中考數(shù)學(xué)真題及答案

一、選擇題（每小題3分，共12小題，滿分36分）

1.-2的絕對值是（）

5

A.-5B.工C.5D,4

5

2.下列圖形中是軸對稱圖形的是（）

3.預(yù)計到2025年，中國561用戶將超過460000000,將460000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

A.4.6X109B.46X107C.4.6X108D.0.46X109

5.這組數(shù)據(jù)20,21,22,23,23的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.20,23B.21,23C.21,22D.22,23

6.下列運算正確的是（）

A.才+才=4B.Cr.(/a3)\1—_a12I),(ad)~—alf

D.Z1=Z3

8.如圖，已知AB=5,BC=3,以46兩點為圓心，大于的長為半徑畫圓弧,兩弧相交于點

2

M,N,連接處'與〃1相交于點〃，則△加C的周長為（）

A.8B.10C.11D.13

9.已知尸（aWO）的圖象如圖，貝!］尸。戶8和y=￡■的圖象為（）

A.矩形對角線互相垂直B.方程f=14x的解為x=14

C.六邊形內(nèi)角和為540°D.一條斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等

11.定義一種新運算\an'/'dx=d'-乩例如心2%辦=爐-冷若「m--2dx=-2,

JbJnJ5mx

A.-2B.-ZC.2D.2

55

12.已知菱形/靦，E、廠是動點，邊長為4,BE=AF,ZBAD=120°,則下列結(jié)論正確的有幾個（）

①△跖屋②尸為等邊三角形；③NAGE=NAFC；④若〃'=1,則如=工.

二、填空題（每小題3分，共4小題，滿分12分）

13.分解因式：ae-a=.

14.現(xiàn)有8張同樣的卡片，分別標有數(shù)字：1,1,2,2,2,3,4,5,將這些卡片放在一個不透明的盒子

里，攪勻后從中隨機地抽出一張，抽到標有數(shù)字2的卡片的概率是.

15.如圖，在正方形/時中，BE=1,將比1沿龍翻折，使8點對應(yīng)點剛好落在對角線47上，將澳沿"'

翻折，使〃點對應(yīng)點剛好落在對角線4c上，求加.

16.如圖，在RtZk4?C中，NABC=90°,C（0,-3）,334〃點力在反比例函數(shù)尸K圖象上，且y軸

X

平分N力6S,求★=.

三、解答題（第17題5分，第18題6分，第19題7分，第20題8分，第21題8分，第22題9分，第

23題9分，滿分52分）

17.（5分）計算：2cos60°+（工）-1+（n-3.14）0

8

18.（6分）先化簡（1-旦）4-—^：—,再將x=-l代入求值.

x+2X2+4X+4

19.（7分）某校為了了解學(xué)生對中國民族樂器的喜愛情況，隨機抽取了本校的部分學(xué)生進行調(diào)查（每名學(xué)

生選擇并且只能選擇一種喜愛的樂器），現(xiàn)將收集到的數(shù)據(jù)繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

A

U古箏二胡竹笛揚琴其他‘樂器類型

（1）這次共抽取名學(xué)生進行調(diào)查，扇形統(tǒng)計圖中的才=:

（2）請補全統(tǒng)計圖；

（3）在扇形統(tǒng)計圖中“揚琴”所對扇形的圓心角是度；

（4）若該校有3000名學(xué)生，請你估計該校喜愛“二胡”的學(xué)生約有名.

20.（8分）如圖所示，某施工隊要測量隧道長度844〃=600米，ADLBC,施工隊站在點〃處看向8,測

得仰角為45°,再由〃走到￡處測量，DE//AC,劭=500米，測得仰角為53°,求隧道比1長.（sin53°

^―,cos53°??—,tan53°=?且）.

553

/發(fā)電廠比6發(fā)電廠多發(fā)40度電，4焚燒20噸垃圾比

6焚燒30噸垃圾少1800度電.

(1)求焚燒1噸垃圾，/和6各發(fā)電多少度？

(2)4、6兩個發(fā)電廠共焚燒90噸的垃圾，4焚燒的垃圾不多于8焚燒的垃圾兩倍，求4廠和8廠總發(fā)

電量的最大值.

22.(9分)如圖拋物線經(jīng)尸ay+bt+c過點/(-1,0),點。(0,3),豆OB=OC.

(1)求拋物線的解析式及其對稱軸；

(2)點〃、￡在直線x=l上的兩個動點，且朦=1,點〃在點￡的上方，求四邊形4儀藝的周長的最小

值.

(3)點。為拋物線上一點，連接，直線"把四邊形函的面積分為3：5兩部分，求點P的坐標.

23.(9分)已知在平面直角坐標系中，點4(3,0),6(-3,0),(7(-3,8),以線段比'為直徑作圓,

圓心為E,直線“'交?！暧邳cD,連接OD.

(1)求證：直線如是?！甑那芯€；

(2)點尸為x軸上任意一動點，連接行'交?！暧邳cG,連接班;

①當(dāng)tan/4gL時，求所有尸點的坐標(直接寫出);

7

②求此的最大值.

2019年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共12小題，滿分36分）

1.-2的絕對值是（）

5

A.-5B.工C.5D.-工

55

【分析】絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；?個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.

【解答】解：根據(jù)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，得

55

故選：B.

【點評】本題考查了絕對值的定義，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的性質(zhì).

2.下列圖形中是軸對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：爾是軸對稱圖形，故本選項正確；

6、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

G不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

以不是軸對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

3.預(yù)計到2025年，中國5G用戶將超過460000000,將460000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.4.6X109B.46X107C.4.6X108D.0.46X109

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10”的形式，其.中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看

把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時，〃

是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，〃是負數(shù)

【解答】解：將460000000用科學(xué)記數(shù)法表示為4.6XIO".

故選：C.

【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,

〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及〃的值.

4.下列哪個圖形是正方體的展開圖（）

【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題.

【解答】解：根據(jù)正方體展開圖的特征，選項4、C、〃不是正方體展開圖；選項8是正方體展開圖..

故選：B.

【點評】此題主要考查了正方體的展開圖，正方體展開圖有11種特征，分四種類型，即：第一種：“1

-4-1”結(jié)構(gòu)，即第一行放1個，第二行放4個，第三行放1個；第二種：“2-2-2”結(jié)構(gòu)，即每一行

放2個正方形，此種結(jié)構(gòu)只有一種展開圖；第三種：“3-3”結(jié)構(gòu)，即每一行放3個正方形，只有一種展

開圖：第四種：“1-3-2”結(jié)構(gòu)，即第一行放1個正方形，第二行放3個正方形，第三行放2個正方形.

5.這組數(shù)據(jù)20,21,22,23,23的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.20,23B.21,23C.21,22D.22,23

【分析】將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位

置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).

【解答】解：這組數(shù)據(jù)排序后為20,21,22,23,23,

中位數(shù)和眾數(shù)分別是22,23,

故選：D.

【點評】本題主要考查了中位數(shù)以及眾數(shù)，中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的移動對中位數(shù)

沒有影響，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中也可能不在所給的數(shù)據(jù)中出現(xiàn).

6.下列運算正確的是（）

A.^+eC—aB.a*a—a'C.（a‘）'—a1D.（ah'）2—al）

【分析】分別根據(jù)合并同類項的法則、同底數(shù)幕的乘法、幕的乘方以及積的乘方化簡即可判斷.

222

【解答】解：A.a+a=2a,故選項4不合題意；

B.a*a=a,故選項6不合題意；

C.（成）4=a'\故選項。符合題意；

D.（aZ＞）'—故選項〃不合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查了塞的運算法則，熟練掌握法則是解答本題的關(guān)鍵.

7.如圖，已知L//AB,4c為角平分線，下列說法錯誤的是（）

A.Z1=Z4B.Z1=Z5C.Z2=Z3D.Z1=Z3

【分析】利用平行線的性質(zhì)得到N2=N4,Z3=Z2,N5=N1+N2,再根據(jù)角平分線的定義得到N1

=N2=/4=N3,Z5=2Z1,從而可對各選項進行判斷.

【解答】解：???、〃/川

.*.Z2=Z4,Z3=Z2,Z5=Z1+Z2,

為角平分線，

.?.Z1=Z2=Z4=Z3,Z5=2Z1.

故選：B.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平

行，內(nèi)錯角相等.

8.如圖，已知AB=5,BC=3,以46兩點為圓心，大于的長為半徑畫圓弧，兩弧相交于點

2

M,N,連接腑與然相交于點〃，則△胸的周長為（）

【分析】利用基本作圖得到腸V垂直平分48,利用線段垂直平分線的定義得到的=如，然后利用等線段

代換得到△班C的周長=/0及7.

【解答】解：由作法得加，垂直平分/反

：.DA=DB,

；.△比右的周長=Dt*DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8.

故選：A.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖(作一條線段等于已知線段；作一個角等于已

知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線).也考查了線段垂直

平分線的性質(zhì).

9.己知尸(aWO)的圖象如圖，則.『a肝&和y=￡?的圖象為()

【分析】根據(jù)二次函數(shù)尸ax°+以+c(aWO)的圖象可以得到a<0,b>0,c<0,由此可以判定y=ajr+6

經(jīng)過一、二、四象限，雙曲線y=￡在二、四象限.

【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)y=a*+6x+c(a#0)的圖象，

可得a<0,b>Q,c<0,

過一、二、四象限,

雙曲線y=￡在二、四象限，

x

是正確的.

故選：C.

【點評】此題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)中系數(shù)及常數(shù)項與圖象位置之間關(guān)系.

10.下面命題正確的是()

A.矩形對角線互相垂直

B.方程x?=14x的解為x=14

C.六邊形內(nèi)角和為540°

D.一條斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等

【分析】由矩形的對角線互相平分且相等得出選項A不正確；

由方程f=14x的解為x=14或x=0得出選項6不正確；

由六邊形內(nèi)角和為(6-2)X1800=720°得出選項C不正確；

由直角三角形全等的判定方法得出選項〃正確：即可得出結(jié)論.

【解答】解：A.矩形對角線互相垂直，不正確；

B.方程x?=14x的解為x=14,不正確；

C.六邊形內(nèi)角和為540°,不正確；

D.一條斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，正確；

故選：D.

【點評】本題考查了命題與定理、矩形的性質(zhì)、一元二次方程的解、六邊形的內(nèi)角和、直角三角形全等

的判定；要熟練掌握.

11.定義一種新運算RanW'dx-',例如「k2x辦=爐-冷若「m-2dx=-2,則必=()

JbJnJ5nlx

A.-2B.-ZC.2D.2

55

【分析】根據(jù)新運算列等式為"尸-(5加一1=-2,解出即可.

【解答】解：由題意得：0(5加T=-2,

l-J_=-2,

in5m

5-1=-10/zz,

故選：B.

【點評】本題考查了負整數(shù)指數(shù)幕和新定義，理解新定義，并根據(jù)新定義進行計算是本題的關(guān)鍵.

12.已知菱形力"9,E、尸是動點，邊長為4,BE=AF,ZBAD=120°,則下列結(jié)論正確的有幾個()

①△龍屋△加&②為等邊三角形；③NAGE=NAFC：④若4尸=1,則更=工

【分析】①△松屋△/尾(必S),正確；②由△班修△加S得CE=CF,ZBCE=4ACF,由

￡。=/6。=60°,得/4衿/￡。=60,所以△庇尸是等邊三角形，正確：③因為/4?￡'=/。丹/力尸G

=60°+ZAFG,ZAFC=ZCFG^AAFG=60°+NMG,所以//儂=N/AG故③正確；④過點￡作￡"灰

交下點〃點，易證是等邊三角形，則￡；4/￡=3,由"1〃￡%則迎=坦=工.故④正確,

EGEM3

【解答】解：①△鹿四(SAS),正確：

②?：△BEC^XAFC,

:.CE=CF,4BCE=NACF,

,:NBCA/ECA=/BCA=6Q°,

：.ZAC/^-ZECA=60,

...△a%是等邊三角形，

故②正確；

③AAGE=ZCAF+ZAFG=60°+NAFG；

■/仍=60°+ZAFG,

：.ZAGE=/AFC,

故③正確正確；

④過點￡作EM〃BC交然下點"點,

易證△4￡獷是等邊三角形，則EM=AE=3,

,:AF〃EM,

.,.則竺=更=工

EGEM3

故④正確，

故①②③④都正確.

故選：D.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練運用菱形的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(每小題3分，共4小題，滿分12分)

13.分解因式：-a=a(出1)(方-1).

【分析】原式提取a,再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=a(b-1)=a(Z^l)(6-1),

故答案為：a(6-1)

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

14.現(xiàn)有8張同樣的卡片，分別標有數(shù)字：1,1,2,2,2,3,4,5,將這些卡片放在一個不透明的盒子

里，攪勻后從中隨機地抽出一張，抽到標有數(shù)字2的卡片的概率是_a_.

【分析】直接利用概率公式計算進而得出答案.

【解答】解：???現(xiàn)有8張同樣的卡片，分別標有數(shù)字：1,1,2,2,2,3,4,5,

將這些卡片放在一個不透明的盒子里，攪勻后從中隨機地抽出一張，抽到標有數(shù)字2的卡片的概率是：

_3

8"

故答案為：1.

8

【點評】此題主要考查了概率公式，正確掌握計算公式是解題關(guān)鍵.

15.如圖，在正方形/%中，BE=\,將比1沿龍翻折，使6點對應(yīng)點剛好落在對角線〃'上，將川9沿井

翻折，使〃點對應(yīng)點剛好落在對角線4c上，求如=_近_.

Bl-----------771C

【分析】作￡歸_/6于點機根據(jù)折疊的性質(zhì)與等脾直角三角形的性質(zhì)得出EX=EB=4X=1,NEXC=2B

=90°,AkDF=YF=l,由勾股定理得到力￡=五居*=&.那么正方形的邊長力4￡「我+1,

￡I/=V2-1,然后利用勾股定理即可求出EF.

【解答】解：如圖，作用吐45于點也

:四邊形/靦是正方形，

：./胡。=/。片45°.

?.?將BC沿龍翻折，夕點對應(yīng)點剛好落在對角線W上的點X

：.EX=EB=AX=\,NEXC=NB=9Q°,

?F￡=YAX2+EX2=&.

???將/〃沿加7翻折，使〃點對應(yīng)點剛好落在對角線4C上的點Y,

:.AM=DF=YF=1,__

，正方形的邊長AB=同右業(yè)+],-],

￡7?=VEP+FM2=J(&-1)2+(&+1)2=注,

故答案為，

B

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不

變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.也考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理.求出與用/是解題的關(guān)

鍵.

16.如圖，在RtA46C中，乙奶。=90°,C(0,-3),334〃點力在反比例函數(shù)y=k圖象上，且y軸

%分乙ACB,求衣=研

【分析】要求〃得值，通常可求/的坐標，可作x軸的垂線，構(gòu)造相似三角形，利用5=34〃和C(0,

-3)可以求出4的縱坐標，再利用三角形相似，設(shè)未知數(shù)，由相似三角形對應(yīng)邊成比例，列出方程，求

出待定未知數(shù)，從而確定點力的坐標，進而確定在的值.

【解答】解：過4作軸，垂足為缶

'：C(0,-3),

：.OC=i,

可證△力應(yīng)

?..—AE一-.D.E.AD—'1f

C0-0D-CD-3

：.AE=1；

又???軸平分N4微COLBD

：.BO=OD

?：NABC=90°

△ABE?COD

?AEJE

**0D^0C

設(shè)DE=n,貝ijBO=OD=in9BE=ln,

,.?—1=_—7n，

：.OE=4n=處

7

：.A（9近,1）

7

：.k=&i至.

77

故答案為：

7

【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，綜合利用相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)求

4的坐標，依據(jù)/在反比例函數(shù)的圖象上的點，根據(jù)坐標求出％的值.綜合性較強，注意轉(zhuǎn)化思想方法

的應(yīng)用.

三、解答題（第17題5分，第18題6分，第19題7分，第20題8分，第21題8分，第22題9分，第

23題9分，滿分52分）

17.（5分）計算：V9-2cos60°+(工)-1+(it-3.14)0

8

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及零指數(shù)基的性質(zhì)、負指數(shù)基的性質(zhì)分別化簡得出答案.

【解答】解：原式=3-2XL+8+1

2

=3-1+8+1

=11.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

18.（6分）先化簡（1-工）土—,再將x=-1代入求值.

x+2x2+4x+4

［分析】直接利用分式的混合運算法則進而化簡得出答案.

2

【解答】解：原式=@X（x+2）

x+2x-1

=戶2,

將x=-1代入得：

原式=戶2=1.

【點評】此題主要考查了分式的化簡求值，正確掌握分式的混合運算法則是解題關(guān)鍵.

19.（7分）某校為了J'解學(xué)生對中國民族樂器的喜愛情況，隨機抽取了本校的部分學(xué)生進行調(diào)查（每名學(xué)

生選擇并且只能選擇一種喜愛的樂器），現(xiàn)將收集到的數(shù)據(jù)繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

扇形統(tǒng)計圖中的*=15%

(3)在扇形統(tǒng)計圖中“揚琴”所對扇形的圓心角是36度;

(4)若該校有3000名學(xué)生，請你估計該校喜愛“二胡”的學(xué)生約有900名.

【分析】（1）依據(jù)喜愛古箏的人數(shù)數(shù)據(jù)，即可得到調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，根據(jù)喜歡竹笛的學(xué)生數(shù)占總?cè)藬?shù)的

百分比即可得到結(jié)論；

（2）求二胡的學(xué)生數(shù)，即可將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）依據(jù)“揚琴”的百分比，即可得到“揚琴”所占圓心角的度數(shù)；

（4）依據(jù)喜愛“二胡”的學(xué)生所占的百分比，即可得到該校最喜愛“二胡”的學(xué)生數(shù)量.

【解答】解：（1）80?40%=200,x=」&X100%=15%,

200

故答案為：200；15%；

（2）喜歡二胡的學(xué)生數(shù)為200-80-30-20-10=60,

補全統(tǒng)計圖如圖所示，（3）扇形統(tǒng)計圖中“揚琴”所對扇形的圓心角是：360°X也=36°,

200

故答案為：36；

(4)3000X_§L=900,

20.（8分）如圖所示，某施工隊要測量隧道長度6G49=600米，ADVBC,施工隊站在點〃處看向8,測

得仰角為45°,再由〃走到《處測量，DE//AC,切=500米，測得仰角為53°,求隧道8c長.（sin53°

^―,cos53°^―,tan53°

【分析】作"匕4c于M,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：在中，四=4?=600,

作而然于也

則AM-應(yīng)'=500,

.?.胤/=100,

在Rt△酸V中，tan53°=里=。1=2,

EM6003

."1/=800,

：.BC-GI/=800-100=700（米），

答：隧道a1長為700米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.

21.（8分）有/、8兩個發(fā)電廠，每焚燒一噸垃圾，/發(fā)電廠比8發(fā)電廠多發(fā)40度電，/焚燒20噸垃圾比

8焚燒30噸垃圾少1800度電.

（1）求焚燒1噸垃圾，｛和8各發(fā)電多少度？

（2）/、占兩個發(fā)電廠共焚燒90噸的垃圾，力焚燒的垃圾不多于8焚燒的垃圾兩倍，求/廠和8廠總發(fā)

電量的最大值.

【分析】(1)設(shè)焚燒1噸垃圾，力發(fā)電廠發(fā)電X度，6發(fā)電廠發(fā)電y度，根據(jù)“每焚燒一噸垃圾，力發(fā)電

廠比8發(fā)電廠多發(fā)40度電，A焚燒20噸垃圾比6焚燒30噸垃圾少1800度電”列方程組解答即可；

(2)設(shè){發(fā)電廠焚燒x噸垃圾，則〃發(fā)電廠焚燒(90-x)噸垃圾，總發(fā)電量為y度，得出y與x之間

的函數(shù)關(guān)系式以及x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：(1)設(shè)焚燒1噸垃圾，4發(fā)電廠發(fā)電x度，8發(fā)電廠發(fā)電y度，根據(jù)題意得：

(a-b=40,解得［a=300,

l30b-20a=1800|b=260

答：焚燒1噸垃圾，4發(fā)電廠發(fā)電300度，6發(fā)電廠發(fā)電260度；

(2)設(shè)4發(fā)電廠焚燒x噸垃圾，則6發(fā)電廠焚燒(90-x)噸垃圾，總發(fā)電量為y度，則

y=300戶260(90-x)=40A+23400,

：xW2(90-x),

；.xW60,

隨x的增大而增大，

...當(dāng)x=60時，y有最大值為：40X60+23400=25800(元).

答：/廠和8廠總發(fā)電量的最大是25800度.

【點評】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，理清數(shù)量關(guān)系列出方程組是解答

本題的關(guān)鍵.

22.(9分)如圖拋物線經(jīng)尸af+6x+c過點1(-1,0),點C(0,3),&OB=OC.

(1)求拋物線的解析式及其對稱軸；

(2)點、D、￡在直線x=l上的兩個動點，且龍=1,點〃在點后的上方，求四邊形/儂的周長的最小

值.

(3)點0為拋物線上一點，連接CP,直線h把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點戶的坐標.

【分析】(1)OB—OC,則點B(3,0),則拋物線的表達式為：y—a(產(chǎn)1)(x-3)—a(7-2x-3)=

ax-lax-3a,即可求解；

(2)CDyAE=A'D^DC,則當(dāng)4'、D、C三點共線時，CD^AE=A'ADC最小，周長也最小，即可求

解；

(3)S4K產(chǎn)LEBX{yc-//>)：—AE>i％)—BE：AE,即可求解.

22

［解答］解：(1);OB=OC,：.點、BQ3,0),

則拋物線的表達式為：尸a(戶1)(x-3)—aO2-2x-3)=ax-2ax-3a,

故-3a=3,解得：a=-1?

故拋物線的表達式為：尸-/+2*+3…①；_

(2)4aB的周長=4%的辦4反其中47=仍5、應(yīng)’=1是常數(shù)，

故辦力￡最小時，周長最小，

取點。關(guān)于函數(shù)對稱點C(2,3),則必=C'D,

取點H(-1,1),則卬D^AE,

故：CD^AE=A'次DC,則當(dāng)/'、D、C三點共線時，CD^AE=A'次DC'最小，周長也最小,

四邊形定的周長的最小值=力0龐+切伍+1+4及DC=伍+1+/C=710+1+713；

直線b把四邊形加1的面積分為3：5兩部分，

又；見科：S&PC產(chǎn)LEBX（.ye-%■）：^AEX（y「yp）=BE：AE,

22

則應(yīng)'：AE,=3：5或5：3,

則力6=5或3,

22

即：點〃的坐標為（？，0）或（!，0）,

22

將點反C的坐標代入一次函數(shù)表達式：7=^+3,

解得：4=-6或-2,

故直線）的表達式為：y=-2A3或y=-6k3…②

聯(lián)立①②并解得：x=4或8（不合題意值己舍去），

故點。的坐標為（4,-5）或（8,-45）.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、圖象面積計算、點的對稱性等，其中（1）,

通過確定點/點來求最小值，是本題的難點.

23.（9分）已知在平面直角坐標系中，點4（3,0）,6（-3,0）,（7（-3,8）,以線段比'為直徑作圓，

圓心為反直線〃'交?！辍鲇邳c〃，連接切.

（1）求證：直線如是?！甑那芯€；

（2）點尸為x軸上任意一動點，連接行1交。后于點G,連接以；；

①當(dāng)tanN〃7%時，求所有尸點的坐標1等，。），用（5,0）（直接寫出）;

②求此的最大值.

【分析】（1）連接￡9,證明/瓦切=90°即可，可通過半徑相等得到/斂?=/巡，根據(jù)直角三角形斜

邊上中線等于斜邊一半得加=成t/0,AODB=AOBD,得證；

(2)①分兩種情況：a)廠位于線段4?上，6)?位于班的延長線上；過尸作4。的垂線，構(gòu)造相似三角

形，應(yīng)用相似三角形性質(zhì)可求得點尸坐標；

②應(yīng)用相似三角形性質(zhì)和三角函數(shù)值表示出空■=、CG2(64YG2),號尸CG(64-cC)=-(C62-

CF64

32)2+32'2,應(yīng)用二次函數(shù)最值可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)證明：如圖1,連接??,加為圓的直徑，

:?/BDC=9S,

???N薇4=90°

U：OA=OB

：.OD=OB=OA

：./OBD=/ODB

'：EB=ED

：.AEBD=AEDB

:.EB屏4OBD=/EDBQODB

即：/EBO=/EDO

,?,血才軸

:"EBO=9C

：.ZEDO=90°

???點〃在?！晟?/p>

工直線?！?。夕的切線.

(2)①如圖2,當(dāng)/位于/步上時，過尸作￡八5”于M

^RNA,AC

:?/ANR=4ABC=9V

：./\ANF^/\ABC

?AN二叫二A』i

..屈"二BCIT

?:AB=6,BC=R,____

AAC=^2g2=10,B|JAB：BC：47=6：8：10=3：4：5

^AB2+BC2=6+

???設(shè)4g=3h則筋;=4hAE=5k

：.CN=CA-AN=\Q-i,k

u*KT

.'.tanZ/CT7=—i—=———,解得：A=H

CN10-3k731

AFi=5k="1^

OX

即￡(91,0)

31

如圖3,當(dāng)尸位于劭的延長線上時，過用作用也L。于M

■:/\AMFy/\ABC

.?.設(shè)4Q3%,則啰=4%AR=5k

.?.6￥=。+4仁10+3A

/.tan/4g4k

CM-10+3k7

解得：仁|

；.45=5A=2

研=3+2=5

即&(5,0)

故答案為：E(93,0),A(5,0).

31

②如圖4,：龍為直徑

：.2CGB=/CBF=9Q°

:.△CBGsRFB

-BG_BC_CG

"BF=CF=BC

:.Bd=CG、CF

g.DC：

CG

?"彳+初=初,

:.B6=BC-C(f

...BG2=BC2-CG2=(64-CG2)?CG2

CF2Ki642

CG2

.BG^7CG2(64-CG2)

'#CF64-

號尸CG(64-C0)=-%+64密=-[(偌-32)2-322]=-(Z-32)z+322

???當(dāng)”=32時,y最大值=32?

此時CG=4近

喘）最大值32=1

64~2

【點評】本題是一道難度較大，綜合性很強的有關(guān)圓的代數(shù)幾何綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，切線的

性質(zhì)和判定定理，直角三角形性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)和判定，動點問題，二次函數(shù)最值問題等，構(gòu)造相

似三角形和應(yīng)用求二次函數(shù)最值方法是解題關(guān)鍵.

中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.（3分）（2022?青島）我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之推算出n的近似值為里它與IT的誤差小于0.0000003.將

113

0.0000003用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）

A.3X10-7B.0.3X10-6C.3X10'6D.3X107

2.（3分）（2022?青島）北京冬奧會和冬殘奧會組委會收到來自全球的會徽設(shè)計方案共4506件，其中很多

設(shè)計方案體現(xiàn)了對稱之美.以下4幅設(shè)計方案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

3.（3分）（2022?青島）計算（V27-A/12）X患的結(jié)果是（）

A.叵B.1C.V5D.3

4.（3分）（2022?青島）如圖①，用一個平面截長方體，得到如圖②的兒何體，它在我國古代數(shù)學(xué)名著《九

章算術(shù)》中被稱為“塹堵”.圖②“塹堵”的俯視圖是（）

（圖①）

5.（3分）（2022?青島）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。。,點M在杷上，則ZCME的度數(shù)為（）

36C.45°D.60

6.（3分）（2022?青島）如圖，將△ABC先向右平移3個單位,再繞原點O旋轉(zhuǎn)180°,得到△AB'C,則

點A的對應(yīng)點4的坐標是（）

A.(2,0)B.(-2,-3)C.(-1,-3)D.(-3,-1)

7.（3分）（2022?青島）如圖，。為正方形A8CQ對角線AC的中點，△ACE為等邊三角形.若AB=2,則

A.近B.V6C.2V2D.273

2

8.（3分）（2022?青島）已知二次函數(shù)y=o?+bx+c的圖象開口向下，對稱軸為直線x=-1,且經(jīng)過點（-

3,0）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.h>0B.c<0C.a+h+c>0D.3〃+c=0

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.（3分）（2022?青島）-1的絕對值是

2

10.（3分）（2022?青島）小明參加“建團百年，我為團旗添光彩”主題演講比賽，其演講形象、內(nèi)容、效

果三項分別是9分、8分、8分.若將三項得分依次按3：4：3的比例確定最終成績，則小明的最終比賽

成績?yōu)榉?

11.（3分）（2022?青島）為落實青島市中小學(xué)生“十個一”行動計劃，學(xué)校舉辦以“強體質(zhì)，煉意志”為

主題的體育節(jié)，小亮報名參加3000米比賽項目，經(jīng)過一段時間訓(xùn)練后，比賽時小亮的平均速度比訓(xùn)練前

提高了25%,少用3分鐘跑完全程，設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分，那么x滿足的分式方程

為.

12.（3分）（2022?青島）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效

果.圖②是一個菱形，將圖②截去一個邊長為原來一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④

著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中/ABC的度數(shù)是°.

圖①圖②圖③圖④

13.（3分）（2022?青島）如圖，AB是。。的切線，B為切點，0A與。。交于點C,以點A為圓心、以O(shè)C

的長為半徑作而，分別交A8,AC于點E,F.若OC=2,AB=4,則圖中陰影部分的面積為.

14.（3分）（2022?青島）如圖，已知△ABC,AB=AC,BC=16,AD±BC,NA8C的平分線交AD于點E,

且。￡=4.將NC沿GM折疊使點C與點E恰好重合.下列結(jié)論正確的有：.（填寫序號）

①BO=8

②點E到AC的距離為3

③

3

@EM//AC

三、作圖題（本大題滿分4分）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保保留作圖痕跡。

15.（4分）（2022?青島）己知：RtAABC,ZB=90°.

求作：點尸，使點P在AABC內(nèi)部.且PB=PC,ZPBC=45°.

四、解答題（本大題共10小題，共74分）

16.（8分）（2022?青島）（1）計算：一-4-（1+^^）；

a2-4a+4a-2

’2x》3（x-1）,

（2）解不等式組：x『

2號＜L

17.（6分）（2022?青島）2022年3月23日下午，“天宮課堂”第二課開講，航天員翟志剛、王亞平、葉光

富相互配合進行授課，激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)航天知識的熱情.小冰和小雪參加航天知識競賽時，均獲得了

一等獎，學(xué)校想請一位同學(xué)作為代表分享獲獎心得.小冰和小雪都想分享，于是兩人決定一起做游戲，

誰獲勝誰分享.游戲規(guī)則如下：

甲口袋裝有編號為1，2的兩個球，乙口袋裝有編號為1,2,3,4,5的五個球，兩口袋中的球除編號外

都相同.小冰先從甲口袋中隨機摸出一個球，小雪再從乙口袋中隨機摸出一個球，若兩球編號之和為奇

數(shù)，則小冰獲勝；若兩球編號之和為偶數(shù)，則小雪獲勝.

請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平.

18.（6分）（2022?青島）己知二次函數(shù)y=W+znx+/-3（m為常數(shù)，機＞0）的圖象經(jīng)過點P（2,4）.

（1）求團的值；

（2）判斷二次函數(shù)尸/+〃a+蘇-3的圖象與x軸交點的個數(shù)，并說明理由.

19.（6分）（2022?青島）如圖，AB為東西走向的濱海大邊，小宇沿濱海大道參加“低碳生活?綠色出行”

健步走公益活動，小宇在點A處時，某艘海上觀光船位于小宇北偏東68°的點C處，觀光船到濱海大道

的距離CB為200米.當(dāng)小宇沿濱海大道向東步行200米到達點E時，觀光船沿北偏西40°的方向航行

至點。處，此時，觀光船恰好在小宇的正北方向，求觀光船從C處航行到。處的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin40°七0.64,cos40°g0.77,tan40°七0.84,sin68°比0.93,cos68°七0.37,tan68°七

2.48）

20.（6分）（2022?青島）孔子曾說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”興趣是最好的老師.閱讀、

書法、繪畫、手工、烹飪、運動、音樂…各種興趣愛好是打開創(chuàng)新之門的金鑰匙.某校為了解學(xué)生興趣

愛好情況，組織了問卷調(diào)查活動，從全校2200名學(xué)生中隨機抽取了200人進行調(diào)查，其中一項調(diào)查內(nèi)容

是學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好的時長，對這項調(diào)查結(jié)果使用畫“正”字的方法進行初步統(tǒng)計，得到下表:

學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時長分布統(tǒng)計表

組別時長t（單人數(shù)累計人數(shù)

位：h）

第一組1WY2正正正正正正30

第二組2WY3正正正正正正正正正正正正60

第三組3Wf<4正正正正正正正正正正正正正70

正

第四組4Wf<5正正正正正正正正40

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）補全頻數(shù)分布直方圖；

（2）這200名學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時長的中位數(shù)落在第組；

（3）若將上述調(diào)查結(jié)果繪制成扇形統(tǒng)計圖，則第二組的學(xué)生人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為,對

應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為°;

（4）學(xué)校倡議學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時長應(yīng)不少于2/?,請你估計，該校學(xué)生中有多少人需要增加

自主發(fā)展興趣愛好時間？

學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時長頻數(shù)白方圖

有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形、

例如：如圖①，在AABC和△A8C中，AD,WD'分別是BC和8C邊上的高線，且AO=4。,、MAABC

和△48。是等高三角形.

【性質(zhì)探究】

如圖①，用SAABC,SMB。分別表示△ABC和AA'B'C的面積,

貝S^BC^^-BC*AD,SM'B'C=^B'C'?A'D',

22

\"AD=A'D'

SMBC：SAA,BC=BC：BC.

【性質(zhì)應(yīng)用】

(1)如圖②，。是aABC的邊BC上的一點.若BD=3,DC=4,則SAABD：SAADC=；

(2)如圖③，在aABC中，D,E分別是BC和A8邊上的點.若BE：A8=l：2,CD：BC=1：3,SA

ABC—1,貝！1S&BEC=,S&CDE=；

(3)如圖③，在△ABC中，D,E分別是BC和A8邊上的點.若BE：AB=\：m,CD：BC=\：n,S

△ABC=d則S&CDE=

22.(8分)(2022?青島)如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸正半軸相交于點C,與反比例函數(shù)y=-2

x

的圖象在第二象限相交于點A