中學(xué)學(xué)科網(wǎng)學(xué)海泛舟系列資料WWW.ZXXK.COM上中學(xué)學(xué)科網(wǎng)，下精品學(xué)科資料第23屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽題參考解答及各題得分一、參考解答：解法一tHOhAh小球沿豎直線上下運(yùn)動(dòng)時(shí)，其離開玻璃管底部的距離h隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖所示．設(shè)照片拍攝到的小球位置用A表示，A離玻璃管底部的距離為hA，小球開始下落處到玻璃管底部的距離為H.小球可以在下落的過程中經(jīng)過A點(diǎn)，也可在上升的過程中經(jīng)過A點(diǎn).現(xiàn)以表示小球從最高點(diǎn)（即開始下落處）落到玻璃管底部所需的時(shí)間（也就是從玻璃管底部反跳后上升到最高點(diǎn)所需的時(shí)間），表示小球從最高點(diǎn)下落至A點(diǎn)所需的時(shí)間（也就是從A點(diǎn)上升至最高點(diǎn)所需的時(shí)間），表示小球從A點(diǎn)下落至玻璃管底部所需的時(shí)間（也就是從玻璃管底部反跳后上升至A點(diǎn)所需的時(shí)間）.顯然，.根據(jù)題意，在時(shí)間間隔的起始時(shí)刻和終了時(shí)刻小球都在A點(diǎn)．用n表示時(shí)間間隔內(nèi)（包括起始時(shí)刻和終了時(shí)刻）小球位于A點(diǎn)的次數(shù)（n≥2）tHOhAh1．A點(diǎn)不正好在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有 （1）在（1）式中，根據(jù)題意可取中的任意值，而 （2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有 （3）由（3）式得 （4）由（1）、（3）、（4）式知，不論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，都有 （5）因此可求得，開始下落處到玻璃管底部的距離的可能值為 （6）若用表示與n對(duì)應(yīng)的H值，則與相應(yīng)的A點(diǎn)到玻璃管底部的距離 （7）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可取中的任意值，故有 n=3,5,7,··· （8）可見與相應(yīng)的的可能值為0與之間的任意值．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，由（6）式、（7）式求得的可能值 n=2,4,6,··· （9）2．若A點(diǎn)正好在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)都有 n=2,3,4,··· （10） n=2,3,4,··· （11） n=2,3,4,··· （12）或 （13）解法二因?yàn)檎障鄼C(jī)每經(jīng)一時(shí)間間隔T拍攝一次時(shí)，小球都位于相片上同一位置，所以小球經(jīng)過該位置的時(shí)刻具有周期性，而且T和這個(gè)周期的比值應(yīng)該是一整數(shù)．下面我們就研究小球通過某個(gè)位置的周期性．設(shè)小球從最高點(diǎn)（開始下落處）落下至管底所需時(shí)間為，從最高點(diǎn)下落至相片上小球所在點(diǎn)（A點(diǎn)）所需時(shí)間為，從A點(diǎn)下落至管底所需時(shí)間為，則 （1）（小球上升時(shí)通過相應(yīng)路程段所需時(shí)間與下落時(shí)同一路程所需時(shí)間相同，也是、和）從小球在下落過程中經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)刻開始，小球經(jīng)過的時(shí)間后上升至A點(diǎn)，再經(jīng)過時(shí)間后又落到A點(diǎn)，此過程所需總時(shí)間為．以后小球?qū)⒅貜?fù)這樣的運(yùn)動(dòng)．小球周期性重復(fù)出現(xiàn)在A點(diǎn)的周期是多少？分兩種情況討論：（1）．，和都不是小球在A點(diǎn)重復(fù)出現(xiàn)的周期，周期是．（2）．，小球經(jīng)過時(shí)間回到A點(diǎn)，再經(jīng)過時(shí)間又回到A點(diǎn)，所以小球重復(fù)出現(xiàn)在A點(diǎn)的周期為．下面就分別討論各種情況中的可能值和A點(diǎn)離管底的距離的可能值．（如果從小球在上升過程中經(jīng)過A點(diǎn)的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，結(jié)果一樣，只是和對(duì)調(diào)一下）1．H的可能值 （1）．較普遍的情況，．與的比值應(yīng)為一整數(shù)，的可能值應(yīng)符合下式 ， （2）由自由落體公式可知，與此相應(yīng)的的數(shù)值為 （3）（2）．．的可能值應(yīng)符合下式 （4）故的可能值為 （5）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即時(shí)，（5）式與（3）式完全相同．可見由（3）式求得的的可能值包含了的全部情況和的一部分情況．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即時(shí)，由（5）式得出的的可能值為 （6）它們不在（3）式之內(nèi)，故（3）式和（6）式得出的合在一起是的全部的可能值．2．與各H值相應(yīng)的的可能值a.與相應(yīng)的的可能值由于在求得（3）式時(shí)未限定A點(diǎn)的位置，故的數(shù)值可取0和之間的任意值，即 （7）b.與（為奇數(shù)）相應(yīng)的的可能值這些數(shù)值與A位于特定的位置，，相對(duì)應(yīng)，所以對(duì)于每一個(gè)對(duì)應(yīng)的是一個(gè)特定值，它們是 （8）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題23分二、參考解答：求剛碰撞后小球A、B、C、D的速度設(shè)剛碰撞后，小球A、B、C、D的速度分別為、、、，并設(shè)它們的方向都與的方向相同．由于小球C位于由B、C、D三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心處，所以小球C的速度也就是這系統(tǒng)的質(zhì)心的速度．因碰撞前后四小球組成的質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量守恒，故有 （1）碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的角動(dòng)量守恒，有 （2）這里角動(dòng)量的參考點(diǎn)設(shè)在與B球重合的空間固定點(diǎn)，且規(guī)定順時(shí)針方向的角動(dòng)量為正．因?yàn)槭菑椥耘鲎?，碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能相等，有 （3）因?yàn)闂U是剛性桿，小球B和D相對(duì)于小球C的速度大小必相等，方向應(yīng)相反，所以有 （4）解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得兩個(gè)解 =0 （5）和 （6）因?yàn)橐彩莿偱鲎埠笥葿、C、D三小球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心的速度，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律，碰撞后這系統(tǒng)的質(zhì)心不可能靜止不動(dòng)，故（5）式不合理，應(yīng)舍去．?。?）式時(shí)可解得剛碰撞后A、B、D三球的速度 （7） （8） （9）2．討論碰撞后各小球的運(yùn)動(dòng)碰撞后，由于B、C、D三小球組成的系統(tǒng)不受外力作用，其質(zhì)心的速度不變，故小球C將以（6）式的速度即沿方向作勻速運(yùn)動(dòng)．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B、D兩小球?qū)⒗@小球C作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度的大小為 （10）方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向．由（7）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向與M、m的大小有關(guān)，下面就M、m取值不同而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)情形的不同進(jìn)行討論：（i），即碰撞后小球A停住，由（7）式可知發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是 即 （11）（ii），即碰撞后小球A反方向運(yùn)動(dòng)，根據(jù)（7）式，發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是 （12）（iii）但，即碰撞后小球A沿方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是 和 即 （13）（iv），即碰撞后小球A仍沿方向運(yùn)動(dòng)，且其速度大于小球C的速度，發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是 （14）（v），即碰撞后小球A和小球C以相同的速度一起沿方向運(yùn)動(dòng)，發(fā)生這種運(yùn)動(dòng)的條件是 （15）在這種情形下，由于小球B、D繞小球C作圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)細(xì)桿轉(zhuǎn)過時(shí)，小球D將從小球A的后面與小球A相遇，而發(fā)生第二次碰撞，碰后小球A繼續(xù)沿方向運(yùn)動(dòng)．根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，C球的速度要減小，碰后再也不可能發(fā)生第三次碰撞．這兩次碰撞的時(shí)間間隔是 （16）從第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走過的路程 （17）3．求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度剛要發(fā)生第二次碰撞時(shí)，細(xì)桿已轉(zhuǎn)過，這時(shí)，小球B的速度為，小球D的速度為．在第二次碰撞過程中，質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量守恒，角動(dòng)量守恒和能量守恒．設(shè)第二次剛碰撞后小球A、B、C、D的速度分別為、、和，并假定它們的方向都與的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得 （18） （19） （20）由桿的剛性條件有 （21）（19）式的角動(dòng)量參考點(diǎn)設(shè)在剛要發(fā)生第二次碰撞時(shí)與D球重合的空間點(diǎn)．把（18）、（19）、（20）、（21）式與（1）、（2）、（3）、（4）式對(duì)比，可以看到它們除了小球B和D互換之外是完全相同的．因此它們也有兩個(gè)解 （22）和 （23）對(duì)于由B、C、D三小球組成的系統(tǒng)，在受到A球的作用后，其質(zhì)心的速度不可能保持不變，而（23）式是第二次碰撞未發(fā)生時(shí)質(zhì)心的速度，不合理，應(yīng)該舍去．?。?2）式時(shí)，可解得 （24） （25） （26）（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即恢復(fù)到第一次碰撞前的運(yùn)動(dòng)，但已位于桿的前方，細(xì)桿和小球B、C、D則處于靜止?fàn)顟B(tài)，即恢復(fù)到第一次碰撞前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但都向前移動(dòng)了一段距離，而且小球D和B換了位置．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分．三、參考解答：pVpVABC0，（1）可知，當(dāng)V增大時(shí)，p將隨之減?。ó?dāng)V減小時(shí)，p將隨之增大），在圖上所對(duì)應(yīng)的曲線（過狀態(tài)A）大致如圖所示．在曲線上取體積與狀態(tài)B的體積相同的狀態(tài)C．現(xiàn)在設(shè)想氣體從狀態(tài)A出發(fā)，保持葉片不動(dòng)，而令活塞緩慢地向右移動(dòng)，使氣體膨脹，由狀態(tài)A到達(dá)狀態(tài)C，在此過程中，外界對(duì)氣體做功 （2）用UA、UC分別表示氣體處于狀態(tài)A、C時(shí)的內(nèi)能，因?yàn)槭墙^熱過程，所以內(nèi)能的增量等于外界對(duì)氣體做的功，即 （3）再設(shè)想氣體處于狀態(tài)C時(shí)，保持其體積不變，即保持活塞不動(dòng)，令葉片以角速度做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣葉片就要克服氣體阻力而做功，因?yàn)楦妆诩盎钊际墙^熱的，題設(shè)缸內(nèi)其它物體熱容量不計(jì)，活塞又不動(dòng)（即活塞不做功），所以此功完全用來增加氣體的內(nèi)能．因?yàn)闅怏w體積不變，所以它的溫度和壓強(qiáng)都會(huì)升高，最后令它到達(dá)狀態(tài)B．在這過程中葉片轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間用t表示，則在氣體的狀態(tài)從C到B的過程中，葉片克服氣體阻力做功 （4）令UB表示氣體處于狀態(tài)B時(shí)的內(nèi)能，由熱力學(xué)第一定律得 （5）由題知 （6）由（4）、（5）、（6）式得 （7）（7）式加（3）式，得 （8）利用和得 （9）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題23分．四、參考解答：T2T0uDT2T0uDBDDA圖1U－U0T0TuA002TT圖2．附參考解法：二極管可以處在導(dǎo)通和截止兩種不同的狀態(tài).不管D1和D2處在什么狀態(tài)，若在時(shí)刻t，A點(diǎn)的電壓為uA，D點(diǎn)的電壓為uD，B點(diǎn)的電壓為uB，電容器C1兩極板間的電壓為uC1，電容器C2兩極板間的電壓為uC2，則有 （1） （2） （3） （4）式中q1為C1與A點(diǎn)連接的極板上的電荷量，q2為C2與B點(diǎn)連接的極板上的電荷量.若二極管D1截止，D2導(dǎo)通，則稱電路處在狀態(tài)I.當(dāng)電路處在狀態(tài)I時(shí)有 （5）若二極管D1和D2都截止，則稱電路處在狀態(tài)II.當(dāng)電路處在狀態(tài)II時(shí)有 （6）若二極管D1導(dǎo)通，D2截止，則稱電路處在狀態(tài)III.當(dāng)電路處在狀態(tài)III時(shí)有 （7）電路處在不同狀態(tài)時(shí)的等效電路如圖3所示.C1D1C2DuAGAC1D1C2DuAGABD2C1D1C2DuAGABD2C1D1C2DuAGABD2狀態(tài)I狀態(tài)II狀態(tài)III圖3在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨時(shí)間t的變化情況分析如下：1.從起，uA從0開始增大，電路處在狀態(tài)，C1、C2與電源組成閉合回路.因C1、C2的電容相等，初始時(shí)兩電容器都不帶電，故有 在uA達(dá)到最大值即uA=U時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為，這時(shí)，也達(dá)到最大值.uA達(dá)到最大值后將要減小，由于D2的單向?qū)щ娦?，電容器C、C都不會(huì)放電，和保持不變，uD將要小于，即將要小于uB，D2將由導(dǎo)通變成截止，電路不再處于狀態(tài)I.所以從t=0到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨時(shí)間t變化的圖線如圖4、圖5中區(qū)域I內(nèi)的的直線所示．2.從起，因uD小于uB，D2處在截止?fàn)顟B(tài)，電路從狀態(tài)變?yōu)闋顟B(tài).因?yàn)槎O管的反向電阻為無限大，電容器C、C都不會(huì)放電，兩極板間的電壓都保持不變.當(dāng)電路處在狀態(tài)時(shí)，D點(diǎn)的電壓 B點(diǎn)的電壓 隨著uA從最大值U逐漸變小，uD亦變??；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為，.如果uA小于，則uD將小于0，D1要從截止變成導(dǎo)通，電路不再處在狀態(tài)II.所以在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中區(qū)域內(nèi)的直線所示.3.從起，uA從開始減小，D1導(dǎo)通，但，D2仍是截止的，電路從狀態(tài)II變?yōu)闋顟B(tài)III.當(dāng)電路處在狀態(tài)時(shí)有 在uA減小的過程中，C1兩極板間的電壓uC1（=uA）也隨之改變，從而維持uD為0.當(dāng)uA達(dá)到反向最大值即時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為，.若uA從開始增大（減小），因D1的單向?qū)щ娦?，電容器C1不會(huì)放電，保持不變，，D1要從導(dǎo)通變成截止，電路不再處于狀態(tài)III.所以在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中區(qū)域內(nèi)的直線所示.4.從起，uA從開始增大，D1變?yōu)榻刂範(fàn)顟B(tài)，從零開始增大，只要uD仍小于uB，D2仍是截止的，電路從狀態(tài)III變?yōu)闋顟B(tài)II.當(dāng)電路處在狀態(tài)時(shí)，C1和C2不會(huì)放電，電容器兩極板間的電壓保持不變.故有 當(dāng)uA增大至?xí)r，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為，.若uA再增大，uD將要大于uB，D2將要從截止變?yōu)閷?dǎo)通，，電路不再處于狀態(tài)II.所以在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中區(qū)域中的直線所示.5.從起，uA要從增大，D2變?yōu)閷?dǎo)通狀態(tài)，這時(shí)D1仍是截止的，電路又進(jìn)入狀態(tài)I.當(dāng)電路處在狀態(tài)I時(shí)，電源與C1、C2構(gòu)成閉合回路，而當(dāng)uA變化時(shí)，將隨之變化，但由導(dǎo)通的二極管D2連接的C1、C2的兩塊極板所帶的總電荷量是恒定不變的.由于在時(shí)刻，，，此時(shí)，，故有 由以上有關(guān)各式得uD、uB隨著uA的增大而增大.當(dāng)uA達(dá)到最大值即時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為，．由于D2單向?qū)щ姡辉霾粶p，uA從最大值減小時(shí)，不變，uD將要小于，而保持為，因而，D2從導(dǎo)通變成截止，電路不再是狀態(tài)I.所以在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中I2中的直線所示.6.從起，uA從U開始減小，D2變?yōu)榻刂範(fàn)顟B(tài)，這時(shí)D1仍是截止的，電路又進(jìn)入狀態(tài)II.當(dāng)電路處在狀態(tài)時(shí)，C1和C2不會(huì)放電，電容器兩極板間的電壓保持不變.由時(shí)刻的uD和uA的值可知此時(shí).故有 當(dāng)uA減少至?xí)r，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為，，以后D1將由截止變?yōu)閷?dǎo)通，電路不再處在狀態(tài)II.所以在到時(shí)間內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中II3中的直線所示.7.從起，uA從開始減小，D1變?yōu)閷?dǎo)通狀態(tài)，但D2仍是截止的，電路又進(jìn)入狀態(tài)III，故有 在uA減小的過程中，C1兩端的電壓uC1也隨之改變，開始階段D1保持導(dǎo)通，uD=0.但當(dāng)uA減小至-U時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為，uC1=U.因D1單向?qū)щ姡?，C1右極板的正電荷只增不減，uA到達(dá)-U后要增大，uD要大于0，D1要從導(dǎo)通變?yōu)榻刂?，電路不再處于狀態(tài)III.所以在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中III2內(nèi)的直線所示.8.從起，uA從-U開始增大，D1變?yōu)榻刂範(fàn)顟B(tài)，D2仍是截止的，電路又進(jìn)入狀態(tài)II.當(dāng)電路處于狀態(tài)時(shí)，C1和C2不會(huì)放電，電容器兩極板間的電壓保持不變.由時(shí)刻的uD和uA的值可知，此時(shí).故有 uD將隨著uA的增大而增大.當(dāng)uA=時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，uD=，與uB相等.以后uD要大于，D2要從截止變?yōu)閷?dǎo)通，電路不再是狀態(tài)II.所以在到時(shí)間間隔內(nèi)，uD、uB隨t變化的圖線如圖4和圖5中II4內(nèi)的直線所示.總結(jié)以上討論，各時(shí)段起訖時(shí)刻及和變化值如下表所示：時(shí)段12345678I1II1III1II2I2II3III2II4TT2T0uDBDDA圖4I1II1III2II2III1I2II4II32002TT圖5I1II1III2II2III1I2II4II32評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分五、參考解答：1．題給的磁場(chǎng)隨時(shí)間和空間的變化具有周期性，在某時(shí)刻，磁場(chǎng)的空間分布為 在時(shí)刻，磁場(chǎng)的空間分布為 比較上面兩式，不難看出，和這兩個(gè)時(shí)刻的磁場(chǎng)的空間分布規(guī)律是相同的，只是時(shí)刻原位于處的磁場(chǎng)，經(jīng)歷時(shí)間，在時(shí)刻，出現(xiàn)在處．即整個(gè)磁場(chǎng)的分布經(jīng)時(shí)間間隔沿x軸的正方向平移了一段距離 平移速度 （1）平移速度為恒量．由此可見，題給出的磁場(chǎng)可視為一在空間按余弦規(guī)律分布的非均勻磁場(chǎng)區(qū)域以速度沿x軸的正方向平移．如果金屬框移動(dòng)的速度小于磁場(chǎng)區(qū)域平移的速度，那么通過金屬框的磁通將隨時(shí)間發(fā)生變化，從而在金屬框中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流將受到磁場(chǎng)的安培力作用．由題已知，在時(shí)刻t，金屬框移動(dòng)的速度為，金屬框MN邊位于坐標(biāo)x處，PQ邊位于坐標(biāo)處．設(shè)此時(shí)金屬框的磁通為（規(guī)定由紙內(nèi)到紙外為正）；經(jīng)過一很短的時(shí)間間隔，整個(gè)磁場(chǎng)分布區(qū)域向x方向移動(dòng)了一段距離，金屬框向x方向移動(dòng)了一段距離，其結(jié)果是：MN邊左側(cè)穿過面積為的磁通移進(jìn)了金屬框，PQ邊左側(cè)穿過面積為的磁通移出了金屬框，故在時(shí)刻，通過金屬框的磁通為 在時(shí)間間隔內(nèi)，通過金屬框的磁通增量為 （2）規(guī)定框內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)沿順時(shí)針方向（沿回路MNPQM方向)為正，由電磁感應(yīng)定律，可得t時(shí)刻的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) （3）規(guī)定金屬框內(nèi)的感應(yīng)電流沿順時(shí)針方向（沿回路MNPQM方向)為正，可得t時(shí)刻的感應(yīng)電流為 (4)磁場(chǎng)對(duì)于上下兩邊NP和MQ的安培力的大小相等，方向相反，二者的合力為零．規(guī)定向右的力為正，則磁場(chǎng)作用于金屬框MN邊的安培力為；由于PQ邊和MN邊的電流方向相反，磁場(chǎng)作用于金屬框PQ邊的安培力為，故金屬框的安培力的合力 （5）由（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式及題給定的磁場(chǎng)分布規(guī)律，得 （6）利用三角學(xué)公式，得 （7） 稱為安培力的幅度．從（7）式可以看出，安培力在的幅度內(nèi)隨時(shí)間變化，但其值不會(huì)小于零，表示磁場(chǎng)作用于金屬框的安培力始終向右．2．討論安培力的大小與線框幾何尺寸的關(guān)系就是討論與線框幾何尺寸的關(guān)系．與金屬框長(zhǎng)度l的平方成正比，與金屬框的寬度d有關(guān)：當(dāng)，即 （8）得 （9）當(dāng)，即 （10）達(dá)最大值 （11） 當(dāng)d取其它