專題06坐標(biāo)變化類【規(guī)律總結(jié)】在解答坐標(biāo)變化規(guī)律題時，應(yīng)先列出變化前后一系列的坐標(biāo)值，然后分別形成橫、縱坐標(biāo)的兩個數(shù)列，以前后數(shù)之間的符號循環(huán)變化、數(shù)量關(guān)系變化、數(shù)量循環(huán)變化為觀察對象，從而得出結(jié)論；【典例分析】例1．（2021·合肥市第四十五中學(xué)八年級期末）如圖，動點在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點，第2次接著運動到點，第3次接著運動到點，…，按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第2021次運動后，動點的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知分析得出橫坐標(biāo)為運動次數(shù)的相反數(shù)，縱坐標(biāo)為1，0，2，0，每4次一輪這一規(guī)律，進而計算即可．【詳解】解：根據(jù)動點P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點（?1，1），第2次接著運動到點（?2，0），第3次接著運動到點（?3，2），第4次運動到點（?4，0），第5次接著運動到點（?5，1），…，∴橫坐標(biāo)為運動次數(shù)的相反數(shù)，縱坐標(biāo)為1，0，2，0，每4次一輪，∴經(jīng)過第2021次運動后，動點P的縱坐標(biāo)為：2021÷4＝505……1，故縱坐標(biāo)為四個數(shù)中第1個，即為1，∴經(jīng)過第2021次運動后，動點P的坐標(biāo)是：（?2021，1），故選：C．【點睛】此題主要考查了點的坐標(biāo)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納能力，從所給的數(shù)據(jù)和圖形中尋求規(guī)律進行解題是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2020·成都雙流中學(xué)實驗學(xué)校八年級月考）如圖，已知直線上，過點作y軸的垂線交直線l于點B，過點B作直線l的垂線交y軸于點；過點作y軸的垂線交直線l于點，過點作直線的垂線交軸于點；按此作法繼續(xù)下去，則的坐標(biāo)為_________，的坐標(biāo)_________．【答案】（0，4）（0，）【分析】先求出點B的坐標(biāo)為（，1），得到OA=1，AB=，求出∠AOB=60°，再求出∠得到，求出(0，4)；同理得到，，（0，）；由此得到規(guī)律求出答案．【詳解】將y=1代入中得x=，∴B（，1），∴OA=1，AB=，∴tan∠AOB=，∴∠AOB=60°，∵∠A1BO=90°，∴∠，∴，∴，∴(0，4)；同理：，，∴16，∴（0，），，∴點的坐標(biāo)為，故答案為：（0,4）；．【點睛】此題考查圖形類規(guī)律的探究，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，銳角三角函數(shù)，根據(jù)圖形的規(guī)律求出點的坐標(biāo)得到點坐標(biāo)的表示規(guī)律是解題的關(guān)鍵．例3．（2020·吉林吉林市·）在平面直角坐標(biāo)系中，一只蝸牛從原點O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長度，其行走路線如圖所示：（1）填寫下列各點的坐標(biāo)：A5(，?)，A9(，)，A13(，?)；（2）寫出點的坐標(biāo)（n是正整數(shù)）；（3）指出蝸牛從點到點的移動方向．【答案】（1）2，1；4，1；6，1；（2）；（3）向上【分析】（1）根據(jù)點的坐標(biāo)變化即可填寫各點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可寫出點A4n+1的坐標(biāo)（n為正整數(shù)）；（3）根據(jù)（2）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，每四個點一個循環(huán)，進而可得螞蟻從點A2020到點A2021的移動方向．【詳解】解：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)變化可知：各點的坐標(biāo)為：A5（2，1），A9（4，1），A13（6，1）；故答案為：2，1；4，1；6，1；②根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)：點A4n+1的坐標(biāo)（n為正整數(shù)）為（2n，1）；③因為每四個點一個循環(huán)，所以2021÷4=505…1．所以螞蟻從點A2020到點A2021的移動方向是向上．【點睛】本題考查了規(guī)律型-點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)點的坐標(biāo)變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，運用規(guī)律．【好題演練】一、單選題1．（2020·河南鄭州市·八年級期中）育紅中學(xué)八五班的數(shù)學(xué)社團在做如下的探究活動：在平面直角坐標(biāo)系中，一個智能機器人接到如下指令：從原點出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次移動，每次移動1個單位長度，其移動路線如圖所示，第1次移動到點，第2次移動到點……第次移動到點，則的面積是（）A．1009 B． C．505 D．【答案】D【分析】先根據(jù)點的坐標(biāo)歸納類推出一般規(guī)律，從而可得點的坐標(biāo)，再根據(jù)點的坐標(biāo)可得的值，然后利用三角形的面積公式即可得．【詳解】由題意得：點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，歸納類推得：點的坐標(biāo)為，其中n為正整數(shù)，，點的坐標(biāo)為，即，又，，且的邊上的高為1，則的面積為，故選：D．【點睛】本題考查了點坐標(biāo)規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律，求出點的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．2．（2020·陜西西安市·西安高新第一學(xué)校八年級月考）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B2C3C2，…按如圖所示的方式放置，點A1，A2，A3，…和點C1，C2，C3，…分別在直線y＝x+1和x軸上，已知點B1（1，1），B2（3，2），則Bn的坐標(biāo)是（）A．（2n﹣1，2n﹣1） B．（2n﹣1，2n﹣1）C．（2n﹣1，2n﹣1） D．（2n﹣1，2n﹣1）【答案】D【分析】由的規(guī)律寫出的坐標(biāo)．【詳解】∵點B1的坐標(biāo)為（1，1），點B2的坐標(biāo)為（3，2），∴點B3的坐標(biāo)為（7，4），∴Bn的橫坐標(biāo)是：2n﹣1，縱坐標(biāo)是：2n﹣1．則Bn的坐標(biāo)是（2n﹣1，2n﹣1）．故選：D．【點睛】本題考查點的坐標(biāo)規(guī)律探索，觀察圖形前面某些點的坐標(biāo)，找出規(guī)律后再寫出圖形一般點的坐標(biāo)．二、填空題3．（2020·黑龍江齊齊哈爾市·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第1次將邊長為1的正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，得到正方形OA1B1C1；第2次將正方形OA1B1C1繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，得到正方形OA2B2C2；.....按此規(guī)律，繞點O旋轉(zhuǎn)得到正方形OA2020B2020C2020，則點B2020的坐標(biāo)為______．【答案】（-1，-1）【分析】根據(jù)圖形可知：點B在以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓上運動，由旋轉(zhuǎn)可知：將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OABC，相當(dāng)于將線段OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°，可得對應(yīng)點B的坐標(biāo)，根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1）；連接OB，由勾股定理得：OB=，由旋轉(zhuǎn)得：OB=OB=OB=OB=…=；∵將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，相當(dāng)于將線段OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°，依次得到∠AOB=∠BOB=∠BOB=…=45°，∴B（0，），B（-1，1），B（-，0），B（-1，-1），…，發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2020÷8=252…余4，∴點B的坐標(biāo)為（-1，1）．故答案為（-1，-1）．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。也考查了坐標(biāo)與圖形的變化、規(guī)律型，點的坐標(biāo)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．4．（2020·黑龍江伊春市·九年級期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點坐標(biāo)分別為A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．曲線AA1A2A3…叫做“正方形的漸開線”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圓心依次是B、C、D、A循環(huán)，則點A18的坐標(biāo)是______________．【答案】(－37，1)【分析】先求出A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），再研究規(guī)律每四次變化回到相同的象限；一象限橫坐標(biāo)都為1，二象限縱坐標(biāo)都為1，三象限橫坐標(biāo)都為-1，四象限縱坐標(biāo)都為-1；相應(yīng)變化的坐標(biāo)一周差8；18÷4=4…2；四周差4×8=32，四周余2，A18在第二象限，橫坐標(biāo)為：-5-4×8計算即可寫出A18的坐標(biāo)．【詳解】正方形ABCD的頂點坐標(biāo)分別為A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．AB=1-（-1）=2，A1與B平行y軸，A1的橫坐標(biāo)為-1，縱坐標(biāo)為：-1-2=-3，A1（-1，-3）CA1=1-（-3）=4，A2與C平行x軸，A2的縱坐標(biāo)為1，橫坐標(biāo)為：-1-4=-5，A2（-5，1）DA2=1-（-5）=6，A3與D平行y軸，A3的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為：1+6=7，A3（1,7）AA3=7-（-1）=8，A4與A平行x軸，A4的縱坐標(biāo)為-1，橫坐標(biāo)為：1+8=9，A4（9，-1）A(1，﹣1)，A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），A5（-1，-11，A6（-13，1），每四次變化回到相同的象限，第一象限橫坐標(biāo)都為1，第二象限縱坐標(biāo)都為1，第三象限橫坐標(biāo)都為-1，第四象限縱坐標(biāo)都為-1，相應(yīng)變化的坐標(biāo)一周差8，18÷4=4…2，A18在第二象限，4×8=32，四周差32，A18的橫坐標(biāo)為：-5-4×8=-37，A18（-37，1），故答案為：（-37，1）．【點睛】本題考查正方形的漸開線點的規(guī)律探究問題，掌握漸開線呈周期性變化，每4次漸開線終點在相同象限，各象限都有一坐標(biāo)不變，找到變化的坐標(biāo)規(guī)律是解題關(guān)鍵．三、解答題5．（2019·廣東陽江市·七年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第一次將三角形變換成三角形，第二次將三角形變換成三角形，第三次將三角形變換成三角形，已知，，，，，，，．（1）觀察每次變換前后的三角形，找出規(guī)律，按這些變換規(guī)律將三角形變換成三角形，求和的坐標(biāo)；（2）若按第（1）題的規(guī)律將三角形進行了次變換，得到三角形，請推測和的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2），【分析】(1)據(jù)圖形，A4的橫坐標(biāo)是A3的橫坐標(biāo)的2倍，縱坐標(biāo)相同，B4橫坐標(biāo)是B3的2倍，縱坐標(biāo)是0；(2)由（1）知An的縱坐標(biāo)總為3，橫坐標(biāo)為2n，Bn的縱坐標(biāo)總為0，橫坐標(biāo)為2n+1，即可寫出An、Bn的坐標(biāo)．【詳解】（1），它們的縱坐標(biāo)都是3，而橫坐標(biāo)依次為．因此，，即，它們的縱坐標(biāo)都是0，而橫坐標(biāo)依次是，因此，，即；（2）由上題規(guī)律可知An的縱坐標(biāo)總為3，橫坐標(biāo)為2n，Bn的縱坐標(biāo)總為0，橫坐標(biāo)為2n+1．所以An（2n，3），Bn（2n+1，0）．故答案分別為，．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，仔細觀察圖形中點的橫坐標(biāo)的變化并熟悉2的指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵.6．（2019·安徽九年級零模）在直角坐標(biāo)系中，的三個頂點都在邊長為的小正方形的格點上，關(guān)于軸的對稱圖形為，以與組成一個基本圖形，不斷復(fù)制與平移這個基本圖形，得到圖形所示的圖形（1）觀察以上圖形并填寫下列各點坐標(biāo)：，，，（為正整數(shù)）（2）若是這組圖形中的一個三角形，當(dāng)時，則，【答案】（1）；；；（2），．【分析】（1）結(jié)合圖形，先寫出、的坐標(biāo)，然后結(jié)合圖形可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，，，的橫坐標(biāo)依次多4，縱坐標(biāo)沒變