第十五章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形復(fù)習(xí)課1.能掌握軸對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱的概念及性質(zhì)；2.能利用線段垂直平分線、角平分線的性質(zhì)與判定、等腰(等邊)三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行有關(guān)的證明與計(jì)算；3.能夠用尺規(guī)作圖作已知線段的垂直平分線和角的平分線；4.掌握直角三角形中30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半.一、學(xué)習(xí)目標(biāo)二、知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)點(diǎn)梳理：三、知識(shí)梳理

把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.這條直線叫做對(duì)稱軸.1.軸對(duì)稱圖形2.軸對(duì)稱：

把一個(gè)圖形沿一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖形完全重合，那么這兩個(gè)圖關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱.這條直線叫做對(duì)稱軸.3.軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形拼在一起看成一個(gè)整體,那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分,那么這兩個(gè)圖形就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱.三、知識(shí)梳理軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形區(qū)別聯(lián)系(1)軸對(duì)稱圖形是指()具有特殊形狀的圖形，只對(duì)()圖形而言;(2)對(duì)稱軸()只有一條.(1)軸對(duì)稱是指()圖形的位置關(guān)系,必須涉及()圖形;(2)只有()對(duì)稱軸.一個(gè)一個(gè)不一定兩個(gè)兩個(gè)一條(1)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線.(2)如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.4.軸對(duì)稱的性質(zhì)：(1)點(diǎn)P(x，y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，-y)，其特征為：橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；5.坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱三、知識(shí)梳理(2)點(diǎn)P(x，y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x，y)，其特征為：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等;(3)作一個(gè)圖形關(guān)于x軸(或y軸)對(duì)稱的圖形的步驟：三、知識(shí)梳理①求出特殊點(diǎn)關(guān)于x軸(或y軸)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；②描點(diǎn)；③連接所描的點(diǎn)．6.線段的垂直平分線7.等腰三角形(1)畫(huà)法：尺規(guī)作圖(2)性質(zhì)定理：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩端的距離相等；(3)判定定理：到線段的兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.三、知識(shí)梳理(1)性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.（等邊對(duì)等角）推論：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.(2)性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.（三線合一）8.等腰三角形的判定推論①：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.推論②：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.推論③：在直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.（等角對(duì)等邊）三、知識(shí)梳理9.角平分線的性質(zhì)與判定判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.三、知識(shí)梳理三角形三條角平分線的性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.知識(shí)點(diǎn)1：軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱D例1：甲骨文是我國(guó)的一種古代文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，不是軸對(duì)稱圖形的是()四、典型例題解析：A項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，B項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，C項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D項(xiàng)不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確.知識(shí)點(diǎn)1：軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱解：圖①②③中的左右兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，圖④中的左右兩個(gè)圖形不成軸對(duì)稱．圖①②③中成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸如圖所示．例2：觀察圖①～④中的左右兩個(gè)圖形，它們是否成軸對(duì)稱？如果是，請(qǐng)畫(huà)出其對(duì)稱軸．四、典型例題點(diǎn)撥：判斷兩個(gè)圖形是否成軸對(duì)稱，關(guān)鍵是理解、應(yīng)用兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的定義，即看兩個(gè)圖形能否沿一條直線折疊后重合.若重合，則兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱，否則不成軸對(duì)稱．四、典型例題知識(shí)點(diǎn)1：軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱解：由題意可知，△ABE和△AFE關(guān)于直線AE成軸對(duì)稱，∴AB＝AF,BE＝FE.∵△AFD的周長(zhǎng)為24cm，△ECF的周長(zhǎng)為8cm，即AD＋DF＋AF＝24cm，F(xiàn)C＋CE＋FE＝8cm，∴四邊形紙片ABCD的周長(zhǎng)為AD＋DC＋BC＋AB＝AD＋DF＋FC＋CE＋BE＋AB＝(AD＋DF＋AF)＋(FC＋CE＋FE)＝24＋8＝32(cm)．例3：如圖，將四邊形紙片ABCD沿AE向上折疊，使點(diǎn)B落在DC邊上的點(diǎn)F處.若△AFD的周長(zhǎng)為24cm，△ECF的周長(zhǎng)為8cm，求四邊形紙片ABCD的周長(zhǎng).四、典型例題1.下面的圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，你能指出它的對(duì)稱軸嗎？解：圖1、2、3、5是軸對(duì)稱圖形，它們的對(duì)稱軸如圖所示.【當(dāng)堂檢測(cè)】【當(dāng)堂檢測(cè)】A解析：注意觀察，照鏡子看到的字母是左右顛倒.2.小明照鏡子的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)T恤上的英文單詞在鏡子中呈現(xiàn)“”的樣子，請(qǐng)你判斷這個(gè)英文單詞是（）A.B.C.D.【當(dāng)堂檢測(cè)】解：∵△ABC和△DEF關(guān)于直線l成軸對(duì)稱，∴△ABC≌△DEF，∴∠C=∠F，∠A=∠D=40°，∠B=∠E=60°∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-60°=80°．3.△ABC與△DEF關(guān)于直線l成軸對(duì)稱，則∠C是多少度？l知識(shí)點(diǎn)2：線段的垂直平分線解：∵△ABC中，AB＝AC，D是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB，∴AE＝BE.∵△BCE的周長(zhǎng)為8cm，即BE＋CE＋BC＝8cm，∴AC＋BC＝8cm①.又AC－BC＝2cm②，①＋②得，2AC＝10cm，即AC＝5cm，故AB＝5cm；①－②得，2BC＝6cm，即BC＝3cm.例4：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB，△BCE的周長(zhǎng)為8cm，且AC-BC＝2cm，求AB，BC的長(zhǎng)．四、典型例題4.如圖，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，EF交AD于點(diǎn)M，試說(shuō)明：AD垂直平分EF.證明：∵AD為△ABC的角平分線，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴點(diǎn)D在線段EF的垂直平分線上．∵∠FAD＝∠EAD，∠AFD＝∠AED＝90°，AD＝AD，∴△AFD≌△AED.∴AF＝AE.∴點(diǎn)A在線段EF的垂直平分線上．∴AD為線段EF的垂直平分線，即AD垂直平分EF.【當(dāng)堂檢測(cè)】知識(shí)點(diǎn)3：等腰三角形A例5：如圖，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，則∠BDC的度數(shù)是()A．100°B．80°C．70°

D．50°四、典型例題解:(方法一)∵DA＝DB，∴∠DBA＝∠DAB＝20°.∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝30°.在△ABC中，有∠DBC＋∠DCB＝180°-2×20°-2×30°＝80°.∴∠BDC＝180°-(∠DBC＋∠DCB)＝180°-80°＝100°.(方法二)在△ADB中，由方法一可得∠ADB＝180°-2×20°＝180°-40°＝140°.同理∠ADC＝180°-2×30°＝120°.∴∠BDC＝360°-140°-120°＝100°.四、典型例題點(diǎn)撥:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.（等邊對(duì)等角）知識(shí)點(diǎn)3：等腰三角形【當(dāng)堂檢測(cè)】5.如圖，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，連接MD，NE交于點(diǎn)O，求證：△OMN是等腰三角形．證明：在△ABC中，∵AB＝AC，且AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，∴AD＝AC，AE＝AB＝AC，∴AE＝AD.同理AM＝AN.【當(dāng)堂檢測(cè)】在△ADM與△AEN中，∴△ADM≌△AEN，∴∠AMD＝∠ANE.又∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMN-∠AMD＝∠ANM-∠ANE，即∠OMN＝∠ONM，∴△OMN是等腰三角形．點(diǎn)撥：等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.（等角對(duì)等邊）知識(shí)點(diǎn)4：等邊三角形的性質(zhì)解：過(guò)P作PF∥BC交AC于F，∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP＝PF＝AF.∵PE⊥AC，∴AE＝EF.例6：如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連接PQ交邊AC于點(diǎn)D，求DE的長(zhǎng)．四、典型例題F∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ.在△PFD和△QCD中，四、典型例題∴△PFD≌△QCD，∴FD＝CD.∵AE＝EF，∴EF＋FD＝AE＋CD，F(xiàn)∴AE＋CD＝DE＝AC.∵AC＝3，∴DE＝.【當(dāng)堂檢測(cè)】6.如圖所示，銳角三角形ABC中，∠A＝60°，它的兩條高BD，CE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC，求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵銳角三角形ABC的兩條高BD，CE相交于點(diǎn)O，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.又∵∠BOE＝∠COD，∴∠EBO＝∠DCO.∴∠EBO+∠OBC＝∠DCO+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．∵∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形．知識(shí)點(diǎn)5：角平分線的性質(zhì)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AF，垂足為點(diǎn)G.連接EF.∵∠BAE＝∠EAF，∴AE為∠BAF的平分線．又∵EB⊥AB，EG⊥AF，∴EB＝EG.例7：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，∠EAF＝∠BAE.求證：AF＝BC＋FC.四、典型例題G在Rt△ABE和Rt△AGE中，四、典型例題∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．∴AB＝AG.∵在正方形ABCD中，AB＝BC，∴BC＝AG.又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝EC＝EG.在Rt△EGF和Rt△ECF中，∴Rt△EGF≌Rt△ECF(HL)．∴GF＝CF，∴AF＝AG＋GF＝BC＋FC.G【當(dāng)堂檢測(cè)】7.如圖，三條公路兩兩相交于A，B，C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)超市，要求這個(gè)超市到三條公路的距離相等，則可供選擇的地方有多少處？(陰影部分不能修建超市)分析：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊