2.2.2直線的兩點式方程第二章

§2.2直線的方程1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線的兩點式方程.2.了解直線的截距式方程的形式特征及適用范圍.學習目標斜拉橋又稱斜張橋，橋身簡約剛毅，力感十足.若以橋面所在直線為x軸，橋塔所在直線為y軸建立平面直角坐標系，那么斜拉索可看成過橋塔上一點與橋面上一點的直線.怎樣表示直線的方程呢？導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、直線的兩點式方程二、直線的截距式方程內(nèi)容索引一、直線的兩點式方程問題1

我們知道已知兩點也可以確定一條直線，在平面直角坐標系中，給定一個點P0(x0，y0)和斜率k，可得出直線方程.若給定直線上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直線的方程呢？經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直線方程_________

，我們把它叫做直線的兩點式方程，簡稱

.注意點：(1)當經(jīng)過兩點(x1，y1)，(x2，y2)的直線斜率不存在(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y(tǒng)2)時，不能用兩點式方程表示.(2)兩點式方程與這兩個點的順序無關(guān).(3)方程中等號兩邊表達式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等.兩點式知識梳理例1

已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中：(1)求BC邊所在的直線方程；解BC邊過兩點B(5，－4)，C(0，－2)，即2x＋5y＋10＝0，故BC邊所在的直線方程為2x＋5y＋10＝0.(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.解設(shè)BC的中點為M(a，b)，又BC邊的中線過點A(－3,2)，所以BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0.延伸探究若本例條件不變，試求BC邊的垂直平分線所在的直線方程.即10x－4y－37＝0.反思感悟利用兩點式求直線的方程首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件.若滿足即可考慮用兩點式求方程.在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程.跟蹤訓練1

(1)過點A(－2,1)，B(3，－3)的直線方程為_____________.解析因為直線過點(－2,1)和(3，－3)，4x＋5y＋3＝0化簡得4x＋5y＋3＝0.解由直線經(jīng)過點A(1,0)，B(m，1)，因此該直線斜率不可能為零，但有可能不存在.(1)當直線斜率不存在，即m＝1時，直線方程為x＝1；(2)當直線斜率存在，即m≠1時，(2)已知直線經(jīng)過點A(1,0)，B(m，1)，求這條直線的方程.即x－(m－1)y－1＝0.綜上可得，當m＝1時，直線方程為x＝1；當m≠1時，直線方程為x－(m－1)y－1＝0.二、直線的截距式方程問題2

若給定直線上兩點A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直線的方程呢？我們把方程

叫做直線的截距式方程，簡稱截距式.直線與x軸的交點(a，0)的橫坐標a叫做直線

，此時直線在y軸上的截距是

.在x軸上的截距b知識梳理注意點：(1)如果已知直線在兩坐標軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程.(2)將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點常被用來作圖.(3)與坐標軸平行和過原點的直線都不能用截距式表示.(4)過原點的直線的橫、縱截距都為零.例2

求過點A(3,4)，且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線l的方程.解得a＝－1.即x－y＋1＝0.(2)當直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)且為0時，即直線l過原點時，設(shè)直線l的方程為y＝kx，因為l過點(3,4)，所以4＝k·3，即4x－3y＝0.綜上，直線l的方程為x－y＋1＝0或4x－3y＝0.延伸探究1.若將點A的坐標改為“A(－3，－4)”，其他條件不變，又如何求解？解(1)當直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)且不為0時，(2)當直線l過原點時，設(shè)直線l的方程為y＝kx，由于l過點(－3，－4)，所以直線l的方程為4x－3y＝0.綜上，直線l的方程為x－y－1＝0或4x－3y＝0.2.若將本例中“截距互為相反數(shù)”改為“截距相等”呢？所以直線l的方程為x＋y－7＝0.(2)當截距為0時，設(shè)直線l的方程為y＝kx，綜上，直線l的方程為x＋y－7＝0或4x－3y＝0.反思感悟截距式方程應(yīng)用的注意事項(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可.(2)選用截距式方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直.(3)要注意截距式方程的逆向應(yīng)用.兩邊平方整理得ab－12(a＋b)＋72＝0. ①②所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.1.知識清單：(1)直線的兩點式方程.(2)直線的截距式方程.2.方法歸納：分類討論法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū)：利用截距式求直線方程時忽略過原點的情況導(dǎo)致漏解.課堂小結(jié)隨堂演練1.在x軸、y軸上的截距分別是－3,4的直線方程是√12342.過(1,2)，(5,3)的直線方程是√1234解析∵所求直線過點(1,2)，(5,3)，3.過點P(1,2)且在兩坐標軸上截距的和為0的直線方程為___________________________.12342x－y＝0或x－y＋1＝0解析當直線過原點時，得直線方程為2x－y＝0；當在坐標軸上的截距不為零時，將x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直線方程為x－y＋1＝0.∴直線方程為2x－y＝0或x－y＋1＝0.4.已知點A(3,2)，B(－1,4)，則經(jīng)過點C(2,5)且經(jīng)過線段AB的中點的直線方程為______________.2x－y＋1＝01234解析AB的中點坐標為(1,3)，即2x－y＋1＝0.課時對點練1.過兩點(－2,1)和(1,4)的直線方程為A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1C.y＝x＋2 D.y＝－x－2√基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516整理得y＝x＋3.2.已知直線l：ax＋y－2＝0在x軸和y軸上的截距相等，則實數(shù)a的值是A.1 B.－1C.－2或－1 D.－2或1√12345678910111213141516∵直線l：ax＋y－2＝0在x軸和y軸上的截距相等，A.a>0，b>0 B.a>0，b<0C.a<0，b>0 D.a<0，b<0√解析因為直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且經(jīng)過第一、二、三象限，故a<0，b>0.123456789101112131415164.經(jīng)過點A(2,5)，B(－3,6)的直線在x軸上的截距為A.2

B.－3C.－27 D.27√12345678910111213141516即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27.5.已知△ABC的頂點坐標分別為A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M為AB的中點，N為AC的中點，則中位線MN所在的直線方程為A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0√解析由中點坐標公式可得M(2,4)，N(3,2)，12345678910111213141516即2x＋y－8＝0.12345678910111213141516√解析依題意知，a＝2，P(0,5).設(shè)A(x0,2x0)，B(－2y0，y0)，所以A(4,8)，B(－4,2)，123456789101112131415167.過點(1,3)且在x軸上的截距為2的直線方程是______________.3x＋y－6＝0解析由題意知直線過點(2,0)，12345678910111213141516整理得3x＋y－6＝0.8.若點P(3，m)在過點A(2，－1)，B(－3,4)的直線上，則m＝_____.－2即x＋y－1＝0.又點P(3，m)在直線AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.12345678910111213141516解得a＝2或a＝1，9.求過點P(6，－2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程.1234567891011121314151610.已知△ABC的三個頂點分別為A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0).(1)求邊AC和AB所在直線的方程；12345678910111213141516解由截距式，得邊AC所在直線的方程為即x＋y－4＝0.(2)求AC邊上的中線BD所在直線的方程.12345678910111213141516解由題意，得點D的坐標為(－4,2)，即2x－y＋10＝0.11.(多選)過點A(4,1)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為A.x＋y＝5 B.x－y＝5C.x－4y＝0 D.x＋4y＝0√12345678910111213141516綜合運用√即x－4y＝0；把(4,1)代入，解得a＝5，所以直線方程為x＋y＝5.綜上可知，直線方程為x＋y＝5或x－4y＝0.12.已知△ABC的三個頂點分別為A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，則過點B將△ABC的面積平分的直線方程為A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0√解析由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中點坐標為D(4,4)，則過點B將△ABC的面積平分的直線過點D(4,4)，12345678910111213141516于是兩直線的傾斜角同為銳角或者同為鈍角，且斜率的絕對值一個大于1，一個小于1，檢驗4個選項，知只有B選項滿足.12345678910111213141516√14.已知直線l過點(2,3)，且在x軸上的截距是在y軸上截距的兩倍，則直線l的方程為_______________________.解析若l在坐標軸上的截距均為0，123456789101112131415163x－2y＝0或x＋2y－8＝0即3x－2y＝0.當