第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

,最新考綱,

1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.

2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.

3.掌握空間兩條直線的位置關(guān)系(相交、平行、異面).

?考向預(yù)測(cè)?

考情分析：以常見的空間幾何體為載體，考查點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，以及異面直

線所成角、線面角等，與平行關(guān)系、垂直關(guān)系等相結(jié)合考查是高考的熱點(diǎn).

學(xué)科素養(yǎng)：通過空間位置關(guān)系的判定考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.平面的基本性質(zhì)

文字語言圖形語言符號(hào)語言

公理

Aer

如果一條直線上的兩

BI

點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那F

公理1>=>LCΣa

么這條直線在此平面

A∈a

內(nèi)

A,B,C三點(diǎn)不共線

__________的三點(diǎn)，=有且只有一個(gè)平面

公理2

有且只有一個(gè)平面/a,使B∈ct,

C∈a

如果兩個(gè)不重合的平

pea

面有一個(gè)公共點(diǎn)，那AU

公理3么它們有且只有

______過該點(diǎn)的公共AA7

且

直線σ∩β=/,PGl

2.空間兩條直線的位置關(guān)系

(1)位置關(guān)系分類:

直線：同一平面內(nèi)，

有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

位置共面直線V

直線：同一平面內(nèi)，

*玄

沒有公共點(diǎn)；

異面直線:不同在內(nèi).沒有公共點(diǎn)

(2)平行公理(公理4)和等角定理：

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線.

等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角

(3)異面直線所成的角：

①定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a'∕∕a,b'∕∕b,把#與h'

所成的叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

②范圍：.

3.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

圖形語言符號(hào)語言公共點(diǎn)

相交?—1個(gè)

直線與平面—a

平行—O個(gè)

在平面內(nèi))一一無數(shù)個(gè)

平行—O個(gè)

平面與平面

相交—無數(shù)個(gè)

二、必明3個(gè)常用結(jié)論

1.公理2的三個(gè)推論

論

推

1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.

論

推

：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.

推

論2

3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.

2.異面直線判定的一個(gè)定理

過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線.

3.唯一性定理

(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1?判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或"X”).

(1)如果兩個(gè)不重合的平面a,β有一條公共直線α,就說平面α,β相交，并記作anB=

?.()

(2)兩個(gè)平面a,“有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說a,4相交于過A點(diǎn)的任意一條直線.()

(3)兩個(gè)平面a,￡有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說a,S相交于A點(diǎn)，并記作anβ=A.()

(4)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC.()

(5)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.()

(二)教材改編

2.［必修2?P43練習(xí)Tl改編］下列說法正確的個(gè)數(shù)為()

①梯形可以確定一個(gè)平面；②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平

行；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)

平面重合.

A.OB.1C.2D.3

3」必修2?P45例2改編］已知空間四邊形的兩條對(duì)角線相互垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的

四邊形一定是()

A.空間四邊形B.矩形

C,菱形D.正方形

(三)易錯(cuò)易混

4.(異面直線的概念不清)下列關(guān)于異面直線的說法正確的是.(填序號(hào))

①若aua,bu#,則a與。是異面直線；

②若a與b異面，人與C異面，則“與C異面；

③若4,人不同在平面α內(nèi)，則α與〃異面；

④若α,匕不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則。與b異面.

5.(忽視直線在平面內(nèi))已知直線α,/?和平面。，若a〃b,且直線匕在平面ɑ內(nèi)，則直

線a與平面a的位置關(guān)系是.

(四)走進(jìn)高考

6.［2021?全國乙卷］在正方體A8Cf>-4BIGDl中，P為80∣的中點(diǎn)，則直線尸2與Aa

所成的角為()

A.-B.-C.-D.-

2346

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)I基礎(chǔ)性］

[例1]如圖，在正方體A8CO-4B∣GO∣中，E,尸分別為AG,BlG的中點(diǎn)，ACnBD

=P,4C∣nEF=Q.證明：

(I)B,D,F,E四點(diǎn)共面；

(2)若直線4C與平面8。EF的交點(diǎn)為R,則P,Q,R三點(diǎn)共線;

G)DE,BF,CCl三線共點(diǎn).

聽課筆記:

反思感悟共面、共線、共點(diǎn)問題的證明

(1)證明點(diǎn)線共面問題的兩種方法

①納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；

②輔助平面法：先證有關(guān)點(diǎn)、線確定平面α,再證其余點(diǎn)、線，確定平面夕，最后證明

平面α,S重合.

(2)證明點(diǎn)共線問題的兩種方法

①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；

②直接證明這些點(diǎn)都在一條特定直線上.

(3)證明多線共點(diǎn)問題的步驟

①先證其中兩條直線交于一點(diǎn)；

②再證交點(diǎn)在第三條直線上.證交點(diǎn)在第三條直線上時(shí)，依據(jù)是第三條直線應(yīng)為前兩條

直線所在平面的交線，即利用公理3證明.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

如圖所示，正方體4BCD-4B∣C∣A中，E、尸分別是AB和AAl的中點(diǎn).求證:

(I)E,C,Di,F四點(diǎn)共面；

(2)CE,DιF,QA三線共點(diǎn).

考點(diǎn)二空間兩直線的位置關(guān)系［綜合性］

［例2］(1)若小6是異面直線，b,C是異面直線，貝11()

A.a//c

B.a,C是異面直線

C.a,c相交

D.a,C平行或相交或異面

(2)［2019?全國卷HI］如圖，點(diǎn)N為正方形ABCf)的中心，∕?ECD為正三角形，平面ECDL

平面4BCQ,M是線段EQ的中點(diǎn)，則()

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線

聽課筆記:

反思感悟

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.若平面α和直線小6滿足“∏α=4,bua,則。與b的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行

C.異面D.相交或異面

2.在圖中，G,N,M,H分別是正三棱柱（兩底面為正三角形的直棱柱）的頂點(diǎn)或所在

棱的中點(diǎn)，則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有.（填上所有正確答案的序號(hào)）

［例3］（l）［2022?廣西南寧三中高三模擬］在正方體ABCD-AiBGa中，O是底面ABCZ）

的中心，E為CG的中點(diǎn)，那么異面直線OE與Ad所成角的余弦值等于（）

（2）四面體AgCZ）中，E,F分別是AB,Cf）的中點(diǎn)，若BD,Ae所成的角為60。，且BO

=AC=I,則EF的長(zhǎng)為.

聽課筆記：

反思感悟用幾何法求異面直線所成角的具體步驟:

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.直三棱柱48C-AIBlel中，若NBAC=90°,AB=AC=AA?,則異面直線BAJ與ACl

所成的角等于（）

A.30oB.45°

C.60oD.90°

2.[2022?黑龍江哈爾濱市哈師大附中高三月考]三棱錐P-ABC所有棱長(zhǎng)都為2,E,尸分

別為尸C,AB的中點(diǎn)，則異面直線8E,PF所成角的余弦值為（）

第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

積累必備知識(shí)

1.過不在一條直線上一條

2.（1）相交平行任何一個(gè)平面（2）平行相等或互補(bǔ)（3）銳角（或直角）（0,?]

3.anα=Aa∕∕aa?aa//βa∩β=Z

^.、

1.答案：（I）J（2）×（3）×（4）X

（5）√

2.解析：②中兩直線可以平行、相交或異面，④中若三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，則兩個(gè)

平面可能相交，①③正確.

答案：C

3.解析：如圖所示，易證四邊形EFGH為平行四邊形.

,：E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，

.,.EF//AC.

又FG//BD,

.?.NEFG或其補(bǔ)角為AC與BQ所成的角.

而4C與BO所成的角為90°,

.?.NEFG=90。,故四邊形EFGH為矩形.

答案：B

4.解析：①②③中的兩直線可能平行、相交或異面，由異面直線的定義可知④正確.

答案：④

5.

解析：如圖，直線〃，Z?和平面儀,若?！?，且直線b在平面口內(nèi)，則。與a的位置關(guān)

系是a//a或〃u0.

答案：a//a或αuα

6.解析：

方法一如圖，連接GP,因?yàn)锳3CQ-4B∣GO］是正方體，且P為BOl的中點(diǎn)，所

以C∣P±BιD1,又GP?LB5∣,所以GP_L平面B】BP.又BPU平面B1BP9所以有C?PLBP.

連接BG,則AoI〃BG,所以NPBG為直線PB與A。1所成的角.設(shè)正方體ABCQ-A∣SGDl

的棱長(zhǎng)為2,則在直角三角形CIPB中，CIP=WBIDl=笆,BCl=2√Σ,sin/PBCj=巖=；,

所以NPBG=三

6

方法二以?為坐標(biāo)原點(diǎn)，B1Ci,34,8山所在的直線分別為X軸、y軸、Z軸建立

空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABa)-A出GDl的棱長(zhǎng)為2,則2(0,0,2),P(l,1,0),D1(2,

2,0),A(0,2,2),PB=(-1,-1,2),AD1=(2,0,-2).設(shè)直線PB與A0所成的角

為仇則8s6=∣裔瑞卜懸r4因?yàn)樽?。,1所以T

答案：D

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

例1證明：(1)連接5。|(圖略)

?：EF是ADIBICI的中位線，

：.EF/∕BiDl,

在正方體ABCZ)—AIBlGJDl中，B?D?∕∕BD,C.EF//BD.

：.EF,8。確定一個(gè)平面，即。，B,F,E四點(diǎn)共面.

(2)在正方體ABCZ)-A∣8∣CIDl中，設(shè)平面AlACG為α,平面BDEF為￡.

?.,2∈AιC∣,.?.Q∈α.

又。∈EF,.?.ρ∈β,

則。是α與4的公共點(diǎn)，同理，P是α與”的公共點(diǎn)，

Λct∩β=PQ.

又AenB=凡.?.R∈AC,

ΛΛ∈ct,且R∈∕,

則R∈PQ,故P,Q,R三點(diǎn)共線.

ay：EF//BD,且EF≠BD,

.?.CE與BF一定相交，設(shè)交點(diǎn)為M.

：8尸U平面BCGS,OEU平面OCelo1,平面BCClBm平面OCGOl=CC∣,

.".MeCC1.

.'.DE,BF,CG三線共點(diǎn).

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

證明：（1）如圖所示，連接Cr>∣,EF,A∣B,

?；E、F分別是AB和AA的中點(diǎn)，

.".FE∕∕A↑B且EF=^A↑B.

?.?AιO四邊形AIBCd是平行四邊形,

AEB

J.A?B∕∕D?C,.?FE∕∕DiC,

.?.EF與CZ）I可確定一個(gè)平面，即E,C,Dl,F四點(diǎn)共面.

證明：（2）由⑴知EF〃CQi,且EF=TCD1，

二四邊形CdFE是梯形，

直線CE與。/必相交，設(shè)交點(diǎn)為尸，

則PeCEU平面ABCD,

且PGOlFU平面A↑ADD↑,

.?.P∈平面ABCD且P∈平面A∣AOQ∣,

又平面ABCD。平面AiADDi=AD,

ΛP∈AD,：.CE,DιF,D4三線共點(diǎn).

考點(diǎn)二

例2解析：（1）若”,6是異面直線，b,C是異面直線，那么α,C可以平行，可以相

交，可以異面.

（2）

取CC的中點(diǎn)0,連接OMEO,因?yàn)锳ECD為正三角形，所以EOlCD,又平面ECDl

平面ABCD,平面ECDrl平面ABCD=CD,所以EO_L平面ABCD設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)

為2,則E0=√5,ON=I,所以EN2=EO?+ON2=4,得EN=2.過M作CQ的垂線，垂足

為P,連接BP,則MP=*CP=∣,所以BM1=MP2+BP2?（y）2+（∣）2+22=7,得BM二甲,

所以BMWEN.連接BD,BE,因?yàn)樗倪呅蜛BCQ為正方形，所以N為的中點(diǎn)，即EM

均在平面8。E內(nèi)，所以直線BM,EN是相交直線，選B.

答案：（I）D（2）B

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：當(dāng)Aeb時(shí)，α與匕相交，當(dāng)Aib時(shí)，α與匕異面.

答案：D

2.解析：圖①中，直線GH〃MN；圖②中，G,H,N三點(diǎn)共面，但M《平面GHM因

此直線G”與MN異面；圖③中，連接MG,GM//HN,因此GH與MN共面；圖④中，G,

M,N三點(diǎn)共面，但“在平面GMM因此G4與MN異面，所以圖②④中G”與MN異面.

答案：②④

考點(diǎn)三

例3解析：（1）取BC的中點(diǎn)F,連接EF,OF,BCi,

D,G

Al

如圖所示，為CG的中點(diǎn)，EF//BCi//ADt,故NoEF即為異面直線OE與AQ所

成角，

設(shè)