I

D.原方程的解為X=1

【答案】D

【分析】分式方程兩邊乘以最簡公分母，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，經(jīng)檢

驗(yàn)即可得到分式方程的解.

【詳解】解：分式方程的最簡公分母為(x-l)(x+l),

方程兩邊乘以(X-l)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6,

解得：X=L

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是增根，分式方程無解.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"轉(zhuǎn)化思想"，把分式方程轉(zhuǎn)化為

整式方程求解.解分式方程一定注意要驗(yàn)根.

6.(2022?重慶銅梁?銅梁中學(xué)校?？寄M預(yù)測)關(guān)于X的方程三=F的解為正整數(shù)，且關(guān)于X

XZ-X

f5x-34

的不等式組丁+3恰有4個(gè)整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)α值之和為()

I4x≥a

A.-1B.0C.3D.4

【答案】D

【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解為正整數(shù)確定出a的值，表示出不等式組的

解集，由不等式組恰好有7個(gè)整數(shù)解，得到a的值相加即可.

【詳解】解：分式方程去分母得：6-3x=ax-x,

解得：X=三,

a+N

由分式方程解為正整數(shù)，且XH2,x≠0得到

a+2≠3,

?a+2=1,2,6,

解得：a=-1,0,4,

fx<5

不等式組整理得：∣χ>a,

解得：^≤x<5,

由不等式組有解且恰有4個(gè)整數(shù)解，得到整數(shù)解為4,3,2,1,

0<-<1,

4

?0<a≤4,

則滿足題意a的值只能為4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握各自的解法

是解本題的關(guān)鍵.

7.（2022?廣東深圳?深圳市華勝實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┤鬤=3是關(guān)于X的一元二次方程好一

mx-3=。的一個(gè)解，則方程的另一個(gè)解是（）

A.2B.-1C.0D.-2

【答案】B

【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得x”2=-3,然后將X=3代入求解.

【詳解】設(shè)方程χ2-mx-3=0的兩個(gè)根為X］、X2

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得XιX2=-3,

0X1=3為方程的解，

03X2=-3,

解得X2=-1.

團(tuán)方程的另一個(gè)解是X=-1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是利用一元二次方程的根與

系數(shù)的關(guān)系求解.

8.（2022?廣東東莞??？家荒＃╆P(guān)于X的一元二次方程（1-a）x2+2x-1=。有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.α≥2B.ɑ≤2且α≠1C.α>2D.ɑ<2且α≠1

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得1-a力0,再根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可

進(jìn)行解答.

【詳解】解：回該方程為一元二次方程，

01-a≠O,解得a≠l,

回該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

0Δ=b2-4ac=4+4（1-a）≥0,解得：a≤2,

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2且awl.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義和根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方

程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0,當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0

時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

9.（2022?安徽合肥?校考二模）方程/=4X的解是（）

A.%=+√2B???=2,%2=-2

C.??=%2=4D.??—O,%2=4

【答案】D

【分析】利用解一元二次方程-因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：X2=4x

X2-4x=0

X(X-4)=0

X=0或X-4=0

x?=0,X2=4

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握解一元二次方程-因式分解法

是解題的關(guān)鍵.

(%+y=1

10.(2022?Γ東江口??？家荒?方程組，％+y司-y_1的解為()

I23-2

A(X=IC(X=3

Iy=-2n'I(yX==_21_'I(xy==-2lIy=-2

【答案】B

【分析】根據(jù)加減消元法求解即可.

X+y=l(?)

【詳解】解：∣x+yx-y_Zjx，

.23-2

由②得：x+5y=-3③，

由①一③得：-4y=4,

解得：y=-l?

將y=-l代入①得：x+(-1)=1,

解得：X=2.

故原方程組的解為:.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組.掌握解二元一次方程組的方法和步驟是解題關(guān)鍵.

演塊三［［考鼎笈涮H

1.(2022?黑龍江綏化??？寄M預(yù)測)如圖，2022年疫情期間，黑龍江省齊齊哈爾市捐贈(zèng)

150噸馬鈴薯馳援武漢，這些蔬菜將分別捐贈(zèng)給武漢市紅十字會(huì)醫(yī)院、武漢市東西湖區(qū)人民

醫(yī)院和方艙醫(yī)院等20余家醫(yī)院.在運(yùn)輸過程中，其中甲、乙兩車在同一地點(diǎn)出發(fā)且相約在

距出發(fā)地36Okm的A地匯合.兩車在一條筆直的路上勻速行駛，甲車先出發(fā)，乙車后出發(fā)，

乙車超過甲車后出現(xiàn)故障，停車檢修，當(dāng)甲車追上乙車時(shí)，乙車恰好修完，兩車又立刻以原

來的速度繼續(xù)行駛.如圖是甲、乙兩車行駛的路程y(單位：km)與甲車行駛時(shí)間X(單位：

h)的函數(shù)圖象.直接寫出乙車出發(fā)多少小時(shí)，兩車相距40km()

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象知甲車沒有停留，6小時(shí)行駛360km,由此求出速度；利用甲車的速

度和時(shí)間求出a,利用5到5.6小時(shí)段的路程和時(shí)間求出乙車的速度；再由圖象，分兩種情

況：在乙車出故障前，在乙車出故障后，根據(jù)題意列方程解答.

【詳解】解：甲車的速度為360÷60=6(km∕h)

.?.a=5×60=300(km∕h)

???乙車的速度為(360-300)÷(5.6-5)=100(km∕h)

甲車先出發(fā)的時(shí)間為60÷60=Ih

???B(l,0)

在乙車出故障前,由題意得∣60X-100(x-1)|=40,

解得：X=I或X=I

在乙車出故障后，由題意得60x+40=300或IloO(X-5)-60(x-5)∣=40

解得：X=弓或X=6(不合題意，舍去)

1310

?'?------1=—

33

綜上，乙車出發(fā)三h或三h或Uh時(shí)，兩車相距40km.

223

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的應(yīng)用(行程問題).根據(jù)圖像理解題意，利用速度、時(shí)間、

路程的關(guān)系解決實(shí)際問題是接著提的方法.理解圖象中各拐點(diǎn)的意義是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?湖南湘潭??？寄M預(yù)測)明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題(如

圖)，其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還

差八兩.請問：所分的銀子共有()兩.(注：明代時(shí)1斤=16兩，故有"半斤八兩”這個(gè)

成語)

隔墻聽得客分銀，

不知人數(shù)不知銀。

七兩分之多四兩，

九兩分之少半斤。

《算法統(tǒng)宗》

A.45B.46C.47D.48

【答案】B

【分析】設(shè)有X人，根據(jù)等量關(guān)系"每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八

兩"列出方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：設(shè)有X人，依題意有

7x+4=9x—8,

解得X=6,

7x+4=42+4=46.

答：所分的銀子共有46兩.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意,找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預(yù)測）已知X,），滿足方程組則x+y的值為（）

A.15B.18C.20D.22

【答案】A

【分析】兩個(gè)方程相加，可得5x+5y=75,即可求出x+y的值.

【詳解】解：fχ+3y=350,

（3x+2y=40（2）

①+②，得5x+5y=75,

即X+y=15,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握加減消元法和整體思想.

4.（2022?重慶璧山?統(tǒng)考一模）我國很早就開始對數(shù)學(xué)的研究，其中不少成果被收入古代數(shù)

學(xué)著作《九章算術(shù)》中，《九章算術(shù)》的"方程"一章中，有許多關(guān)于一次方程組的內(nèi)容，這

一章的第一個(gè)問題譯成現(xiàn)代漢語是這樣的："上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得

糧食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得糧食34斗；上等谷1束，中等

谷2束，下等谷3束，可得糧食26斗.問上、中、下三等谷每束各可得糧食幾斗？”如圖1

的算籌代表了古代解決這個(gè)問題的方法，設(shè)每束上等谷、中等谷、下等谷各可得糧食X斗、

3%+2y+z=39,

y斗、Z斗，則可列方程組為：2x+3y+z=34,類似地，圖2所示的算籌我們可以表示為

%+2y+3z=26.

()

上等谷（束）中等谷（束）下等谷（束）???斗顆???

扭H?=HHIlIll=III

II扭≡HHIllIlll三下

??????圖

IM扭一M2

圖1

CZx+3y=23,CZx+3y=23,（3x+3y=23,（llx+3y=23,

AB,D

'（3X+4y=37.（3x+4y=32.&14χ+3y=37.'?3x+y=32.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得，在算籌中，第一列代表X的系數(shù)，第二列代表y的系數(shù)，最后一列為

式子的和，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，在算籌中，第一列代表X的系數(shù)，第二列代表y的系數(shù)，最后一

列為式子的和，

則圖2所示的算籌我們可以表示為

（3X÷4y=37.

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查了列二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是理解算籌中各個(gè)符號代表的含義.

5.（2022?廣東深圳?北大附中深圳南山分校?？家荒＃┮阎Ｊ欠匠坍a(chǎn)+3久+2=0的一個(gè)

根，則代數(shù)式α2+3α的值為（）

A.-2B.2C.-4D.-4或-10

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程解的的定義，將a代入已知方程，即可求值.

【詳解】解：回a是方程*2+3*+2=0的一個(gè)根，

團(tuán)把a(bǔ)代入得：a2+3a+2=0,

a2+3a=-2,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解和求代數(shù)式的值的應(yīng)用，用整體思想把a(bǔ)?+3a看成

一個(gè)整體是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若關(guān)于X的一元二次方程k/-6x+9=0有實(shí)數(shù)

根，則k的取值范圍是（）

A./c<1B.k≤lC.k<1且k≠0D.k≤1且k≠0

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可判斷.

【詳解】解：團(tuán)一元二次方程1?2-6*+9=0有實(shí)數(shù)根，

0(-6)2-4×9k≥0,且k≠0,

解得k≤1且k≠0,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，熟練掌握一元二次方程的定義及根

的判別式是解題的關(guān)鍵.

7.(2022?河北保定?保定十三中?？级?定義運(yùn)算：TnEIn=mn2-2mn-1,例如：402=

4×22-2×4×2-l=-l.若關(guān)于X的方程α≡)x=0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為()

A.—1≤ɑ≤0B.-1≤a<0C.ɑ≥0或a≤—1D.a>0或a≤—1

【答案】D

【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出關(guān)于X的方程，根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由題意可知：a0x=ax2—2ax—1=0,

當(dāng)a=0時(shí)一，原來方程變形為一1=0,方程無解；

當(dāng)a≠。時(shí)，

關(guān)于X的方程a!3x=。有實(shí)數(shù)根，

.??0=4a2+4a=4a(a+1)≥0,

解得a≤-1或a>0.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義運(yùn)算法則，難度不大.

8.(2022?遼寧錦州?統(tǒng)考二模)《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄了一

道驛站送信的題目，大意為：一份文件，若用慢馬送到900里遠(yuǎn)的城市，所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)

間多1天；若改為快馬派送，則所需時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天.已知快馬的速度是慢馬的2倍,

求規(guī)定時(shí)間.設(shè)規(guī)定時(shí)間為X天，則可列出正確的方程為()

?900900900—900C900r900

A.2X——=——≡?^×≡=≡——=2×——D.—=2×—

x-1x+3x-lx+3χ+lX-3

【答案】B

【分析】根據(jù)快馬、慢馬所需時(shí)間及規(guī)定時(shí)間之間的關(guān)系，可得出慢馬所需的時(shí)間為(x+1)

天，快馬所需的時(shí)間為(X-3)天，利用速度=路程+時(shí)間，結(jié)合快馬的速度是慢馬的2倍，

即可得出關(guān)于X的分式方程，此題得解.

【詳解】解：:規(guī)定時(shí)間為X天，

???慢馬所需的時(shí)間為(x+1),快馬所需時(shí)間為(x—3),

又???快馬的速度是慢馬的2倍,

C900

???可列出方程多×2=一

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分

式方程是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?河北石家莊?校聯(lián)考三模）小明和小亮在解答"解分式方程：三二=1-匕”的過程

XX

如框，對他們的解答過程（每一步只對上一步負(fù)責(zé)）有以下判斷，判斷錯(cuò)誤的是（）

小明的解法：解：去分母得：2x+3=l-

小亮的解法：解：去分母得：2x+3=X-

（x-D①