廣東省揭陽市榕城區(qū)揭陽三中2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為A. B.C. D.2．若，則下列不等式中，正確的是（）A. B.C. D.3．設(shè)集合，集合，則等于（）A(1,2) B.(1,2]C.[1,2) D.[1,2]4．在軸上的截距分別是，4的直線方程是A. B.C. D.5．已知三條直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為.若，則下列關(guān)系不可能成立的是（）A. B.C. D.6．函數(shù)y=log2的定義域A.（，3） B.（，+∞）C.（，3） D.[，3]7．把11化為二進(jìn)制數(shù)為A. B.C. D.8．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖1所示，則在圖2的四個(gè)圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是A.（1），（3） B.（1），（4）C.（2），（4） D.（1），（2），（3），（4）9．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.1 B.2C.3 D.410．已知集合，，則集合（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則___________.12．已知冪函數(shù)y＝xα的圖象過點(diǎn)(4，)，則α＝__________.13．已知為銳角，，，則__________14．已知為奇函數(shù)，，則____________15．冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則___________.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知正方體，（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成的角17．已知，且函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明.18．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖趯?shí)數(shù)，使得對于任意都存在滿足，則稱函數(shù)為“自均值函數(shù)”，其中稱為的“自均值數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“自均值函數(shù)”，并說明理由：（2）若函數(shù)，為“自均值函數(shù)”，求的取值范圍；（3）若函數(shù)，有且僅有1個(gè)“自均值數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值.19．已知為上的奇函數(shù)，為上的偶函數(shù)，且滿足，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)和的解析式；（2）若不等式在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．如圖，某公園摩天輪的半徑為40，圓心O距地面的高度為50，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點(diǎn)P的起始位置在距地面最近處.（1）已知在時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為，求時(shí)，點(diǎn)P距離地面的高度；（2）當(dāng)離地面以上時(shí)，可以看到公園的全貌，求轉(zhuǎn)一圈中在點(diǎn)P處有多少時(shí)間可以看到公園的全貌.21．已知，，且（1）求的定義域.（2）判斷的奇偶性，并說明理由.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、D【解析】該幾何體為半圓柱，底面為半徑為1的半圓，高為2，因此表面積為,選D.2、C【解析】利用不等式的基本性質(zhì)判斷.【詳解】由，得，即，故A錯(cuò)誤；則，則，即，故B錯(cuò)誤；則，，所以，故C正確；則，所以，故D錯(cuò)誤；故選：C3、B【解析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得、，再由交集的運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)不等式的求解及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了集合交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】根據(jù)直線方程的截距式寫出直線方程即可【詳解】根據(jù)直線方程的截距式寫出直線方程，化簡得，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查直線的截距式方程，屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】解：由題意，根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系有：當(dāng)或時(shí)，或，故選項(xiàng)B可能成立；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A可能成立；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C可能成立；所以選項(xiàng)D不可能成立.故選：D.6、A【解析】由真數(shù)大于0，求解對分式不等式得答案；【詳解】函數(shù)y=log2的定義域需滿足故選A.【點(diǎn)睛】】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查分式不等式的解法，是中檔題7、A【解析】11÷2=5…15÷2=2…12÷2=1…01÷2=0…1故11(10)=1011(2)故選A.8、A【解析】可以是一個(gè)正方體上面一個(gè)球，也可以是一個(gè)圓柱上面一個(gè)球9、A【解析】設(shè)，則函數(shù)等價(jià)為，由，轉(zhuǎn)化為，利用數(shù)形結(jié)合或者分段函數(shù)進(jìn)行求解，即可得到答案【詳解】由題意，如圖所示，設(shè)，則函數(shù)等價(jià)為，由，得，若，則，即，不滿足條件若，則，則，滿足條件，當(dāng)時(shí)，令，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，令，解得，即是函數(shù)的零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)只有1個(gè)，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)問題的應(yīng)用，其中解答中利用換元法結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】解不等式求得集合、，由此求得.【詳解】，，所以.故選：B二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、##【解析】根據(jù)題意得到，求出的值，進(jìn)而代入數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，即，所以，即，所以，因此，故答案為：.12、【解析】把點(diǎn)的坐標(biāo)代入冪函數(shù)解析式中即可求出.【詳解】解：由冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.13、【解析】由，都是銳角，得出的范圍，由和的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系分別求出和的值，然后把所求式子的角變?yōu)?，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡計(jì)算，即得結(jié)果【詳解】，都是銳角，，又，，，，則故答案為：.14、【解析】根據(jù)奇偶性求函數(shù)值.【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)，，所以.故答案為：.15、【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得.故答案為：三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）即為異面直線與所成的角，求出即可【詳解】（1）證：在正方體中，，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面；∴平面；（2）解：∵，∴即為異面直線與所成的角，設(shè)正方體的邊長為，則易得，∴為等邊三角形，∴，故異面直線與所成的角為【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定與異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題17、（1）（2）在上是減函數(shù)，證明見解析【解析】（1）直接由解出，再把代入檢驗(yàn)；（2）直接由定義判斷單調(diào)性即可.【小問1詳解】因?yàn)?，函?shù)奇函數(shù)，所以，解得.此時(shí)，，，滿足題意.故.【小問2詳解】在上是減函數(shù).任取，，則，由∴，故在上是減函數(shù).18、（1）不是，理由見解析；（2）；（3）或.【解析】(1)假定函數(shù)是“自均值函數(shù)”，由函數(shù)的值域與函數(shù)的值域關(guān)系判斷作答.(2)根據(jù)給定定義可得函數(shù)在上的值域包含函數(shù)在上的值域，由此推理計(jì)算作答.(3)根據(jù)給定定義可得函數(shù)在上的值域包含函數(shù)在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理計(jì)算作答.【小問1詳解】假定函數(shù)是“自均值函數(shù)”，顯然定義域?yàn)镽，則存在，對于，存在，有，即，依題意，函數(shù)在R上的值域應(yīng)包含函數(shù)在R上的值域，而當(dāng)時(shí)，值域是，當(dāng)時(shí)，的值域是R，顯然不包含R，所以函數(shù)不“自均值函數(shù)”.【小問2詳解】依題意，存在，對于，存在，有，即，當(dāng)時(shí)，的值域是，因此在的值域包含，當(dāng)時(shí)，而，則，若，則，，此時(shí)值域的區(qū)間長度不超過，而區(qū)間長度為1，不符合題意，于是得，，要在的值域包含，則在的最小值小于等于0，又時(shí)，遞減，且，從而有，解得，此時(shí)，取，的值域是包含于在的值域，所以的取值范圍是.【小問3詳解】依題意，存在，對于，存在，有，即，當(dāng)時(shí)，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在的值域是，由得，解得，此時(shí)a的值不唯一，不符合要求，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在的值域是，由得，解得，要a的值唯一，當(dāng)且僅當(dāng)，即，則，當(dāng)，即時(shí)，，，，，由且得：，此時(shí)a的值不唯一，不符合要求，由且得，，要a的值唯一，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，此時(shí)；綜上得：或，所以函數(shù)，有且僅有1個(gè)“自均值數(shù)”，實(shí)數(shù)的值是或.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若，，有，則的值域是值域的子集.19、（1），；（2）.【解析】（1）解方程組即得解；（2）等價(jià)于不等式在恒成立，再利用基本不等式求解.【小問1詳解】解：由，得，因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，為上的偶函數(shù)，所以，由，解得，.【小問2詳解】解：因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以轉(zhuǎn)化為，因?yàn)樵谏隙紴樵龊瘮?shù)，所以在上為增函數(shù)，所以在恒成立，即在恒成立，所以在恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20、（1）70；（2）0.5.【解析】（1）根據(jù)題意，確定的表達(dá)式，代入運(yùn)算即可；（2）要求，即，解不等式即可.【詳解】（1）依題意，，，，由得，所以.因?yàn)?，所以，又，所?所以，所以.即時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為70m.（2）由（1）知.令，即，從而，∴.∵，∴轉(zhuǎn)一圈中在點(diǎn)P處有0.5min的時(shí)間可以看到公園的全貌.【點(diǎn)睛】本題考查了已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，解答本題的關(guān)鍵是能根據(jù)題目條件，得出相應(yīng)的函數(shù)模型，作出正確的示意圖，然后再由三角函數(shù)中的相關(guān)知識進(jìn)行求解，解題時(shí)要注意