相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法5.1概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波器5.2多模型算法(Multiple-ModelApproach)5.3相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法5.4多傳感器相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法5.5目標(biāo)運動模型(TargetMotionModels)●補記

目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的一個研究重點是如何解決雜波干擾和目標(biāo)高度機動情況下的目標(biāo)跟蹤問題。在可用的算法中，有代表性的是概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法(PDAF)和多模型算法(MMF)

，前者在雜波環(huán)境下有很好的跟蹤性能，后者適用于目標(biāo)高度機動的情形。基于這兩種算法導(dǎo)出的相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法(IMMPDAF)適用于雜波環(huán)境中機動目標(biāo)的跟蹤問題，從而備受推崇。

20年來，國外關(guān)于概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法、多模型算法及由此導(dǎo)出的相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法的研究十分活躍，并已取得了豐碩的成果。這些算法逐漸完善并正在被應(yīng)用于多傳感器情形。這些算法也引起了我國學(xué)者的廣泛關(guān)注，已有許多博士論文專門對其進行深入研究。本章首先對概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法、多模型算法和相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法進行了全面、深入的研究，給出了各種關(guān)聯(lián)概率以及協(xié)方差等詳細的計算過程；接著，簡要介紹了Houles和Bar-Shalom基于這些算法提出的多傳感器概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法和多傳感器相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法，并對其作了進一步的改進和完善；最后，討論了機動目標(biāo)的運動模型。

5.1概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波器

5.1.1預(yù)備知識考慮線性狀態(tài)和量測方程描述的混合系統(tǒng)：

其中，

x

(k

)表示k時刻的狀態(tài)向量，

z(k)表示k

時刻的觀測向量，

F(k)表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，

H(k

)表示量測矩陣，

v(k)和w(k)是零均值相互獨立的白色高斯過程噪聲。v(k)和w(k)分別具有已知方差

其中

表示克羅內(nèi)克函數(shù)。

設(shè)x(k)與v(k)正交，即E[x(k)v(k)‘]=0，則進而得到量測的協(xié)方差為

其中

表示狀態(tài)估計的協(xié)方差。

在應(yīng)用卡爾曼濾波，除了盡可能精確描述動態(tài)方程和量測方程外，還有一個重要的問題就是如何選取Q

(k

)。

Q(k)選取的好壞對濾波精度有直接的影響。動態(tài)模型愈是不精確，這種影響愈大。選取Q

(k

)的一個基本原則是，使Q(k)的大小與動態(tài)模型的精度相匹配。如果Q

(k

)選取過大，則使濾波在過去觀測量上的加權(quán)衰減過快，從而使濾波不能很好地利用已有觀測量的信息，其結(jié)果是降低濾波的精度；反之，如果Q

(k

)選取過小，使濾波在過去觀測量上的加權(quán)衰減過慢，隨著濾波的遞推，將會引進愈來愈大的模型噪聲，從而使濾波誤差增大。這就是通常所說的濾波的發(fā)散現(xiàn)象。

5.1.2概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波器的基本思想

概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)理論的基本假設(shè)是，在雜波環(huán)境下僅有一個目標(biāo)存在，并且這個目標(biāo)的航跡已經(jīng)形成。如果每個時刻的有效回波只有一個，則關(guān)聯(lián)問題就變成經(jīng)典的卡爾曼濾波問題。但是，在雜波環(huán)境下，由于隨機因素的影響，在任一時刻，某一給定目標(biāo)的有效回波往往不止一個。這樣就產(chǎn)生了一個無法回避的問題：究竟哪一個有效回波是來自目標(biāo)的？為解決這個問題所采用的一種方法是所謂的“最近鄰”方法，即簡單地認為離目標(biāo)預(yù)報測量最近有效回波源于目標(biāo)，其余有效回波都源于雜波干擾；

另一種方法認為所有有效回波都可能源于目標(biāo)，只是每個有效回波目標(biāo)的概率有所不同，這正是我們本章要研究的概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法。

設(shè)

Ｚ(k)={Zi(k)}m(k)j=1表示傳感器在k時刻確認的測量集合；

m(k)表示在k時刻確認的測量的個數(shù)；

Zk={Z(n)}k

n=1表示直到時刻k的累積量測集；

θj(k)|Z

j(k)是來自目標(biāo)的正確量測的事件；

θ0(k)表示傳感器所確認的量測沒有一個是正確的事件，

表示在k時刻，第j個量測是來自目標(biāo)這一事件的概率(量測zj

(k)源于目標(biāo)的概率)，由θj(k)，j=0，

1，…，

m(k)的定義易知

是事件空間的一個不相交完備分割，從而有

令

表示在事件θi(k)出現(xiàn)的條件下的更新狀態(tài)估計，則應(yīng)用全概率公式，有

在處理預(yù)報和濾波問題時經(jīng)常要用到vi(k)。它給出了zi(k)中所含的真正全新的信息，故稱其為量測i

的新息(

Innovation)。增益W(k)和標(biāo)準(zhǔn)濾波器的一樣#.對于i=0，即如果沒有一個量測是正確的，則

將(5-12)、5-14)式代入(5-11)式得概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波器的目標(biāo)狀態(tài)更新估計為

其中

稱為組合新息(CombinedInnovation)。

目標(biāo)狀態(tài)更新估計相應(yīng)的協(xié)方差為

其中

5.1.3關(guān)聯(lián)概率βi

(k)的計算

由(5－8)式，第i個量測在k時刻與目標(biāo)關(guān)聯(lián)的概率為

應(yīng)用貝葉斯公式和乘法定理得

其中

概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波器依據(jù)的3個基本假設(shè)是:

(1)假量測在跟蹤門中服從均勻分布，即

其中Vk

表示跟蹤門的體積。

(2)正確量測服從正態(tài)分布，即

其中

PG

表示正確量測落入跟蹤門內(nèi)的概率。

(3)在每一個采樣周期至多有一個真實量測，這個事

件發(fā)生的概率為PD。

對于i=0，即所有確認量測都不正確的情形#.根據(jù)第一個假設(shè)，在已知k

時刻以前的有效量測集Zk-1，及

k時刻的m

(k

)個有效量測都源于雜波的條件下，可得Z(k)

的聯(lián)合概率密度為

對于i=1，

2，…，

m(k)的任一情形，根據(jù)第二個假設(shè)，在已知k

時刻以前的有效量測集Zk-1

，及k

時刻的m(

k)個有效量測中有一個源于目標(biāo)的條件下，

Z(k)的聯(lián)合概率密度為

其中

由(5－26)和(5－27)式立得

將(5－29)和(5－21)式立得

其中

令MT

表示有效量測的總數(shù)，

MF

表示錯誤量測的總數(shù)#.根據(jù)第三個假設(shè)，若目標(biāo)被檢測并且其量測落入跟蹤門中，則MF=m(k)-1，否則，

MF=m(k)。

應(yīng)用全概率公式得

如果錯誤量測數(shù)為m(k)-1，則表示m(k)個量測中有一個是源于目標(biāo)的量測，從而事件θi

(k)(i=1，

2，…，

m(k))發(fā)生的概率為m(k

)-1，而事件θ0(k)發(fā)生的概率為0。

如果錯誤量測數(shù)為m(k)，則表示m(k)個量測中沒有一個是源于目標(biāo)的量測，從而事件θi(k)(i=1，

2，…，m(k))發(fā)生的概率為0

，而事件θ0(k)發(fā)生的概率為1。由此我們可以得到

將(5－34)和(5－35)式代入(5－33)式得

應(yīng)用貝葉斯公式有

其中

表示錯誤量測數(shù)的概率分配函數(shù)(ProbabilityMassFunction)，同理可得

其中

將(5-33)、（5-39）和（5-40）式代入（5-36）式得

有兩種模型可以用于概率分配函數(shù)μF：

在多目標(biāo)跟蹤問題中，跟蹤門幾乎為各種方法所采用#.當(dāng)目標(biāo)無機動時，跟蹤門的大小一般為常值;當(dāng)目標(biāo)機動時，調(diào)整門的大小以保持一定的接收正確回波的概率就成了關(guān)鍵問題。因此，在機動多目標(biāo)跟蹤問題中，如何使跟蹤門自動適應(yīng)目標(biāo)機動范圍和強度的變化將是一項富于挑戰(zhàn)的課題。我們這里無意對跟蹤門進行深入的討論，有關(guān)這方面的研究可參見Blakman#，周宏仁和敬忠良的著作。他們在那里對跟蹤門的形成方法進行了專門的研究，并給出了各種跟蹤門體積的計算方法。

5.1.4

協(xié)方差P(k|k)的計算

5.2多模型算法(Multiple-ModelApproach)

在傳統(tǒng)的機動目標(biāo)跟蹤方法中，雖然也用不同模型對應(yīng)目標(biāo)的不同運動狀態(tài)，但通常每個時刻只有一個模型濾波器在起作用，不同模型濾波器之間根據(jù)統(tǒng)計檢驗對目標(biāo)狀態(tài)進行監(jiān)視和切換。盡管這樣也能夠適應(yīng)目標(biāo)機動運動的變化，但機動檢測往往有滯后，而快速進行模型切換則可能降低濾波器的可靠性。

多模型算法是一種遞歸算法。在這種算法中，每一個模型對應(yīng)一個不同的過程噪聲水平，多模型算法的基本思想如圖5.1所示。

多模型算法是一種基于“軟切換”的機動目標(biāo)跟蹤方法。這種方法對于不同的目標(biāo)運動狀態(tài)或同一個目標(biāo)的不同運動階段，應(yīng)用不同的模型濾波器。各模型濾波器通過估計狀態(tài)的組合實現(xiàn)相互作用。模型之間基于一個馬爾可夫鏈進行切換。各模型濾波器估計的加權(quán)和作為最后的組合狀態(tài)估計。圖5.1

多模型濾波器

設(shè)Mj表示第

j個模型是正確的這一事件，用

表示模型Mj的先驗概率，用

表示模型Mj在k時刻正確的后驗概率，應(yīng)用貝葉斯公式可得

應(yīng)用(5－23)和(5－24)式得

其中

由(5－77)式容易得到

應(yīng)用全概率公式，

x(k)的后驗概率密度函數(shù)為

由上式容易得到，多模型算法的狀態(tài)更新估計，是以各種模型為條件的狀態(tài)更新估計按照(5－77)式的一個加權(quán)和，即

其中

表示以模型Mj

為條件的狀態(tài)更新估計。

基于(5－79)和(5－80)式可以證明(5－81)式的協(xié)方

差矩陣為

其中

表示以模型Mj為條件的狀態(tài)更新估計的協(xié)方差

5.3相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法

在(5－11)式中我們應(yīng)用概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法得到

相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法的思想如圖5.2所示。圖5.2

相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法的思想

由圖看出，相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法是一種遞歸算法。它假設(shè)模型的數(shù)量是有限的。算法的每一個循環(huán)包括4步：相互作用(混合)、濾波、模型概率更新計算和狀態(tài)與其協(xié)方差的組合估計。在每一個時刻，假設(shè)某個模型在現(xiàn)在時刻有效的條件下，通過混合前一時刻所有濾波器的狀態(tài)估計來獲得與這個特定模型匹配的濾波器的初始條件。接著對每個模型并行實現(xiàn)正規(guī)濾波(預(yù)測與修正)步驟。然后，以模型匹配似然函數(shù)為基礎(chǔ)更新模型概率，并組合所有濾波器修正后的狀態(tài)估計(加權(quán)和)以得到狀態(tài)估計。一個模型有效的概率在狀態(tài)和協(xié)方差組合中起重要的加權(quán)作用。

其中

其中

是預(yù)測的模型i的概率，

是模型開關(guān)概率，通常認為其服從馬爾可夫鏈，表示k-1時刻模型i

到k

時刻模型j

的跳轉(zhuǎn)概率。由(5－74)式立得

它與（5-83）式類似。我們也容易證明與（5-90）式相應(yīng)的協(xié)方差為

在雜波煩擾的情況下，類似于（5-62）式的證明可知，似然函數(shù)的新息的聯(lián)合概率密度函數(shù)，即

其中，vji(k)是對應(yīng)于測量i的k時刻的新息，Sj(k)是預(yù)測的量測的協(xié)方差矩陣，這兩者是按模型j計算的，Vk是跟蹤門的體積，是正確的量測的先驗概率。

由（5-32）式得

應(yīng)用(5-37)和(5-38)式，(5-92)式變?yōu)?/p>

注意，每個模型必須有相同數(shù)目的量測，這樣它們的似然吧才有相同的物力維數(shù)。這可以通過使用公共跟蹤門（所有跟蹤門的并）來完成。

（3）模型概率更新：多模型概率被更新為

其中

(4)組合：以模型為條件的估計和協(xié)方差的組合按下列方程計算：

5.4多傳感器相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法

5.4.1

多傳感器概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波器我們考慮兩個傳感器的情形，設(shè)各傳感器目標(biāo)運動狀態(tài)的觀測方程為

wi(k)為零均值的高斯觀測誤差，方差為

其中

表示克羅內(nèi)克函數(shù)，

Ri表示傳感器i

的觀測誤差的協(xié)方差矩陣。

設(shè)

表示第i個傳感器在k時刻確認的量測集合；

表示直到時刻k的累積量測集，則目標(biāo)狀態(tài)的第i個傳感器的最小方差估計為

目標(biāo)狀態(tài)的多傳感器估計為：

所要解決的問題是如何基于來自多個傳感器的量測集合來得到多傳感器狀態(tài)估計。

表示在量測z1j(k)源于目標(biāo)的條件下的更新狀態(tài)估計。

由(5－73)式知協(xié)方差P1(k|k)可由下式計算得到：

其中

Houles和Bar-Shalom在上述工作中應(yīng)用的是序列估計方法。對于兩個傳感器情形，這種方法是有效的和可行的，但這一工作不能自然地推廣到多傳感器(n>2)情形。

5.4.2多傳感器多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波器

多傳感器多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法是目前數(shù)據(jù)融合在目標(biāo)跟蹤與數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)方面的研究中心，大部分工作都是以相互作用多模型－數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法為基礎(chǔ)的。這里我們主要介紹Houles和Bar-Shalom提出的算法，并對其作了進一步的改進和完善。

（2）基于混合狀態(tài)估計預(yù)測狀態(tài)估計和量測：

它們的協(xié)方差為

對于第一個傳感器：

它的協(xié)方差為

（3）對第一個傳感器進行量測確認。首先為第一個傳感器以量測的預(yù)測值為中心建立跟蹤門，即

對于兩個模型的情形，確認區(qū)域取它們當(dāng)中較大的，二維橄球確認區(qū)域的體積為

其中

5.5目標(biāo)運動模型(TargetMotionModels)

在相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波算法中，每一個模型對應(yīng)一個不同的機動水平。因而，如何建立既符合實際又便于進行數(shù)學(xué)處理的目標(biāo)運動模型，是這種算法能否獲得應(yīng)用的一個關(guān)鍵。

在目標(biāo)運動過程中，大氣擾動因素可以使勻速直線運動的非機動目標(biāo)產(chǎn)生具有隨機特性的擾動輸入，此時，加速度是一服從零均值白色高斯分布的過程；而駕駛員人為的動作使得目標(biāo)還能進行轉(zhuǎn)彎、閃避或其它特殊的攻擊姿態(tài)等機動現(xiàn)象，此時加速度變成非零均值時間相關(guān)的有色噪聲過程。因此，在目標(biāo)運動模型建造過程中除了考慮上述加速度非零均值時間相關(guān)噪聲過程外，還要考慮加速度的分布特性，要求加速度分布函數(shù)盡可能地描述目標(biāo)機動的實際情況。

目前關(guān)于目標(biāo)運動模型的研究大致可分為全局統(tǒng)計模型和“當(dāng)前”統(tǒng)計模型兩類。全局統(tǒng)計模型包括Singer模型，半馬爾可夫模型和Noval模型，其共同特點是考慮了目標(biāo)所有機動變化的可能性，適合于各種情況和各種類型目標(biāo)的機動。這樣的模型特點導(dǎo)致了在全局統(tǒng)計模型中，每一種具體戰(zhàn)術(shù)情況下的每一種具體機動的發(fā)生概率勢必減小。換句話說，對一個具體的戰(zhàn)術(shù)情況而言，機動模型將不會有很高的精度?！爱?dāng)前”統(tǒng)計模型是周宏仁在對全局統(tǒng)計模型全面研究的基礎(chǔ)上提出來的。這種模型認為，當(dāng)目標(biāo)正以某一加速度機動時，下一時刻的加速度取值是有限的，且只能在“當(dāng)前”加速度的某個鄰域內(nèi)，它所關(guān)心的是每一種具體的戰(zhàn)術(shù)情況下的每一種具體的機動。

周宏仁詳細介紹了各種全局統(tǒng)計模型以及他所提出的“當(dāng)前”統(tǒng)計模型。限于篇幅，我們對這些模型不再進行具體的討論，而只是在對建立目標(biāo)運動模型的基本理論作了簡短介紹后，給出幾種典型的目標(biāo)運動模型。

5.5.1

基本理論

1.無輸入情形

考慮無噪聲情形，

其中a是一個常數(shù)。假設(shè)（5-135）式的解在t=0附近可以表示為冪級數(shù)形式。即

則

從而得

故

定義1設(shè)A施一個n階矩陣，

將其稱為At的指數(shù)矩陣。

在數(shù)學(xué)上可以證明（5-146）式中的無窮級數(shù)對所有的t是絕對收斂的，因此它可以逐項進行微分或積分。從而有

其中

由（5-146）和（5-147）式容易得到

是

的一個解。

例地球衛(wèi)星的線性方位角運動可用以下方程表示：

其中

則

故

其中

故

2.有輸入的情形

仍然首先考慮一維系統(tǒng)情形，

對上式兩邊從0到t積分得

整理上式子得

和無輸入的情形一樣，可以證明向量微分方程

和標(biāo)量微分方程（5-149）解的形式完全類似，即狀態(tài)方程（5-152）的解為

5.5.2幾個典型的目標(biāo)運動模型

在相互作用多模型—概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)濾波算法中，航跡形成（TrackFormation）和航跡保持（TrackMaintennance）功能是這樣完成的：在航跡形成階段使用兩個模型，然后使用其它模型增廣以便對已探測目標(biāo)的動機提供保持。航跡形成的兩模型法假設(shè)將對非機動目標(biāo)進行探測，于是使用的兩個模型是：（1）幾乎勻速的“可觀測目標(biāo)模型”；（2）勻速“無目標(biāo)”模型。其它候選的模型用來處理目標(biāo)機動，它們與航跡形成的兩個模型組合以完成航跡保持功能。