5.1正弦信的基本概念5.2正弦信號的相量表示5.3基本元件的伏安特性和基爾霍夫相量形式5.4

相量模型5.5

相量法分析5.6

電路的諧振第五章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析方法1研究對象：在正弦信號作用下、電路達到穩(wěn)態(tài)以后電路的分析方法。關注焦點：如何利用數學變化的方法將三角函數的運算轉換成相量運算，在建立了電路的相量模型以后，其電路的分析方法就可以運用前三章所學的電路分析方法進行求解。學習意義：正弦交流電產生容易、便于控制和轉換，且可以遠距離傳輸，故應用廣泛；在電子產品、設備研制、生產和性能測試過程中，會遇到正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析設計問題；各種周期的非正弦信號也可分解為眾多的正弦分量，正弦穩(wěn)態(tài)分析是系統(tǒng)頻率分析的基礎。25.1

正弦信號的基本概念5.1.1

正弦信號的三要素周期電流：隨時間做周期變化的電流。周期電流在某一時刻的值稱為瞬時值，即周期電流應滿足

f(t)=f(t+T)

。其中，T稱為周期，單位是秒，表示電流完成一個循環(huán)所需的時間；周期的倒數，即單位時間內完成的循環(huán)數稱為頻率[f]，單位是赫茲[Hz]。

正弦量：隨時間按正弦規(guī)律做周期變化的量。iu+_3正弦交流電瞬時值的一般表達式為：u=Um

sin(ωt+ψu)i=Im

sin(ωt+ψi)

可見，每個正弦量都包含三個基本要素：最大值或幅值（Um、Im）、角頻率ω和初相位（

ψu

、ψi

）。它們是區(qū)別不同正弦量的依據。角頻率最大值（也稱為幅值）初相角41、最大值（幅值）：是正弦量瞬時值中最大的值。一般用大寫字母加下標m表示。設正弦交流電壓：u=Umsin(ωt+ψ)UmTu2、角頻率ω

：單位時間內正弦函數變化的角度。單位是[rad/s]。又，單位時間內交流電循環(huán)了f次，因此ω=2π/T=2πf3、初相位ψ

：表示正弦量在t=0時刻的相角。其值與計時起點有關，一般用-π>ψ≧π的角度來表示。5.1.2、相位差：兩個同頻正弦量的相位之差。如：u、i的初相位分別為ψu

、ψi

，則u、i的相位差為(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-

ψi=φ

2iOu

ii如果φ>0,稱u超前i，或i滯后u；如果φ<0,稱i超前u，或u滯后i.5uiωtui90°OωtuiuiOφ=ψu–ψi<0電流超前電壓

φ=ψu–ψi=-900電流超前電壓900uiωtuiOφ=ψu–ψi=00電壓與電流同相φ=ψu–ψi=1800電壓與電流反相uiωtui

O6注意：1、兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數，與計時起點的選擇無關。2、不同頻率的正弦量之間比較相位差沒有意義。

與交流電熱效應相等的直流電定義為交流電的有效值。用大寫字母I、U表示。5.1.3

正弦信號的有效值由u=Umsin(ωt+ψu)i=Im

sin(ωt+ψi)UmTu

2iOu

ii7則有反之，則有Im=√2I≈1.414I對電壓，有Um=√2U≈1.414U注意：交流電壓表與交流電流表測量的數據為有效值,交流設備銘牌標注的電壓、電流均為有效值。85.2

正弦量的相量表示法正弦信號為什么要用相量表示？

5.2.1復數及其運算矢量可以用復數表示，所以用矢量表示的正弦量也可以用復數表示。采用復數坐標，實軸與虛軸構成的平面稱為復平面。+1+jobaAψ圖5-4矢量復數表示圖5-4中實數A=a+jb，a為實部，b為虛部。復數的模復數的輻角實部虛部復數還可以寫成或者指數形式極坐標形式9復數的運算1復數的基本形式(1)代數式A=a+jb(2)三角式(3)指數式

(4)極坐標式2復數的四則運算A=a1+ja2B=b1+jb210復數的加減要用復數的代數形式。復數的乘除用代數形式比較麻煩，用指數形式或極坐標形式就比較簡單。11例5-3]已知A1=10+j5,A2=3+j4.求A1·A2和。解：方法一：代數法方法二：相量法12復數的加減可以在復平面上用平行四邊形來進行。前面例題的相量圖見下面左圖，右圖是另一種畫法。右圖的畫法更為簡捷，當有多個相量相加減時會顯得很方便。+1O+jA1+

A2A1A2OA2+j+1A1A1+

A213下面左圖是4個相量相加，可以看出這種頭尾相接的畫法比逐個用平行四邊形相加要好很多。右圖是相量相減。A+B+C+DCBAO+j+1DA－BAB+1O+j－B

對電路進行分析計算時一般是用相量圖與解析計算相結合。14用復數表示正弦量。復數的模表示正弦量的有效值，輻角表示正弦量的初相位。用U、ω、ψ

這三要素可以表示一個正弦量，在確定的頻率f下分析計算正弦量用U和ψ

就可以表示正弦量。U

是一個數值，ψ

是一個角度

，一個復數可以表示出一個數值和一個角度，用一個復數也就可以表示一個正弦量。

正弦電壓可以表示為相量可以表示為瞬時值用來表示正弦量的復數稱為相量。為了與一般的復數相區(qū)別，在大寫的字母上面加“點”。或者+1+jobaUψ圖5-

4

矢量U復數表示5.2.2用相量表示正弦量15[例5－1]電壓相量形式為或者注意：這個例子里瞬時值與相量表示的是同一個正弦量，都是表示有效值220V、初相位450的正弦電壓，但這二者并不是相等。[例5-2]

電流相量瞬時值為兩個例題的相量圖+j+1O450－300165.3

基本元件的伏安特性和基爾霍夫定律相量形式5.3.1

基本元件伏安特性Ru+_由歐姆定律:（1）頻率相同（2）有效值

U=RI（3）相位差若iωtuO得對照電壓與電流，可見（1）電壓與電流的關系相量形式相位關系Rù

+_ì此式表明有效值相量模型1

電阻元件17

（2）瞬時功率

p：瞬時電壓與瞬時電流的乘積可以看出功率隨時間變化，且piωtuOωtpOiu

（3）平均功率(有功功率)P瞬時功率在一個周期內的平均值

PppωtO單位:瓦（W）18圖5-8例5-3]

圖5-8中電路，ù=220

∠00V,P=200W,求電流ì和電阻R

。Rù

+_ì

解法一：對于圖5-8中電阻電路，由P=UI得電壓與電流同相位，故由ù=

R

ì得19圖5-8[例5-3]

圖5-8中電路，ù=220

∠00V,P=200W,求電流ì和電阻R

。Rù

+_ì

解法二：對于圖5-8中電阻電路，由ù=

R

ì得20①頻率相同②有效值U=L

I

③電壓超前電流90

相位差（1）電壓與電流的關系設uiiωtuO2

電感元件+-L21則

XL稱為電感電抗，簡稱感抗，單位為歐姆(Ω)。定義有效值

這是電感電路中歐姆定律的相量形式，既表示了電壓與電流有效值之間的關系，也反映了二者之間的相位差。

用相量形式寫出電感電壓與電流之間的關系（5-27）+-L22電感電路相量形式的歐姆定律相量圖+-L+-L(2)

瞬時功率(3)

平均功率電感元件有的時刻是吸收電功率，有的時刻發(fā)出電功率。平均功率為零。23瞬時功率

：iuop<0+p>0+p>0p<0po結論：電感元件是儲能元件，不消耗能量，只和電源進行能量交換。24[例5-4]

把一個L=0.01H的電感接到f=50Hz,U=220V的正弦電源上，(1)求電感電流I;(2)如保持U不變，而電源f=5000Hz,這時I為多少？解：(1)當f=50Hz時(2)當f=5000Hz時25[例5-5]

一只L=20mH的電感元件，通有電流求(1)感抗XL;(2)線圈兩端的電壓u;(3)平均功率。解：（1）(2)線圈兩端的電壓u(3)平均功率電感元件不消耗電功率，平均功率為零，P=0。+-L26（1）電流與電壓的關系①頻率相同②有效值I=CU③電流超前電壓90

則uiC+_若iuui3

電容元件對照電流與電壓的表達式27則（5-32）或有效值XC稱為電容電抗，簡稱為容抗，單位為歐姆（Ω）。

用相量形式寫出電容電壓與電流之間的關系定義上式即為電容電路中相量形式的歐姆定律uiC+_ìC+_ù相量圖28(2)瞬時功率(3)平均功率uiC+_與電感元件相似，電容元件有的時刻是吸收電功率，有的時刻發(fā)出電功率。平均功率為零。29瞬時功率

：+p>0充電p<0放電+p>0充電p<0放電pouiou,i30[例5-6]把一個電容C=318.5×10－6F,接到f=50Hz,

ù

=220∠00V的正弦電源上，試求(1)求電容電流ì

;(2)如保持ù不變，而電源f=106Hz,這時ì

為多少？解：(1)當f=50Hz時(2)當f=106Hz時31單一參數電路中的基本關系小結參數LCR基本關系阻抗相量式相量圖325.3.2

基爾霍夫定律的相量形式

基爾霍夫定律不僅適用于直流電路，對于隨時間變化的電壓與電流，在任何瞬間都是適用的。基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律的一般形式為

在正弦交流電路中，各個電壓與電流都是同頻率的正弦量，基爾霍夫定律可以用相量形式來表示。33由相量形式寫成瞬時值表達式[例5-7]

電路如圖(a)所示,已知

試求電流i(t),畫出相量圖。

解：將電流的瞬時值形式寫成相量形式根據相量形式畫出相量形式的電路圖，見圖（b)i

iS

i2i1(a)ìì2ì1(b)ìS2121列出圖(b)中相量形式的KCL方程解得34畫出相量圖，見圖(c)或圖(d)。ìì1ì2(d)+1+jO(c)ìì1ì2+1+jO(b)ìSìì2ì112溫馨提示：根據瞬時值寫出相量，或者根據相量寫出瞬時值都是比較