2023年4月綿陽市高三數(shù)學(xué)(理)考前三診考試卷

2023.04

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

1.若復(fù)數(shù)z=2-i,i為虛數(shù)單位，則2的虛部為

A.iB.-1C.1D.2

2.已知平面向量<2=(2,3-/n),b=(l,ni),若a〃b,則m-

A.-2B.1C.2D.4

3,已知集合A={-2,T,0,1,2,3},B=(xEA\-xe/i},則5

A.{1,2}B.{-2,-1)C.{0,3}D.{3}

4.現(xiàn)有4名運動員站成一排照相留念，甲、乙兩名運動員都不站兩端的概率為

A.-B.-C.-D.-

6432

5.已知F為雙曲線C:/-3=1的左焦點，點M(0,m),若直線楊,與雙曲線僅有一個公共點，則m=

A.±2B.2C.±2V3D.26

6.已ae(TT號)，且sin(a_=浮則tan2a=

A.-B.-C.+-D.--

43-34

7.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域R上滿足/(—%)+f(x)=0,若f(x)在(-8,0)上是減函數(shù),且/(一1)=0,則不等

式〃蜻)<0的解集為

A.(0,+8)B.(-l,0)U(l,+oo)C.(-1,0)D.Q,l)

8.據(jù)統(tǒng)計，我國牛、羊肉集貿(mào)市場價格在2019年波動幅度較大，2020年開始逐漸趨于穩(wěn)定，如下圖分別

為2019年1月至2020年3月，我國牛肉、羊肉集貿(mào)市場月平均價格大致走勢圖，下列說法不正確的是

2019年01月一202坤03月牛肉(去青統(tǒng)肉)集貿(mào)市場月平均價格2019年01月—2020年03月羊肉(去骨統(tǒng)肉)集貿(mào)市場月平均價格

A.2019年1月至2020年3月，牛肉與羊肉月平均價格的漲跌情況基本一致

B.2019年3月開始至當(dāng)年末，牛肉與羊肉的月平均價格都一直持續(xù)上漲

C.2019年7月至10月牛肉月平均價格的平均增量高于2020年1至2月的增量

D.同期相比，羊肉的月平均價格一定高于牛肉的月平均價格

9.《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學(xué)裁衣，十五彈箜篌，十六誦詩書?！?/p>

箜篌歷史悠久、源遠流長，音域?qū)拸V、音色柔美清澈，表現(xiàn)力強。如圖是箜篌的一

種常見的形制，對其進行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個端點A,B處分別

作切線相交于點C,測得切線AC=99.9cm,BC=100.2cm,AB=180cm,根據(jù)測量數(shù)

據(jù)可估算出該圓弧所對圓心角的余弦值為

A.-0.62B.-0.56C.0.62D.0.56

22

10.已知圓0:/+y=4與圓C:M+(y-3)=5相交于A,B兩點，將四邊形OACB沿對角線OC翻折成

直二面角，則所得四面體OACB的外接球體積為

49

A.-7TB.-71C.57rD.97r

32

11.已知M,N是橢圓C$+，=1(a>b>0)上關(guān)于原點。對稱的兩點，P是橢圓C上異于M,N的點,

且麗?麗的最大值是;。2,則橢圓C的離心率是

4

「V2

A4B-IC?T

12.已知函數(shù)f(%)的定義域為(―8,0)U(0,+8),且f(%)為-%3+(Q+1)%2-(a+3)x+3與I久中較大

的數(shù)，若f(%)20恒成立，則。的取值范圍為

A.[-4,4]B.[―2"\/3,4~oo)

C.[-2V3,2V3]D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入x的值為log23,則輸出y的值為

14.已知函數(shù)/(x)=4cos(2x+§-3,則f(x)在(-3書上的零點個數(shù)為

15.在4ABC中，已知角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且:=sinA-cosA,則一

btanA

]

tanB

16.如右圖所示，在直四棱柱ABC。乂山CQ1中，CD〃AB,AB=AAi=3,CD=2,P

為棱B.B上一點，且BP=4P&(4為常數(shù))，直線D,D與平面PAJ相交于點Q.則線段DQ的長為

2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個試題考

生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）

某服裝公司經(jīng)過多年發(fā)展，在全國布局了3500余家規(guī)模相當(dāng)?shù)匿N售門店，該公司每年都會設(shè)計生產(chǎn)春

季新款服裝并投放到全國各個門店銷售，公司為了了解2022年春季新款服裝在各個銷售門店的銷售情況，

市場部隨機調(diào)查了20個銷售門店的年銷售額（單位：萬元，不考慮門店之間的其它差異），統(tǒng)計結(jié)果如下:

門店編號12345678910

銷售額45333044282237211924

門店編號11121314151617181920

銷售額34412320373129323642

（1）從以上20個門店中隨機抽取3個，求抽取的3個門店中至少有2個的年銷售額超過40萬元的概率；

（2）以樣本頻率估計概率，現(xiàn)從全國銷售門店中隨機抽取3個，記該年春季新款的年銷售額超過40萬元的

銷售門店的個數(shù)為蜃求。的分布列及數(shù)學(xué)期望。

18.（12分）

如下圖，在三棱錐P-ABC中，4PAB和aPBC均是以邊長為2代的等邊三角形，且AC=4.

（1）證明：平面PACL平面ABC；

P

（2）若點M在線段BC上，旦M=：BC,求二面角M-PA-B的余弦值。

B

19.（12分）

已知等差數(shù)列｛即｝的前n項和為無,且a,=4,數(shù)列出九｝的前〃項之積為用，br=且又=logb（〃）.

⑴求加

（2）令小=是否存在正整數(shù)〃，使得“Cn.l=。+。+1”與“。是。_1的等差中項”同時成立？請

說明理由，

3

20.(12分)

已知函數(shù)/(%)=Inx+%2—ax.

(1)若/(x)在G，2)上既有極大值又有極小值，求實數(shù)。的取值范圍;

(2)若直線y=尤-a與曲線y=/(x)(x>孝)相切，求實數(shù)a的值.

21.(12分)

過點人(2,0)的直線/與拋物線。:丫2=22刀9>0)交于點乂，N(M在第一象限)，當(dāng)直線/的傾斜角為

押，|MN|=3V2.

(1)求拋物線的方程：

(2)已知B(3,0),延長MB交拋物線C于點P,當(dāng)△MNP面積最小時，求點M的橫坐標。

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題做答。如果多做，則按所做的第一題記分。

22.［選修44：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標系xOy中，已知圓C的方程為：x2+y2—4x=0.

(1)寫出圓C的一個參數(shù)方程：

⑵若4(*1，丫2)是圓C上不同的兩點，且|4B|=2企，求/％2+丫，2的最大值。

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知。，瓦c均為正實數(shù)，且a+2b+3c=4.

(1)若a=l,求證：y/b+Vc<

(2)若6+乃+〃=2,求a的取值范圍。

4

綿陽市高中2020級第三次診斷性考試

理科數(shù)學(xué)參考答案及評分意見

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.

CBDACAADCBBA

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.314.215.116.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.

17.解：（1）抽取的3個銷售終端中至少有2個銷售終端的年銷售額超過40萬元的概率P=隼*=』

。2（）57

.......................................................................5分

（2）由樣本估計總體，從全國隨機抽取1個銷售終端，春季新款的年銷售額超過40萬元的概率是L

5

.................................................6分

年=0）=嗯嗎3=總,...........................................7分

x-*

P(J=1)=C；..........................................8分

55125

婚3c沖Y嚏,

............................................9分

尸（h3）=嗯嗎。=*.

...........................................10分

g的分布列為：

g0123

6448121

p

125125V25125

....................................................................11分

7

，J的期望為：E@=np=q.........................................12分

18.解：(1)證明：取AC的中點為O,連接80,PO.

VPA^PC,：.POLAC.................................................1分

,?*PA=PC=2-/2,AC=4，

,NAPC=90°,.......................................................2分

APO=-AC=2,同理30=2.........................................3分

2

5

又PB=2拉，nJWPO2+OB2=PB2,即POJ_O8.4分

VACOB=O,AC,O3u平面ABC,

，PO_L平面ABC................................................5分

又POu平面PAC,

二平面PACJ?平面ABC...........................................6分

(2)：POJ_平面ABC,OBIAC,則P0JL08.

又PO1OC,建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz,

24

則A(2,0,0),8(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),.......7分

33

設(shè)平面R48的法向量為"=(x,y,z),

n-AP=0,一2x+2z=0,

由-得《令％=1,得〃=(1，1,1),...............9分

n-AB=0,[-2x+2y=0,

同理，平面的法向量為機=。，2,1),............................10分

..八|Invn272..八

?cos"=cos<m,n>=]-n~r=------，........................................................................11分

11\m\\n\3

...二面角余弦值為述...............................................12分

3

19.解：(1)由S“=log6(7；),令〃=1,

得q=SI=log@(7；)=log6S1)=log召：=一2,即q=_2,................2分

又,：。4=4+3d=4,

.??等差數(shù)列｛%｝的公差d=2,%=2〃-4,..........................4分

^^=〃2_3〃，............................................5分

2

7；=(0)"J3"..................................................6分

(2)當(dāng)〃/時，(百后y/-5"+4,.......................7分

6

當(dāng)〃，2時，2=￡=(G)2"4=3”2,

...................................................................8分

當(dāng)〃=1時，仇=:也滿足上式，所以〃=3"-2(〃eN")........................................9分

an_2〃-4

廠

2〃-62n-42n-2

要使C“T=c“+c”+i成立,即..........................................10分

解得H=4,........................................................................................................................11分

242

*'-c=—，°4=—，%=—，滿足：。4為。3，的等差中項，

3399

???存在〃=4符合題意..................................................12分

20.解：(1);⑶二2公二?+1,........................................................................................1分

X

,//(x)在(；，2)上即有極大值又有極小值,

所以方程2d—儀+1=0在(；，2)上有兩不等實根，.......................2分

A=a2—8>0

1a_

—<—<2

令g(x)=2x2-ar+1,則<24,.............................................................3分

g(2)=9-2a＞0

解得：2夜＜av3,

所以實數(shù)。的取值范圍為：2血＜。＜3...................................................................5分

(2)設(shè)切點為(為,%),其中/＞方-,則由題意可得:

r22__Z2O___-1

<與'...............................................6分

2

毛—a=In玉)+x0-axQ,

整理得：a=2x0+--\,..............................................................................................7分

01、

??In-XQ~+2/H------2=0,(*)

/

1萬

令〃(x)=Inx—x2+2xH-----2(x>—),

x2

7

則/?'(x)=._2x+2_-V=-(x1)(2『-1),................................8分

XXX

由2f-1>0,

易知：力(X)在(與，1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減................9分

/./z(x)^/z(l)=O,所以方程(*)只有唯一解：x0=l,...................10分

所以：ci=2?........................................................12分

21.解：(1)設(shè)M(xi,)“)，Ng〉2)，直線/：y=x-2,....................1分

x=V+2-

2

聯(lián)立方程&.,整理得：y-2py-4p=0f........................2分

y"=2px

由韋達定理：［"+”=20.............................................3分

-%=-4。

M=Jl+*加-y2|=Jl+r->/(.+必)2-4-丫2

=dl+l214P2+16p=3亞,.......................................4分

解得：p=；,故拋物線的方程為：/=x.................................5分

(2)方法一：設(shè)y尸〃，則M(『，a),

聯(lián)立直線MN與拋物線C方程可得：，整理得：y2-ty-2=0；

y=x

由韋達定理：y\y2=-2f貝!]/=二；.....................................7分

a

x=ny+3.

,，整理得：y2-ny-3=0,

)y二工

由韋達定理：力為=-3,51ijy3=—.......................................8分

a

,?S?MN=S^PAN+SA/MM=~—SAPA,

LW

X

=3—多+汨)

2y

lz65、

="(-r-1-----10分

2aa

令h(a)=2+°+a,

a'a

/25+歷、/2工廂-5、

.?小:八5>1一丁…T)

“4

8

.?"（“）在區(qū)間（0,，亙普）單調(diào)遞減，在（「誓,+8）單調(diào)遞增，........11分

...當(dāng)/=上恒時，〃（幻取得最小值故用的橫坐標為空短..........12分

22

（2）方法二：延長PN交x軸于點Q,

設(shè)P（X3,＞'3）＞。（*4，0）,yi=a,則MS?,a）,

聯(lián)立直線MN與拋物線C方程可得：\,

整理得：y2-ty-2=0,

-242

由韋達定理：yiy=-2,則丫2=一，故Mf，-一），.......................7分

2acTa

聯(lián)立直線MP與拋物線C方程可得：+整理得：y2—利-3=0,

[y-=x

-3Q3

由韋達定理：y\73=-3,則＞3=—，故尸（一p-二），.......................9分

aaa

?:Q,N,尸三點共線，

2

故kQiNp,代入得：j4=士，解得：X.=~,

同一2

aa

1021532I

??.QN=（丁，一一）,QP=（—9--）9即QN=—QP,故NP=—QP,

a"aa1a33

則5,心=；5AM一%|=：（3+4）（〃+3）=；（A+』+a）,..........10分

3326aa2aa

4

A,,s65.i、a—5a^—18

令〃（a）=-r+―+a,則mh（a）=----------------,

aaa

當(dāng)/="叵時，雙a）取得最小值，...................................11分

2

故初的橫坐標為小畫..............................................12分

2

22.解：（1）可得圓C的標準方程為：（x-2）2+/=4,

/.圓C是以C（2,0）為圓心，2為半徑的圓,2分

9

x=2+2cosa不外特、

.??圓C的參數(shù)方程為:八.(a為參數(shù)).5分

y=2sma

(2)V|AB|=2V2,可得NAC3=......................................................................6分

2

不妨設(shè)點A所對應(yīng)的參數(shù)為a，則點B所對應(yīng)的參數(shù)為a+工,

2

jrjr

A(2+2cosa,2sina),貝(J3(2+2cos(c+—),2sin(a+—)),

22

即8(2-2sina,2cosa),....................................