等差數(shù)列等差數(shù)列（2）人教2019A版教材選擇性必修第二冊(cè)第四章《數(shù)列》③推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法叫做

法.累加

每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差㈠等差數(shù)列

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，等于同一個(gè)常數(shù).......【說明】①數(shù)列{an}為等差數(shù)列

；an+1-an=d或an+1=an+dd=an+1-an②公差是

的常數(shù)；

唯一an=a1+(n-1)d等差數(shù)列各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在同一條直線上.溫故知新幾種計(jì)算公差d的方法：

④an=pn+q，其中p,q為常數(shù)，且p≠0?{an}是等差數(shù)列(1)2，()，4(2)-12，()，0(3)a，()，b

3-6如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)1.探究：等差中項(xiàng):探究：在如下的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后這三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列：思考4.等差中項(xiàng):試一試：在△ABC中，若A,B,C成等差數(shù)列，則B=_______60°例1、已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的和是12，積是48，求這三個(gè)數(shù).

設(shè)法技巧：已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且和已知時(shí)常利用對(duì)稱性設(shè)三數(shù)為：a-d,a,a+d四個(gè)數(shù)怎么設(shè)？2.對(duì)稱設(shè)法技巧對(duì)稱設(shè)法三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列：四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列：試一試：四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)和為2，首末兩項(xiàng)的積為-8，求這四個(gè)數(shù)．解法1：設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差為2d)，依題意，2a=2，且(a-3d)(a+3d)=-8，即a=1，a2-9d2=-8，∴d2=1，∴d=1或d=-1.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0，∴d=1，故所求的四個(gè)數(shù)為-2,0,2,4.2.對(duì)稱設(shè)法技巧新知探究例2.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,公差d=8,在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.(2)b29是不是數(shù)列{an}的項(xiàng)？若是,它是{an}的第幾項(xiàng)？若不是，說明理由.解：(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d′.由題意可知，b1=a1,b5=a2,于是b5-b1=a2-a1=8.因?yàn)閎5-b1=4d′,所以4d′=8,所以d′bn＝2+(n-1)×2=2n

(2)數(shù)列{an}的各項(xiàng)依次是數(shù)列{bn}的第1,5,9,13....項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列{cn}則cn=4n-3.令4n-3=29,解得n=8.所以，b29是數(shù)列{an}的第8項(xiàng).所以，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn＝2n.你還有其他解決方法嗎？法2：由b29=an得8n-6=58解得n=8.你還有其他解決方法嗎？3.實(shí)際應(yīng)用探究：數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)例3.（教材P16例3）某公司購置了一臺(tái)價(jià)值為220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少，經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過一年其價(jià)值就會(huì)減少d(d為正常數(shù)）萬元.已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過10年，它的價(jià)值將低于購進(jìn)價(jià)值的5%,設(shè)備將報(bào)廢.請(qǐng)確定d的取值范圍.分析：這臺(tái)設(shè)備使用n年后的價(jià)值構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}.由題意可知，10年之內(nèi)（含10年）,這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值應(yīng)不小于（220×5%=)11萬元；而10年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值應(yīng)小于11萬元，可以利用{an}的通項(xiàng)公式列不等式求解。例3.（教材P16例3）某公司購置了一臺(tái)價(jià)值為220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少，經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過一年其價(jià)值就會(huì)減少d(d為正常數(shù)）萬元.已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過10年，它的價(jià)值將低于購進(jìn)價(jià)值的5%,設(shè)備將報(bào)廢.請(qǐng)確定d的取值范圍.實(shí)際應(yīng)用探究：數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)注意隱含條件的挖掘思考：數(shù)列1，3，5，7，9，11，13中7是哪些項(xiàng)的等差中項(xiàng)？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？4.探究等差數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)：例4（教材P17例5）數(shù)列{an}是等差數(shù)列，m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，求證：am+an=ap+aq5.探究“下標(biāo)和”性質(zhì)：5、“下標(biāo)和”性質(zhì)：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq教材P17思考：例4是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，右圖是它的一種情形.你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎？解：（2）由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10(2)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例5、在等差數(shù)列{an}中：(3)已知a1+a4+a7

=15，a2a4a6=45,求數(shù)列的通項(xiàng)公式6.等差數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用(3)已知a1+a4+a7

=15，a2a4a6=45,求數(shù)列的通項(xiàng)公式解:∵∴∴∴解得或若，則，∴同理可得

重要性質(zhì)：知識(shí)拓展1、若a1，a2，a3，…，an是有窮的等差數(shù)列，則有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……=ai+an-i+12、若{an}是等差數(shù)列，則有2an=an-1+an+1(n>1)，2an=an-k+an+k(n>k>0)等差數(shù)列判斷方法2深度學(xué)習(xí)

素養(yǎng)提升

重要性質(zhì)：知識(shí)拓展3、若{an}和{bn}均為等差數(shù)列，則數(shù)列{lan+b}(l，b為常數(shù))也成等差數(shù)列{an±bn}、{kan±m(xù)bn}仍成等差數(shù)列線性關(guān)系4、等差數(shù)列{an}每隔一定距離抽取一項(xiàng)所組成的數(shù)列仍成等差數(shù)列.例如:a1、a3、a5、a7、…仍成等差數(shù)列,a7、a14、a21、…、a7m、…仍成等差數(shù)列等差數(shù)列{an}連續(xù)部分取項(xiàng)，所組成的數(shù)列仍成等差數(shù)列.例如：a1+a2+a3，

a4+a5+a6，…是等差數(shù)列.在等差數(shù)列中連續(xù)部分取項(xiàng)，或等間隔取項(xiàng)，新數(shù)列仍是等差數(shù)列②等差數(shù)列通項(xiàng)公式：an=a1+(n–1)d

(n≥1)

推導(dǎo)出公式：an=am+(n–m)d①等差數(shù)列定義：an-an-1=d(n≥2，n∈N*)小結(jié)反思

升華素養(yǎng)④an=pn+q，其中p,q為常數(shù)?{an}是等差數(shù)列③幾種計(jì)算公差d的方法：

基本方法重溫⑤等差中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)⑥數(shù)列{an}是等差數(shù)列，m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq.若m+n=2p，則am+an=2ap.⑦數(shù)列{an}是等差數(shù)列?an-