20XX年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東省預(yù)賽

20XX年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東省預(yù)賽由山東省數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)及山東省數(shù)學(xué)競(jìng)賽

委員會(huì)主辦，由山東省數(shù)學(xué)競(jìng)賽委員會(huì)組織及負(fù)責(zé)命題.

試題以《全日制普通高中(新)課程標(biāo)準(zhǔn)》的內(nèi)容和要求為依據(jù)，在方法和能力的要求上

有所提高，試題包括10道選擇題、4道填空題、5道解答題，全卷滿分150分.

預(yù)賽時(shí)間：20XX年9月10日(星期六)9:30--11:30

預(yù)賽地點(diǎn)：全省各市組織進(jìn)行.

一、選擇題(每小題6分，共60分)

1.已知集合”={xl(x-l)(x-3)(x-5)<0,xeR},AT={x|(x-2)(x-4)(x-6)>0,xeR}.

則用c%=().

(A)(2,3)(B)(3,4)(0(4,5)(D)(5,6)

2.已知z=(6—3i)",若z為實(shí)數(shù),則最小的正整數(shù)〃的值為().

(A)3(B)4(C)5(D)6

3.已知p：成等比數(shù)列，(\：ad=be,則p是4的().

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(0充分且必要條件(D)既不充分也不必要條件

4.函數(shù)/(x)=logo3(x2+x—2)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

(A)(-oo,-2)(B)(-oo,l)(C)(-2,1)(D)(l,+oo)

5.已知均為正實(shí)數(shù)，則」一+二一的最大值為().

2x+yx+2y

24

(A)2(B)-(04(D)-

33

6.直線y=5與y=-1在區(qū)間0,——上截曲線y=msin—x+〃(m>0,〃>0)所得的弦長(zhǎng)相等且

_coJ2

不為零，則下列描述正確的是().

3535

(A)m<—,n=—(B)m<3,n=2(C)m>—,n=—(D)m>3,n=2

2222

7.有6名同學(xué)咨詢(xún)成績(jī).老師說(shuō)：甲不是6人中成績(jī)最好的，乙不是6人中成績(jī)最差的，而且6人

的成績(jī)各不相同.那么他們6人的成績(jī)不同的可能排序共有()

(A)120種(B)216種(C)384種(D)504種

8.若點(diǎn)P在曲線y=f2—1上，點(diǎn)。在曲線％=1+V上，貝山尸。的最小值是().

，、c大,、3夜/、30/、3夜

(A)3V2(B)-^―(0(D)—^―

248

9.已知函數(shù)/(乃=(1一+工)/+"+6"/為常數(shù)，a>\),且.f(lglogg1000)=8,則

<2—12

y(igig2)的值是().

(A)8(B)4(0-4(D)-8

10.在等差數(shù)列｛凡｝中，若似<-1,且它的前〃項(xiàng)和S“有最大值，那么當(dāng)5“取最小正值時(shí)，n=

。10

().

(A)1(B)10(C)19(D)20

二、填空題(每小題6分，共24分)

11.已知/(x)=cos2x+p|cosx|+p,xeR.記/(x)的最大值為％(p),則％(p)的表達(dá)式

為.

12.已知sin(x+sinx)=cos(x-cosx),xe[0,7v\,則x=.

13.設(shè)為拋物線y2=2px(p>0)上相異兩點(diǎn)，則煙+班「一腳『的最小值為.

14.已知\ABC中，G是重心，三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

56aGA+40hGB+35cGC=0,則NB=.

三、解答題(本大題共5題，共66分)

15.(12分)不等式

sin26-(2V2+伍)sin(6+-)-----—>-3-2a

4cos((9一()

7F

對(duì)de0,-恒成立.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2

16.(12分)已知在正方體A3CD—44G〃中，O,E,F,G

分別為80,34,42,26的中點(diǎn)，且AB=1.求四面體OEFG的體積.

17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓G與圓G相交于點(diǎn)P，。，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2),兩

圓半徑的乘積為13苗.若圓G和。2均與直線/:y=依及X軸相切，求直線/的方程.

18.(15分)甲乙兩人進(jìn)行某種游戲比賽，規(guī)定每一次勝者得1分，負(fù)者得0分；當(dāng)其中一人的得分

比另一人的多2分時(shí)即贏得這場(chǎng)游戲，比賽隨之結(jié)束；同時(shí)規(guī)定比賽次數(shù)最多不超過(guò)20次，即

經(jīng)20次比賽，得分多者贏得這場(chǎng)游戲，得分相等為和局.已知每次比賽甲獲勝的概率為p

(0</;<1),乙獲勝的概率為4=1-假定各次比賽的結(jié)果是相互獨(dú)立的，比賽經(jīng)J次結(jié)束,

求J的期望的變化范圍.

19.(15分)集合M={1,2,…,2011},若M滿足：其任意三個(gè)元素a,6,c,均滿足必則稱(chēng)M

具有性質(zhì)P,為方便起見(jiàn)，簡(jiǎn)記MGP.具有性質(zhì)P的所含元素最多的集合稱(chēng)為最大集.試問(wèn)具

有性質(zhì)P的最大集共有多少個(gè)？并給出證明.

解答

1.B.提示：A/=(-o,l)U(3,5),N=(2,4)U(6,+8).所以MCN=(3,4).

2.A.提示：z=(6—3i)"=(—2j5)"(—g+等i)",〃=3是使z為實(shí)數(shù)的最小的正整數(shù).

3.A.提示：充分性顯然成立，必要性不成立.例：a=l,Z?=2,c=5,d=10.

4.A.提示：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，X2+X-2>0,則X>1或X<-2.當(dāng)x<-2時(shí)，/(x)為增函

數(shù)；當(dāng)x〉l時(shí)，/(x)為減函數(shù).

5.B.解法一令s=2x+y,，=x+2y,則

x=—(2s—t),y=—(2/—5).

所以

2x+yx+2y33st3

解法二令f=2，貝he(0,+8),此時(shí)

X

xy1

-------1----=--+---=

2x+yx+2yr+22/+1

即有

3(『-1)

fW=Q+2)2⑵+1/

顯然當(dāng)r<l時(shí)，f'(t)>0；當(dāng)/〉1時(shí)，/(r)<0,所以函數(shù)/⑺在，=1,即x=y時(shí)取得最大值

6.D.提示：函數(shù)y=〃2sin——,xe0,——的圖象只有被y=a及y=-a,O<a<m這樣的兩直

2co

線所截，截得的弦長(zhǎng)才能相等，且不為零.所以截取函數(shù)

.CDX「八4%]

y=/nsin-?+〃，xe0,-~-

21

的圖象所得弦長(zhǎng)相等且不為零的兩直線應(yīng)為、=〃+。,丁=〃—“，0<a<m,即有"+a=5,〃一。=—1.

解得〃=2,a=3.進(jìn)而m>3.

7.D.解法一以A記甲成績(jī)排名第一的所有可能的排序之集，以8記乙成績(jī)排名為最后的所有可

能的排序之集，則網(wǎng)=慟=5!,|An卻=4!.

甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序數(shù)為

伊113=網(wǎng)+同一|405|=216.

按照老師所述，這6位同學(xué)成績(jī)可能的排序數(shù)為6!-216=504.

解法二以乙的成績(jī)不在最后為前提，考慮甲的成績(jī)不在第一的所有可能排序.

(1)甲的成績(jī)排在最后的所有可能的排序數(shù)為團(tuán)=120；

(2)甲的成績(jī)不在最后，又不在第一的所有可能排序數(shù)為

所以甲不在首，乙不在尾的所有可能排序數(shù)為120+384=504.

8.C.提示：兩拋物線y=—V—1,x=l+y關(guān)于直線>=一》對(duì)T

稱(chēng).所求|PQ|的最小值為拋物線y=-x2-l上的點(diǎn)到直線y=-X距離的T

最小值的兩倍.設(shè)P(X,—Y—1)為y=—》2_i上任意點(diǎn)，則/

|X一尤"一1|X—X+1

372

9.B.提示：由已知可得

3

/(lglog81000)=/(lg-)=/(-lglg2)=8.

------1--=------1--

ax-\2\-ax2

令/(x)=/*)—6,則有"一幻=一尸(幻.從而有

/(-lglg2)=F(-lglg2)+6=-F(lg1g2)+6=8.

即知

F(lglg2)=-2,/(lglg2)=F(lglg2)+6=4.

10.C.提示:設(shè)該等差數(shù)列的公差為d.顯然4<0.由包<一1,知40>0,61I,且a”+/<0.

。10

因此

S20=”號(hào)9X20=10(?10+a”)<0，

S19=H^X19=19%O>O.

由41+。10<。，知24+19dv0.從而有

。。s19x18J

S、9-S]=19tZjH--——cl—Uy

=18q+9xl9d

=9(24+19J)<0.

所以〃=19.

p—1,p<-2,，一,.

11.〃(〃)=《提不：cos2x=2cos~x-l,令A(yù)|cosR=〃，則0<?<1且

[2p+l,p>-2.11

f(x)=2u2+pu+p-\=F(u).

拋物線＞=F(M)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-所以

F(l),

42

〃(p)=<

、1

F(0),P

42

p-1,〃<-2,

即〃(p)=V

2〃+l,p>-2.

71

⑵了提示：原方程等價(jià)于:

cos(---x-sinx)=cos(x-cosx)..

所以

x-cosx=2k萬(wàn)4-----x-sinx,kGz,...........(1)

2

或

JI

x-cosx=2Z;^-(--x-sinx),ksz,...........(2)

由(1)得：

冗

2x+sinx—cosx=2Z/rH——,

2

且函數(shù)/(x)=2x+sin九一cos尤在［0,句上為增函數(shù).所以

71八

-1=/(0)<2攵萬(wàn)+—</(乃)=2九+1.

JT

由此得Z=0.所以2x+sinx-cosx=—.

2

令g(x)=2x+sinx-cosx-/,易知g(x)在［。,4］上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，g(x)>0；當(dāng)

7T

時(shí)，g(x)<0,因此當(dāng)且僅當(dāng)x=一時(shí)，g(x)=0.

4

由(2)得：sinx+cosx=&一2匕r.因?yàn)閈<三-2k兀<立,故左無(wú)整數(shù)解，即此方程無(wú)解.

22

7T

綜上所述，原方程的解為x=X.

4

13.-4/?2.解法一設(shè)4(4,%),8(4,為)，則

22

\0A+研=(xA+xB)+(yA+yB),

|福|2=(乙一4)2+(%-%)2，

22

|OA+SB|-|AB|=4(X4?/+%力)?

設(shè)直線A3和x軸交于點(diǎn)尸(a,0).若直線43的斜率存在，設(shè)為m,則直線AB的方程為

y=777(%-a),將其代入拋物線方程得

m2x2-2^am2+p'jx+nra2-0.

由二元一次方程根與系數(shù)的關(guān)系得,由此得

yAyB=毋(尤A―0)(/-?)=—2ap.

所以

1^4+0B［一］麗］=4區(qū)?Xp+X,?%)=4［(a-p)2-p2］>-4p2.

當(dāng)直線A8的斜率不存在時(shí)，有為,=/=q凹,=—ys=J標(biāo).所以仍有

|SA+OB|'-|AB|'=4區(qū)?Xp+%?%)=4[(a-p)2-p2]>-4p2.

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)a=p時(shí),即直線A8的斜率不存在時(shí)等號(hào)成立，|西+而]麗『有最小值一4〃2.

22

解法二設(shè)A(件,力),8(普,力)，則

2p2p

|麗+研=(^1>+(力+%)2,

網(wǎng)I^^2+(力7).

所以

\OA+OB^-\AB[

=4(與4+%?%)

4P

=^[(y---yB-+p)2-p2]

2P

>-4p2

當(dāng)〃為=-2〃2時(shí)，|西+而通『取最小值一4〃2.

14.60°.提示：因?yàn)镚A+G耳+k=o,所以

40bGA+403GB+403GC=0.

所以

(566zG4-40b)GA+(35c-40Z?)GC=0.

因?yàn)镚A,反不共線，所以有

la—5b=0,7c—8Z?=0.

設(shè)a=5%,則匕=7左，c=8左，由余弦定理可得

八25/+64k2—49公1

cosB=----------------=—.

2x5Zx8Z2

所以N8=60°.

15.設(shè)x=sine+cos。，則有

sin2^=%2-1,sin(e+w)=cos(e-w)=_^-x,

原不等式化為:

彳_2g-3—2。.

x2-1-(272+>

V2

—x

2

即

%2—1—(2+ci)x---F3+2。>0,

x

整理得

、4—2x2-x

(2-x)a>2x-x2+-------x(2-x)+2x----

xX

2

因?yàn)?-x>0,即得a>x+—.

x

2

令/(x)=x+—,則函數(shù)/（X）在上單調(diào)遞減，所以/（X）在xw[l,亞]上的最大值為

X

/（1）=3.即知a的取值范圍為a>3.

16.連結(jié)BR交FG于，，連結(jié)4G,則BQ±AG.因?yàn)镋G

AR,2cl的中點(diǎn)，所以R彰4G，因此尸G_LB|R.又因?yàn)槊?/p>

AB￡D],FG在平面4B|C|￡>|內(nèi)，所以1.尸G.

由此得打7_1面8與。]。.因?yàn)镕H=GH,所以

2

%-EFG=VF-OEH+YG-OEH~^F-OEH~]^OEH*FH.

在梯形。B4”中

572V2372_5V2

S^OEH=S梯形088H-St￡BH一^^OBE

11~88\6~~i6

因此四面體OEFG的體積為

2xL”農(nóng)一

v

VO-EFG316448

17.由題意知，共線.設(shè)圓G與圓G的半徑分別為小空，直線的斜率為tana#O-

令機(jī)=cota,則圓G與圓G的圓心分別為GO%,。)，C2(mr2,r2),兩圓的方程分別為

(X-叫)2+(＞一4)2=/,

(X-摩)2+(y-2)2

點(diǎn)尸(3,2)是兩圓的公共點(diǎn)，所以

(3-/叫)2+(2一4)2=甲,

(3-加弓)2+(2-弓)2=成

由此可知4,乃是方程

nrr2—(6m+4)r+13=0

的兩個(gè)根，即有彳心=工!■，m=夜.從而知直線/的方程為

小2tanaC六

y=tan2a?1=------x=2<2x.

1-tana

18.以〃(J=Z)記比賽經(jīng)女次結(jié)束的概率.若左為奇數(shù)，則甲乙得分之差亦為奇數(shù)，因而有

PC=Q=O.

考慮頭兩次比賽的結(jié)果：

(1)甲連勝或乙連勝兩次，稱(chēng)為有勝負(fù)的兩次，此結(jié)果出現(xiàn)的概率為p2+^；

(2)甲乙各勝一次，稱(chēng)為無(wú)勝負(fù)的兩次，此結(jié)果有兩種情況，故出現(xiàn)的概率為2Pq.

比賽經(jīng)人次結(jié)束，女必為偶數(shù)，則1,2兩次，3,4兩次，……，％-3,4一2兩次均未分勝負(fù).

若女B2(),則第A-1,%兩為有勝負(fù)的兩次，從而有

〃e=/0=(2〃q)2kp2+q2).

若左=2(),比賽必須結(jié)束，所以〃e=20)=(2pq)9.

綜上所述

9

比"+d)Z2i(2pq產(chǎn)+20(2p].

i=\

由p+g=l,知p?+[2=]_2〃g.令n=2pq,則〃2+,2=]_〃，所以

第=(1—”)22加"+20葭9.

/=1

9

令S=Z2?T,則

/=1

91010

us=2iu>=2(/-1)?/-1=￡2(，一1)〃1,

/=11=2i=l

(l-u)s=y2〃T_]8M9=2"")-18i/9,

/=11-〃

EJ=q_h)5+20/

2

=——[1—〃9-9/(1一〃)+10〃9(1一〃)]

1-w

2(1-，)

1-u

因0<w?g,所以有2<EJ44—(3)'.

19.令4={2,3,…,44},B={45,46,…,2011}U⑴.

對(duì)任一A/eP)令

M.=MQA,M=MQB.

ADV

顯然，集合BeP.

設(shè)最大集元素的個(gè)數(shù)為勺，則如2161=1968.

若MwP,設(shè)My中除1之外的最小元為45+p,0<p<42.

集合A中與45+p的乘積大于2011的元素個(gè)數(shù)記為q,則

20112011

q=44-------<45-------.

_45+p\45+〃

結(jié)論1當(dāng)“24時(shí)，有4<p.

2011

事實(shí)上，若有〃Wq<45-------,即

45+/?

2

45p+〃445(45+