1/11.7因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相切問(wèn)題【例12015年上海市閔行區(qū)中考模擬第24題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax－4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3,0)，點(diǎn)D在線段AB上，AD＝AC．（1）求這條拋物線的解析式，并求出拋物線的對(duì)稱軸；（2）如果以DB為半徑的⊙D與⊙C外切，求⊙C的半徑；（3）設(shè)點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段BC上，如果線段MN被直線CD垂直平分，求的值．圖1【思路點(diǎn)撥】1．準(zhǔn)確描繪A、B、C、D的位置，把相等的角標(biāo)注出來(lái)，利于尋找等量關(guān)系．2．第（3）題在圖形中模擬比劃MN的位置，近似DC垂直平分MN時(shí)，把新產(chǎn)生的等角與前面存在的等角對(duì)比，思路就有了．【滿分解答】（1）將點(diǎn)A(－3,0)代入y＝ax2－2ax－4，得15a－4＝0．解得．所以拋物線的解析式為．拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1．（2）由，得B(5,0)，C(0,－4)．由A(－3,0)、B(5,0)、C(0,－4)，得AB＝8，AC＝5．當(dāng)AD＝AC＝5時(shí)，⊙D的半徑DB＝3．由D(2,0)、C(0,－4)，得DC＝．因此當(dāng)⊙D與⊙C外切時(shí)，⊙C的半徑為（如圖2所示）．（3）如圖3，因?yàn)锳D＝AC，所以∠ACD＝∠ADC．如果線段MN被直線CD垂直平分，那么∠ADC＝∠NDC．這時(shí)∠ACD＝∠NDC．所以DN//AC．于是．圖2圖3【考點(diǎn)伸展】解第（3）題畫(huà)示意圖的時(shí)候，容易誤入歧途，以為M就是點(diǎn)O．這是為什么呢？我們反過(guò)來(lái)計(jì)算：當(dāng)DN//AC，時(shí)，，因此DM＝DN＝．而DO＝2，你看M、O相距是多么的近?。糯筮€原事實(shí)的真相，如圖4所示．圖4【例22014年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題】已知OA＝5，sin∠O＝，點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，以A為圓心、AD為半徑作⊙A．（1）如圖1，若⊙A交∠O于B、C兩點(diǎn)，設(shè)OD＝x，BC＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（2）將⊙A沿直線OB翻折后得到⊙A′．①若⊙A′與直線OA相切，求x的值；②若⊙A′與以D為圓心、DO為半徑的⊙D相切，求x的值．圖1【思路點(diǎn)撥】1．把不變的量先標(biāo)記出來(lái)，圓心A到直線OB的距離AE＝3，翻折以后的圓心A′的位置不變，AA′＝2AE＝6．2．若⊙A′與直線OA相切，那么圓心A′到直線OA的距離等于圓的半徑，由此自然就構(gòu)造出垂線，以AA′為斜邊的直角三角形的三邊長(zhǎng)就是確定的．3．探究?jī)蓤A相切，在羅列三要素R、r、d的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)先要突破圓心距A′D．【滿分解答】（1）如圖2，作AE⊥BC，垂足為E，那么E是BC的中點(diǎn)．在Rt△OAE中，OA＝5，sin∠O＝，所以AE＝3．在Rt△BAE中，AB＝AD＝5－x，AE＝3，BE＝，由勾股定理，得．整理，得．定義域是0≤x＜2．圖2圖3（2）①如圖3，將⊙A沿直線OB翻折后得到⊙A′，AA′＝2AE＝6．作A′H⊥OA，垂足為H．在Rt△A′AH中，AA′＝6，sin∠A′＝，所以AH＝，A′H＝．若⊙A′與直線OA相切，那么半徑等于A′H．解方程，得．②如圖4，在Rt△A′DH中，．對(duì)于⊙A′，R＝5－x；對(duì)于⊙D，r＝DO＝x；圓心距d＝A′D．如果兩圓外切，由d＝R＋r，得．解得（如圖4）．如果兩圓內(nèi)切，由d＝|R－r|，得．解得．所以兩圓不可能內(nèi)切．圖4圖5【考點(diǎn)伸展】當(dāng)D為OA的中點(diǎn)時(shí)，⊙A′與以D為圓心、DA為半徑的⊙D是什么位置關(guān)系？⊙A′和⊙D等圓，R＝，兩圓不可能內(nèi)切．當(dāng)D為OA的中點(diǎn)時(shí)，DH＝AH－AD＝．此時(shí)．因此兩圓的半徑和大于圓心距，此時(shí)兩圓是相交的（如圖5）．【例32013年上海市楊浦區(qū)中考模擬第25題】如圖1，已知⊙O的半徑長(zhǎng)為3，點(diǎn)A是⊙O上一定點(diǎn)，點(diǎn)P為⊙O上不同于點(diǎn)A的動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求AP的長(zhǎng)；（2）如果⊙Q過(guò)點(diǎn)P、O，且點(diǎn)Q在直線AP上（如圖2），設(shè)AP＝x，QP＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)（如圖3），存在⊙M與⊙O相內(nèi)切，同時(shí)與⊙Q相外切，且OM⊥OQ，試求⊙M的半徑的長(zhǎng)．圖1圖2圖3【思路點(diǎn)撥】1．第（1）題的計(jì)算用到垂徑定理和勾股定理．2．第（2）題中有一個(gè)典型的圖，有公共底角的兩個(gè)等腰三角形相似．3．第（3）題先把三個(gè)圓心距羅列出來(lái)，三個(gè)圓心距圍成一個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理列方程．【滿分解答】（1）如圖4，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．在Rt△OAH中，OA＝3，，設(shè)OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32解得．所以．（2）如圖5，聯(lián)結(jié)OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．又因?yàn)榈捉恰螾公用，所以△QPO∽△OAP．因此，即．由此得到．定義域是0＜x≤6．圖4圖5（3）如圖6，聯(lián)結(jié)OP，作OP的垂直平分線交AP于Q，垂足為D，那么QP、QO是⊙Q的半徑．在Rt△QPD中，，，因此．如圖7，設(shè)⊙M的半徑為r．由⊙M與⊙O內(nèi)切，，可得圓心距OM＝3－r．由⊙M與⊙Q外切，，可得圓心距．在Rt△QOM中，，OM＝3－r，，由勾股定理，得．解得．圖6圖7