頁(yè)第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列第一節(jié)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合“分類”“分步”完成一件事，考查對(duì)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合排列、組合的概念及兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，考查常見排列、組合問題的解法，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)公式，考查常見排列數(shù)、組合數(shù)問題的化簡(jiǎn)及計(jì)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理?xiàng)l件完成一件事有兩類不同方案．在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個(gè)步驟．做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法完成這件事共有N＝m·n種不同的方法2．排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列組合合成一組3．排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用Ceq\o\al(m,n)表示．(3)全排列：把n個(gè)不同元素全部取出來按照一定的順序排列起來，叫做n個(gè)不同元素的全排列．用Aeq\o\al(n,n)表示n個(gè)不同元素的全排列數(shù)．4．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)；(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)性質(zhì)(1)0?。絜q\a\vs4\al(1)；Aeq\o\al(n,n)＝eq\a\vs4\al(n！)；(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(C\o\al(n－m,n))；Ceq\o\al(m,n＋1)＝eq\a\vs4\al(C\o\al(m,n)＋C\o\al(m－1,n))[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．從4名女同學(xué)和3名男同學(xué)中選1人主持本班的某次主題班會(huì)，則不同的選法為()A．12種B．7種C．4種D．3種2．將3張不同的武漢軍運(yùn)會(huì)門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是()A．2160B．720C．240D．1203．從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男女生都有的選法種數(shù)是()A．18B．24C．30D．364．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須在A的右側(cè)(A，B可以不相鄰)，那么不同的排法共有()A．24種B．60種C．90種D．120種二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)小球，所有這些小球的顏色互不相同，則從兩個(gè)口袋中各取1個(gè)小球，有________種不同的取法．2．從1,2,3，…，10中選出3個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則這樣的數(shù)列共有________個(gè)．3．從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái)，其中至少有原裝計(jì)算機(jī)和組裝計(jì)算機(jī)各2臺(tái)，則不同的取法有________種．考點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用[典例](1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．9(2)在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”．比如“102”，“546”為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字1,2,3,4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有________個(gè)．[方法技巧](1)分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)問題，區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．(2)分類標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重復(fù)不遺漏．(3)混合問題一般是先分類再分步．(4)切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行．[針對(duì)訓(xùn)練]1．某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0～9這十個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，有車主第一個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有()A．180種B．360種C．720種D．960種2．如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復(fù)過一點(diǎn))．考點(diǎn)二排列問題[典例]3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)．(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體站成一排，男、女各站在一起；(4)全體站成一排，男生不能站在一起．[方法技巧]求解排列應(yīng)用問題的5種主要方法直接法適用于沒有限制條件的問題優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的間隔中間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法[針對(duì)訓(xùn)練]1．某國(guó)際會(huì)議結(jié)束后，中、美、俄等21國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人也站前排并與中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對(duì)其他國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．Aeq\o\al(18,18)種B．Aeq\o\al(20,20)種C．Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,18)Aeq\o\al(10,10)種D．Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)種2．現(xiàn)有10名學(xué)生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相鄰排在一起，則不同的排法種數(shù)為()A．Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,7)B．Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,7)C．Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,7)D．Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(2,7)考點(diǎn)三組合問題[典例]已知男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1人．選派5人外出比賽．在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；(3)隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加；(4)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員．[方法技巧]組合問題的2種題型及解法題型解法“含有”或“不含有”某些元素的組合“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理[針對(duì)訓(xùn)練]1．(多選)在新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門．學(xué)生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再?gòu)恼巍⒌乩怼⒒瘜W(xué)、生物4門科目中選擇2門，考試成績(jī)計(jì)入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的依據(jù)．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是()A．若任意選科，選法總數(shù)為Ceq\o\al(2,4)B．若化學(xué)必選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)C．若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)D．若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋12．現(xiàn)有12張不同的撲克牌，其中紅桃、方片、黑桃、梅花各3張，現(xiàn)從中任取3張，要求這3張牌不能是同一種且黑桃至多一張，則不同的取法種數(shù)為________．一、創(chuàng)新命題視角——學(xué)通學(xué)活巧遷移分組分配問題中的3種常見類型解決分組問題的一個(gè)基本指導(dǎo)思想是先分組后分配.關(guān)于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分組三種，無論分成幾組，應(yīng)注意的是只要有一些組中元素的個(gè)數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象.類型(一)整體均分問題[例1]教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教，現(xiàn)有6名免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生，將其平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分配方法．[名師微點(diǎn)]對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．類型(二)部分均分問題[例2]將并排的有不同編號(hào)的5個(gè)房間安排給5名工作人員臨時(shí)休息，假定每個(gè)人可以選擇任一房間，且選擇各個(gè)房間是等可能的，則恰有2個(gè)房間無人選擇且這2個(gè)房間不相鄰的安排方式的種數(shù)為________．[名師微點(diǎn)]對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．類型(三)不等分組問題[例3](1)3名大學(xué)生利用假期到2個(gè)山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只去1個(gè)村，每個(gè)村至少1人，則不同的分配方案共有()A．4種B．5種C．6種D．8種(2)將6本不同的書分給甲、乙、丙3名學(xué)生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，則有________種不同的分法．[名師微點(diǎn)]對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)，任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．[歸納總結(jié)]總之，在解答分組問題時(shí)，一定要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不要重復(fù)計(jì)數(shù)．對(duì)于平均分組問題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏，抓住了以上關(guān)鍵點(diǎn)，就能避免掉進(jìn)陷阱．二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向1．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)，且紅包被全部搶完，4個(gè)紅包中有2個(gè)6元，1個(gè)8元，1個(gè)10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有()A．18種B．24種C．36種D．48種2．回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22,121,3443,94249等．顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33，…，99，3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121，…，191,202，…，999.則(1)5位回文數(shù)有________個(gè)；(2)2n(n∈N*)位回文數(shù)有________個(gè)．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機(jī)航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是()A．26B．60C．18D．10802．教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，由一層到五層的走法有()A．10種B．25種C．52種D．24種3．某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的6個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個(gè)新節(jié)目，如果將這3個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為()A．504B．210C．336D．1204．6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有()A．120種B．90種C．60種D．30種5．若三角形三邊均為正整數(shù)，其中一邊長(zhǎng)為4，另外兩邊長(zhǎng)為b，c，且滿足b≤4≤c，則這樣的三角形有________個(gè)．6．某班主任準(zhǔn)備請(qǐng)2020屆畢業(yè)生做報(bào)告，要從甲、乙等8人中選4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言中間需恰好間隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有________種．(用數(shù)字作答)二、綜合練——練思維敏銳度1．六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A．192種B．216種C．240種D．288種2．三個(gè)人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種B．6種C．10種D．16種3．(多選)2020年3月，為促進(jìn)疫情后復(fù)工復(fù)產(chǎn)期間安全生產(chǎn)，濱州市某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到A，B，C三家企業(yè)開展“新冠肺炎”防護(hù)排查工作，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，則下列結(jié)論正確的是()A．若C企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共48種B．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種C．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到A企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D．所有不同分派方案共43種4．從10種不同的作物種子中選出6種放入6個(gè)不同的瓶子中展出，如果甲、乙兩種種子不能放入第1號(hào)瓶?jī)?nèi)，那么不同的放法種數(shù)為()A．Ceq\o\al(2,10)Aeq\o\al(4,8)B．Ceq\o\al(1,9)Aeq\o\al(5,9)C．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9)D．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,8)5．從數(shù)字1,2,3,4,5,6,7中任取3個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，組成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字且兩個(gè)偶數(shù)數(shù)字不相鄰的五位數(shù)，則滿足條件的五位數(shù)共有()A．864個(gè)B．432個(gè)C．288個(gè)D．144個(gè)6.某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD(邊長(zhǎng)為2個(gè)單位)的頂點(diǎn)A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針方向行走的單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為i(i＝1,2，…，6)，則棋子就按逆時(shí)針方向行走i個(gè)單位，一直循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處的所有不同走法共有()A．22種B．24種C．25種D．27種7．將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()A．12種B．10種C．9種D．8種8．學(xué)校在高一年級(jí)開設(shè)選修課程，其中歷史開設(shè)了三個(gè)不同的班，選課結(jié)束后，有5名同學(xué)要求改修歷史，但歷史選修每班至多可接收2名同學(xué)，那么安排好這5名